Osittainen johdannainen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Matemaattisessa analyysissä osittaisderivaata (ensimmäinen derivaatta) on yksi derivaatan käsitteen yleistyksistä useiden muuttujien funktion tapaukseen. Osittaisderivaata on raja funktion inkrementin suhteessa valittuun muuttujaan tämän muuttujan inkrementin suhteelle, koska tämä inkrementti pyrkii olemaan nolla.

Funktion osittaista derivaatta muuttujan suhteen merkitään yleensä , tai . Jos muuttujat on numeroitu, esimerkiksi symboleja ja käytetään myös . $f$ $x$ ${\tfrac {\partial f}{\partial x))$ $f_{x}$ $D_{x}f$ $x_1,\pisteet,x_n$ $f_{i}$ $D_{i}f$

Eksplisiittisessä muodossa funktion osittainen derivaatta pisteessä määritellään seuraavasti: $f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ $(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

{\frac {\partial f}{\partial x_{k))}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {f (a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n}) }{\Delta x}}.

Operaattori \ Toiminto	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Ero	yksi: $\operaattorinnimi {d} \!f=f'_{x}\operaattorin nimi {d} \!x$	2: $\operaattorinnimi {d} _{x}\!f=f'_{x}\operaattorinimi {d} \!x$ 3: $\operaattorinnimi {d} \!f=f'_{x}\operaattorinimi {d} \!x+f'_{y}\operaattorin nimi {d} \!y+f'_{u}\operaattorinnimi {d} \!u+f'_{v}\operaattorin nimi {d} \!v$
Osittainen johdannainen (ensimmäinen johdannainen)	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\ operaattorin nimi {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Yhteensä derivaatta (toinen derivaatta)	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f '_{x}$	${\frac {\operaattorinnimi {d} \!f}{\operaattorinimi {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f '_{x}+f'_{u}{\frac {\operaattorinnimi {d} \!u}{\operaattorinnimi {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operaattorinnimi { d} \!v}{\operaattorinnimi {d} \!x));(f'_{y}{\frac {\operaattorinimi {d} \!y}{\operaattorinimi {d} \!x}}= 0)$

Nimitys

On huomattava, että merkintä tulee ymmärtää integraalisymbolina , toisin kuin yhden muuttujan funktion tavallinen derivaatta , joka voidaan esittää funktion ja argumentin differentiaalien suhteena. Osittaisderivaata voidaan kuitenkin esittää myös differentiaalien suhteena, mutta tässä tapauksessa on ilmoitettava millä muuttujalla funktiota kasvatetaan: , missä on funktion osadifferentiaali suhteessa muuttujaan . Usein hahmon eheyden tosiasian väärinymmärrys on syy virheisiin ja väärinkäsityksiin, kuten lausekkeen supistumiseen [1] . $\frac{\partial f}{\partial x}$ ${\frac {df}{dx))$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}\equiv {\frac {d_{x}f}{dx}}$ $d_{x}f$ $f$ $x$ $\frac{\partial f}{\partial x}$ $\osittainen x$ ${\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}$

Geometrinen tulkinta

Geometrisesti osittaisderivaata antaa derivaatan yhden koordinaattiakselin suunnasta . Funktion osittaisderivaata pisteessä koordinaatin suhteen on yhtä suuri kuin derivaatta suunnan suhteen , jossa yksikkö on -: nnella paikalla. $f$ ${\vec {x}}{\,}^{0}=(x_{1}^{0},\ldots ,x_{n}^{0})$ $x_k$ ${\frac {\partial f}{\partial {\vec {e))))$ ${\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)$ $k$

Esimerkkejä

Kartion tilavuus V riippuu kaavan mukaan korkeudesta h ja säteestä r

V={\frac {\pi r^{2}h}{3)),

Tilavuuden V osittainen derivaatta säteen r suhteen

{\frac {\partial V}{\partial r))={\frac {2\pi rh}{3)),

joka näyttää nopeuden , jolla kartion tilavuus muuttuu, jos sen säde muuttuu ja sen korkeus pysyy ennallaan. Jos esimerkiksi otetaan huomioon tilavuusyksiköt ja pituusmitat , niin yllä olevalla derivaatalla on tilavuuden mittausnopeuden mitta , ts. säteen arvon muutos 1 :llä vastaa kartion tilavuuden muutosta . $m^{3}$ $m$ $m^{3}/m$ $m$ ${\frac {2\pi rh}{3}}$ $m^{3}$

Osittainen derivaatta suhteessa h

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},

joka näyttää nopeuden, jolla kartion tilavuus muuttuu, jos sen korkeus muuttuu ja sen säde pysyy muuttumattomana.

V :n kokonaisderivaata r : n ja h :n suhteen

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dr}}=\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial r}}}+ \overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}^{{\frac {\partial V}{\partial h}}}{\frac {\operatorname dh}{\operatorname dr} }

{\frac {\operatorname dV}{\operatorname dh}}=\overbrace {{\frac {\pi r^{2}}{3}}}^{{\frac {\partial V}{\partial h} ))+\overbrace {{\frac {2\pi rh}{3))}^({\frac {\partial V}{\partial r))}{\frac {\operaattorinimi dr}{\operaattorinimi dh} }

Erona kokonais- ja osittaisen derivaatan välillä on muuttujien välisten epäsuorien riippuvuuksien eliminointi jälkimmäisessä.

Jos (jostain syystä) kartion suhteet pysyvät samoina, niin korkeus ja säde ovat kiinteässä suhteessa k ,

k={\frac {h}{r}}={\frac {\operaattorinimi dh}{\operaattorinnimi dr}}.

Tämä antaa kokonaisderivaatan suhteessa r :iin:

{\frac {\operaattorinnimi dV}{\operaattorinnimi dr))={\frac {2\pi rh}{3))+k{\frac {\pi r^{2)){3))

Yhtälöitä, jotka sisältävät osittaisia derivaattoja, kutsutaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiksi, ja ne tunnetaan laajalti fysiikassa , tekniikassa ja muissa tieteissä ja soveltavissa tieteenaloissa.

Katso myös

Sekajohdannainen

Muistiinpanot

↑ Fikhtengolts, "Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi"

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)