Kolmogorovin aksiomatiikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Kolmogorovin aksiomatiikka on yleisesti hyväksytty aksiomatiikka todennäköisyysteorian matemaattiseen kuvaamiseen . Alkuperäisen version ehdotti Andrei Nikolajevitš Kolmogorov [1] [2] vuonna 1929, lopullisen version - vuonna 1933 . Kolmogorovin aksiomatiikka teki mahdolliseksi antaa todennäköisyysteorialle nykyajan matematiikan tyyli .

Todennäköisyysteorian aksiomatisoinnin historia

D. Hilbert sisällyttää todennäköisyysteorian aksiomatisoinnin ongelman kuudennen tehtävänsä " Fysiikan perusteiden matemaattinen esittely" muotoiluun :

Geometrian perusteiden tutkimukseen liittyy läheisesti aksiomaattisen rakentamisen ongelma niiden fysiikan tieteenalojen samaan malliin, joissa matematiikalla on jo merkittävä rooli: tämä on ensisijaisesti todennäköisyysteoria ja mekaniikka . Mitä tulee todennäköisyysteorian aksioomeihin , minusta olisi toivottavaa, että rinnakkain tämän teorian loogisen perustelun kanssa keskiarvojen menetelmän tiukka ja tyydyttävä kehittäminen matemaattisessa fysiikassa , erityisesti kaasujen kineettisessä teoriassa , pitäisi kulkea käsi kädessä.

Ennen Kolmogorovia todennäköisyysteoriaa aksiomatisoivat G. Bolman [3] ( 1908 ), S. N. Bernstein [4] ( 1917 ), R. Mises [5] ( 1919 ja 1928 ) ja myös Lomnitsky A. [6] ( 1923 ) perustuu E. Borelin [7] ajatuksiin todennäköisyys- ja mitta -käsitteiden välisestä yhteydestä .

A. N. Kolmogorov, vaikuttuneena joukko-, mitta- , integrointi- , funktioteorian ideoista , muotoili yksinkertaisen aksioomijärjestelmän (yleensä ei ainoan), joka mahdollisti jo olemassa olevien klassisten todennäköisyysteorian osien kuvaamisen. siihen mennessä vauhdittaakseen sen uusien osien, esimerkiksi stokastisten prosessien teorian, kehittämistä , ja siitä on tullut yleisesti hyväksytty nykyaikaisessa todennäköisyysteoriassa.

Kolmogorovin alkeistotodennäköisyysteorian aksioomit

Elementaarinen todennäköisyysteoria on se todennäköisyysteorian osa, jossa joudutaan käsittelemään vain äärellisen määrän tapahtumien todennäköisyyksiä. Todennäköisyysteoria matemaattisena tieteenalana voidaan ja pitää aksiomatisoida täsmälleen samassa mielessä kuin geometria tai algebra . Tämä tarkoittaa, että sen jälkeen, kun tutkittavien objektien nimet ja niiden perussuhteet sekä aksioomit , joita näiden suhteiden tulee noudattaa, on annettu, kaiken jatkoselostuksen tulee perustua yksinomaan näihin aksioomeihin ilman tavanomaista konkreettista merkitystä. näistä kohteista ja niiden suhteista. Todennäköisyysteorian aksiomatisointia voidaan toteuttaa eri tavoin, niin aksioomien valinnan kuin peruskäsitteiden ja perusrelaatioiden valinnan osalta. Jos tavoittelemme sekä itse aksioomijärjestelmän mahdollista yksinkertaisuutta että siihen liittyvän lisäteorian rakentamista, näyttää tarkoituksenmukaisimmalta aksiomatisoida satunnaisen tapahtuman käsite ja sen todennäköisyys .

Antaa olla joukko elementtejä , joita kutsutaan alkeistapahtumiksi, ja olla joukko osajoukkoja , joita kutsutaan satunnaisiin tapahtumiin (tai yksinkertaisesti tapahtumiin), ja se on alkeistapahtumien tila. $\Omega$ $\omega$ ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\Omega$

Aksiooma I ( tapahtumien algebra ) . on tapahtumien algebra. ${\mathcal {F}}$
Aksiooma II (tapahtumien todennäköisyyden olemassaolo) . Jokaiselle tapahtumastakohteestaon määritetty ei-negatiivinen reaaliluku, jota kutsutaan tapahtuman todennäköisyydeksi. $x$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathbf {P}}(x)$ $x$
Aksiooma III (todennäköisyyden normalisointi) . . ${\mathbf {P}}(\Omega )=1$
Aksiooma IV ( todennäköisyyden additiivisuus ) . Jos tapahtumateivätristeä, niin $x$ $y$

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

Objektijoukkoa, joka täyttää aksioomat I-IV , kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi (Kolmogorovin mukaan: todennäköisyyskenttä ). $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Aksioomijärjestelmä I-IV on johdonmukainen. Tämä näkyy seuraavassa esimerkissä: se koostuu yhdestä elementistä , — ja joukosta mahdottomia tapahtumia (tyhjä joukko) , kun taas . Tämä aksioomijärjestelmä ei kuitenkaan ole täydellinen: todennäköisyysteorian eri kysymyksissä tarkastellaan erilaisia todennäköisyysavaruuksia. $\Omega$ $\omega$ ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\varno mitään$ ${\mathbf {P}}(\Omega )=1,{\mathbf {P}}(\varnothing )=0$

Kolmogorovin empiirinen aksioomien päättely

Yleensä voidaan olettaa, että tarkasteltavien tapahtumien järjestelmä, joille on määritetty tietyt todennäköisyydet, muodostaa tapahtumien algebran, joka sisältää joukon elementtinä ( aksiooma I , samoin kuin aksiooman II ensimmäinen osa - todennäköisyyden olemassaolo ). Voit käytännössä olla varma, että jos koe toistetaan useita kertoja ja jos tapahtuman esiintymismäärää merkitään , niin suhde poikkeaa vain vähän arvosta . Lisäksi on selvää, että , joten Axiom II :n toinen osa osoittautuu melko luonnolliseksi. Tapahtumalle aina , jonka vuoksi on luonnollista laittaa ( aksiooma III ). Jos lopuksi ja ovat yhteensopimattomia toistensa kanssa (eli tapahtumat ja eivät leikkaa osajoukkoja ), sitten , missä tarkoittaa vastaavasti kokeiden lukumäärää, joiden tulokset ovat tapahtumia . Tämä tarkoittaa: ${\mathcal {F}}$ $x,y,z,\ldots ,$ $\Omega$ $n$ $m$ $x$ $m/n$ ${\mathbf {P}}(x)$ $0\leqslant m/n\leqslant 1$ $\Omega$ $m = n$ ${\mathbf {P}}(\Omega )=1$ $x$ $y$ $x$ $y$ $\Omega$ $m=m_{1}+m_{2}$ $m,m_{1},m_{2}$ $x+y,x,y$

{\frac {m}{n}}={\frac {m_{1}}{n}}+{\frac {m_{2}}{n}}.

Siksi on asianmukaista laittaa

{\mathbf {P}}(x+y)={\mathbf {P}}(x)+{\mathbf {P}}(y)

( aksiooma IV ).

Jatkuvuuden aksiooma ja äärettömät todennäköisyysavaruudet

Toisin kuin alkeellinen todennäköisyysteoria, yleisessä matemaattisessa todennäköisyysteoriassa johdetut lauseet pätevät luonnollisesti myös kysymyksiin, jotka liittyvät äärettömään määrään satunnaisia tapahtumia. Mutta näitä jälkimmäisiä tutkittaessa sovelletaan olennaisesti uusia periaatteita: oletetaan, että alkeetodennäköisyysteorian (I-IV) aksioomien lisäksi seuraavat

Aksiooma V (jatkuvuuden) . Laskevassa järjestyksessä

x_{1}\supseteq x_{2}\ldots \supseteq x_{n}\supseteq \ldots

tapahtumia sellaisista ${\mathcal {F}}$

\bigcap _{{n}}x_{n}=\varnothing ,

tasa-arvo on olemassa

\lim _{{n\rightarrow \infty }}{\mathbf {P}}(x_{n})=0.

Jatkuvuuden aksiooma on nykyaikaisen todennäköisyysteorian ainoa aksiooma , joka pätee juuri äärettömän määrän satunnaisten tapahtumien tilanteeseen. Yleensä nykyaikaisessa todennäköisyysteoriassa vain sellaista todennäköisyysavaruutta kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi , joka lisäksi täyttää aksiooman V. Todennäköisyysavaruudet aksioomien I-IV merkityksessä Kolmogorov ehdotti kutsumaan todennäköisyysavaruuksia laajennetussa merkityksessä (Kolmogorovilla on todennäköisyyskenttä laajennetussa merkityksessä ), tällä hetkellä tätä termiä käytetään erittäin harvoin. Huomaa, että jos tapahtumajärjestelmä on äärellinen, aksiooma V seuraa aksioomeista I-IV . Kaikki mallit, joissa on todennäköisyysavaruudet laajennetussa merkityksessä, täyttävät siten aksiooman V . Aksioomijärjestelmä I-V on johdonmukainen ja epätäydellinen. Sitä vastoin äärettömille todennäköisyysavaruuksille jatkuvuusaksiooma V on riippumaton aksioomeista I-IV . $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$ ${\mathcal {F}}$

Koska uusi aksiooma on olennainen vain äärettömille todennäköisyysavaruuksille, on lähes mahdotonta selittää sen empiiristä merkitystä, kuten esimerkiksi tehtiin elementaarisen todennäköisyysteorian (I-IV) aksioomien kanssa . Kuvattaessa mitä tahansa todella havaittavissa olevaa satunnaisprosessia, voidaan saada vain äärelliset kentät - todennäköisyysavaruudet laajennetussa merkityksessä . Äärettömät todennäköisyysavaruudet esiintyvät todellisten satunnaisilmiöiden idealisoituina kaavioina . On yleisesti hyväksyttyä rajoittua hiljaisesti sellaisiin järjestelmiin, jotka täyttävät aksiooman V , joka osoittautuu tarkoituksenmukaiseksi ja tehokkaaksi eri tutkimuksissa.

Äärettömät todennäköisyysavaruudet ja "ideaalitapahtumat"

Tapahtumien algebraa alkeistulosten avaruudessa kutsutaan Borel-algebraksi, jos kaikki tapahtuman laskettavat summat kuuluvat . Nykyaikaisessa todennäköisyysteoriassa Borelin tapahtumaalgebroita kutsutaan yleisesti -tapahtumaalgebriksi ( sigma-algebriksi ). Olkoon todennäköisyysavaruus annettu laajennetussa merkityksessä , jossa on algebra ja on sen todennäköisyysmitta. Tiedetään, että on olemassa pienin sigma-algebra , joka sisältää . Lisäksi reilu ${\mathcal {F}}$ $\Omega$ $\sum _{{n}}x_{n}$ $x_{n}$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ $\sigma$ $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathbf {P}}$ ${\mathcal {F}}=\sigma ({\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathcal {F}}_{0}$

Lause (jatkossa) . Joukkofunktio, joka on määritettyei-negatiiviselle laskettavasti additiiviselle joukkofunktiolle,voidaan aina laajentaa säilyttämällä molemmat ominaisuudet (ei-negatiivisuus ja laskettava additiivisuus) kaikkiin ryhmiinja lisäksi ainutlaatuisella tavalla. $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0})$ ${\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(\cdot )$ ${\mathcal {F}}$

Siten jokainen todennäköisyysavaruus laajennetussa merkityksessä voidaan matemaattisesti oikein laajentaa äärettömään todennäköisyysavaruuteen , jota nykyaikaisessa todennäköisyysteoriassa yleisesti kutsutaan yksinkertaisesti todennäköisyysavaruudeksi . $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},{\mathbf {P}})$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),{\mathbf {P)))$

Samanaikaisesti äärettömän todennäköisyysavaruuden sigma-algebran joukkoja voidaan pitää vain "ideaalitapahtumina" , joita ei voida esittää suoraan havaintojen maailmassa. Jos kuitenkin tällaisten "ideaalitapahtumien" todennäköisyyksiä käyttävä päättely johtaa "todellisen tapahtuman" todennäköisyyksien määritelmään alkaen , tämä määritelmä on ilmeisesti automaattisesti johdonmukainen empiirisesti. ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$

Kritiikki termille "todennäköisyysteorian aksiomatiikka"

Jotkut tiedemiehet[ kuka? ] eivät ole samaa mieltä siitä, että Kolmogorov teki todennäköisyysteoriasta aksiomaattisen teorian . Heidän argumenttinsa :

Todennäköisyys on käsite todellisesta maailmasta, joten sitä on mahdotonta aksiomatisoida, voit rakentaa vain matemaattisen mallin . On myös mahdotonta aksiomatisoida " sillan " käsitettä, joka ei häiritse siltojen lujuuden laskemista rakentamalla matemaattisia malleja, joiden ominaisuudet ovat samanlaisia kuin todelliset sillat.
Väitetään, että Kolmogorovin aksiomatiikka ei esitä yhtä uutta "peruskäsitettä" ( määrittämätön pisteeksi tai suoraksi ). Joten se on vain määritelmä : " Todennäköisyys on niin rajoitettu mitta , että ". Samaan aikaan he kutsuvat Kolmogorov-aksiomatiikkaa "Kolmogorov-malliksi". Joskus esitetään vaihtoehtoisia todennäköisyysteoriamalleja. $\operaattorinimi P(\Omega )=1$

Toinen näkemys: Kolmogorov-malliin tuodaan käsite " tapahtumat " ja niihin liittyvien operaatioiden algebra, joka on isomorfinen joukkojen algebralle . Mutta kvanttilogiikassa on erilainen tapahtumien algebra, se noudattaa erilaista aksiomatiikkaa (ja I. M. Gelfand tutki tällaisia algebroita ), ja " kvanttitodennäköisyys " on rakennettu eri tavalla kuin klassinen (katso esimerkiksi [8] ).

Muistiinpanot (kirjallisuus)

↑ Kolmogorov A. N. Todennäköisyysteorian peruskäsitteet. - M. - L. : ONTI, 1936. - 80 s.
↑ Kolmogorov A. N. Todennäköisyysteorian peruskäsitteet. - 2. painos - M .: Nauka, 1974. - 120 s.
↑ Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. - Roma, 6.-11. huhtikuuta. 1908.V.III. Kausi IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
↑ Bernshtein S. N. Todennäköisyysteorian aksiomaattisen perustelun kokemus // Soobshch. Kharkova. Matto. Ob-va, 1917, numero. 15, s. 209-274.
↑ von Mises R. Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v. 5, s. 52-99.
↑ Łomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Matematiikka. , 1923, v. 4, s. 34-71.
↑ Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Matto. Palermo, 1909, nro 26, s. 247-271.
↑ Holevo A. S. Kvanttitodennäköisyys ja kvanttitilastot. Tieteen ja tekniikan tuloksia. Ser. Moderni prob. matto. Fundam. ohjeita, 1991, 83, s. 5-132. Arkistoitu 7. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa

Katso myös

Joukkoteorian aksiomatiikka
Tapahtumien algebra
Coxin lause on toinen todennäköisyysteorian matemaattinen perusta
Kvanttitodennäköisyys on toinen aksiomatisointi