Algebrallinen lukukenttä

Algebrallinen lukukenttä , algebrallisten lukujen kenttä (tai yksinkertaisesti numerokenttä ) on rationaalisten lukujen kentän äärellinen (ja siksi algebrallinen ) laajennus . Lukukenttä on siis kenttä , joka sisältää äärellisulotteisen vektoriavaruuden ja on sen päällä. Samaan aikaan jotkut kirjoittajat kutsuvat mitä tahansa kompleksilukujen alikenttää numerokenttään - esimerkiksi M. M. Postnikov "Galois'n teoriassa". $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Lukukentät ja yleisemmin rationaalisten lukujen kentän algebralliset laajennukset ovat algebrallisen lukuteorian pääasiallinen tutkimuskohde .

Esimerkkejä

Pienin ja peruslukukenttä on rationaalilukujen kenttä . $\mathbb {Q}$
Gaussin rationaaliluvut, merkitty, ovat ensimmäinen ei-triviaali esimerkki lukukentästä. Sen elementit ovat muodon ilmaisuja ${\mathbb Q}(i)$

a+bi

missä ja ovat rationaalilukuja, on imaginaariyksikkö . Tällaisia lausekkeita voidaan lisätä ja kertoa tavallisten kompleksilukujen operaatiosääntöjen mukaisesti , ja jokaisella nollasta poikkeavalla alkiolla on käänteisarvo, kuten yhtälöstä voidaan nähdä

a

b

i

(a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i \right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.

Tästä seuraa, että rationaaliset Gaussin luvut muodostavat kentän, joka on kaksiulotteinen avaruus (eli neliökenttä ).

\mathbb {Q}

Yleisesti ottaen mikä tahansa neliötön kokonaisluku on neliökentän laajennus . $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $\mathbb {Q}$
Pyöreä kenttä saadaan lisäämällä ykseyden primitiiviseen n: teen juureen. Kentän tulee sisältää ja kaikki sen potenssit (eli kaikki yksikön n:nnet juuret ), sen ulottuvuus on yhtä suuri kuin Euler-funktio . ${\mathbb Q}(\zeta _{n})$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $\varphi (n)$
Reaali- ja kompleksiluvuilla on ääretön valta rationaalilukuihin nähden, joten ne eivät ole lukukenttiä. Tämä johtuu laskemattomuudesta: mikä tahansa numeerinen kenttä on laskettava .
Kaikkien algebrallisten lukujen kenttä ei ole numeerinen. Vaikka laajennus on algebrallinen, se ei ole äärellinen. $\mathbb {A}$ $\mathbb {A} \supset \mathbb {Q}$

Kokonaislukujen rengas numeerinen kenttä

Koska lukukenttä on kentän algebrallinen laajennus , mikä tahansa sen elementti on jonkin polynomin juuri, jolla on rationaaliset kertoimet (eli on algebrallinen ). Lisäksi jokainen elementti on kokonaislukukertoimien polynomin juuri, koska on mahdollista kertoa kaikki rationaaliset kertoimet nimittäjien tulolla. Jos tietty alkio on jonkin kokonaislukukertoimien unitaaripolynomin juuri , sitä kutsutaan kokonaislukuelementiksi (tai algebralliseksi kokonaisluvuksi). Kaikki lukukentän elementit eivät ole kokonaislukuja: esimerkiksi on helppo osoittaa, että ainoat kokonaislukuelementit ovat tavallisia kokonaislukuja . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$

Voidaan todistaa, että kahden algebrallisen kokonaisluvun summa ja tulo on jälleen algebrallinen kokonaisluku, joten kokonaislukuelementit muodostavat lukukentän osarenkaan , jota kutsutaan kokonaislukukenttien renkaaksi ja jota merkitään . Kentässä ei ole nollajakajia ja tämä ominaisuus periytyy siirrettäessä osarenkaaseen, joten kokonaislukujen rengas on integraali ; osittaisten renkaiden kenttä on itse kenttä . Minkä tahansa lukukentän kokonaislukujen renkaalla on seuraavat kolme ominaisuutta: se on kiinteästi suljettu , Noetherian , ja yksiulotteinen . Kommutatiivista rengasta, jolla on nämä ominaisuudet , kutsutaan Dedekindiksi Richard Dedekindin mukaan . $K$ $K$ ${\mathcal O}_{K}$ ${\mathcal O}_{K}$ $K$

Jako alkuluvuiksi ja luokkaryhmiksi

Satunnaisessa Dedekind-renkaassa on ainutlaatuinen nollasta poikkeavien ihanteiden hajoaminen yksinkertaisten ihanteiden tuotteeksi . Jokainen kokonaislukurengas ei kuitenkaan täytä tekijäominaisuutta : edes neliökentän kokonaislukujen renkaalla hajoaminen ei ole ainutlaatuinen: ${\mathcal O}_{{{\mathbb Q}({\sqrt {-5}})))={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$

6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5)))(1-{\sqrt {-5)))

Esittelemällä normin tähän renkaaseen voimme osoittaa, että nämä laajennukset ovat todellakin erilaisia, eli toista ei voida saada toisesta kertomalla käännettävällä elementillä .

Tekijänomaisuuden rikkomisaste mitataan ideaalisella luokkaryhmällä , tämä kokonaislukurenkaan ryhmä on aina äärellinen ja sen järjestystä kutsutaan luokkien lukumääräksi.

Numerokenttien perusteet

Koko perusta

N -asteen lukukentän F kokonaislukukanta on joukko

B = { b 1 , …, b n }

kentän F kokonaislukujen renkaan n elementistä siten, että mikä tahansa kentän F kokonaislukujen renkaan O F elementti voidaan kirjoittaa ainutlaatuisella tavalla B :n elementtien Z -lineaarisena yhdistelmänä ; eli mille tahansa x : lle O F :stä on ainutlaatuinen hajoaminen

x \ u003d m 1 b 1 + ... + m n b n ,

missä m i ovat tavallisia kokonaislukuja. Tässä tapauksessa mikä tahansa F :n elementti voidaan kirjoittaa muodossa

m 1 b 1 + … + m n b n ,

missä m i ovat rationaalilukuja. Tämän jälkeen F :n kokonaislukuelementit erotetaan sillä ominaisuudella, että nämä ovat juuri niitä alkioita, joille kaikki m i ovat kokonaislukuja.

Käyttämällä työkaluja, kuten lokalisointi ja Frobenius-endomorfismi , voidaan rakentaa tällainen perusta mille tahansa lukukentälle. Sen rakenne on sisäänrakennettu ominaisuus monissa tietokonealgebrajärjestelmissä .

Tehoperuste

Olkoon F lukukenttä, jonka aste on n . Kaikkien mahdollisten F :n ( Q -vektoriavaruuden) kantalukujen joukossa on potenssikantoja, eli muodon kantajia

B x = {1, x , x 2 , …, x n −1 }

jollekin x ∈ F . Primitiivialkiolauseen mukaan sellainen x on aina olemassa, sitä kutsutaan annetun laajennuksen primitiivielementiksi .

Norm and trace

Algebrallinen lukukenttä on äärellinen -ulotteinen vektoriavaruus yli (merkitkäämme sen mittaa muodossa ), ja kertominen mielivaltaisella kentän elementillä on tämän avaruuden lineaarinen muunnos . Olkoon jokin kanta F , jolloin muunnos vastaa ehdon määrittelemää matriisia $\mathbb {Q}$ $n$ $e_{1},e_{2},\ldots e_{n}$ $x\mapsto \alpha x$ $A=(a_{{ij}})$

\alpha e_{i}=\sum _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}e_{j},\quad a_{{ij}}\in {\mathbf {Q}}.

Tämän matriisin elementit riippuvat perustan valinnasta, mutta kaikki matriisin invariantit , kuten determinantti ja trace , eivät ole siitä riippuvaisia . Algebrallisten laajennusten yhteydessä matriisin determinanttia kerrottuna elementillä kutsutaan kyseisen elementin normiksi (merkitty ); matriisin jälki on elementin jälki (merkitty ). $N(x)$ ${\teksti{Tr))(x)$

Elementtijälki on lineaarinen funktio F : llä :

{\teksti{Tr))(x+y)={\teksti{Tr))(x)+{\teksti{Tr))(y)

ja .

{\text{Tr))(\lambda x)=\lambda {\text{Tr))(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Normi on moninkertainen ja homogeeninen funktio:

N(xy)=N(x)\cdot N(y)

ja .

N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in {\mathbb Q}

Alkuperustaksi voidaan valita kokonaislukukanta , kertominen kokonaislukualgebrallisella luvulla (eli kokonaislukujen renkaan alkiolla ) vastaa matriisia, jossa on kokonaislukuelementtejä . Siksi minkä tahansa kokonaislukurenkaan elementin jälki ja normi ovat kokonaislukuja.

Esimerkki normin

Antaa olla luonnollinen luku vapaa neliöistä , sitten olla neliökenttä (erityisesti lukukenttä). Valitsemme tähän kenttään kokonaislukuperusteen ( on kokonaislukuelementti, koska se on pelkistetyn polynomin juuri ). Tällä perusteella kertominen vastaa matriisia $d$ ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $(1,{\sqrt d})$ ${\sqrt d}$ $x^{2}-d$ $a+b{\sqrt d}$

{\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}

Siksi ,. Renkaan elementeillä tämä normi ottaa kokonaislukuarvot. Normi on multiplikatiivisen ryhmän homomorfismi multiplikatiiviseen ryhmään , joten renkaan käännettävien elementtien normi voi olla vain yhtä suuri tai . Pellin yhtälön ratkaisemiseksi riittää, että etsitään kaikki kokonaislukurenkaan käännettävät alkiot (kutsutaan myös rengasyksiköiksi ) ja valitaan niistä ne, joilla on normi . Dirichletin yksikkölauseen mukaan tietyn renkaan kaikki käännettävät alkiot ovat yhden alkion potenssia (kertokertaan asti ), joten kaikkien Pellin yhtälön ratkaisujen löytämiseksi riittää, että löydetään yksi perusratkaisu. $N(a+b{\sqrt d})=a^{2}-db^{2}$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ ${\mathbb Z}[{\sqrt d}]$ $\mathbb {Z}$ $yksi$ $-yksi$ $a^{2}-db^{2}=1$ $yksi$ $-yksi$

Katso myös

Kummerin teoria

Kirjallisuus

H. Koch. Algebrallinen lukuteoria . - M .: VINITI , 1990. - T. 62. - 301 s. - (Tieteen ja tekniikan tuloksia. Sarja "Matematiikan nykyaikaiset ongelmat. Perussuunnat".).
Chebotarev N.G. Galois'n teorian perusteet. Osa 2. - M . : Pääkirjoitus URSS, 2004.
Weil G. Algebrallinen lukuteoria. Per. englannista. - M . : Pääkirjoitus URSS, 2011.
Serge Lang , Algebrallinen lukuteoria, toinen painos, Springer, 2000