Aritmeettinen kombinatoriikka

Aritmeettinen kombinatoriikka on monitieteinen matematiikan osa-alue, joka tutkii yhteen- ja kertolaskuoperaatiolla kenttään (harvemmin renkaaseen ) muodostuneiden rakenteiden välistä suhdetta.

Lähestymistapa rakenteen käsitteeseen on tässä samanlainen kuin additiivinen kombinatoriikka ja perustuu pääasiassa summa- (tai tulo-) joukon kokoon , additiiviseen (tai multiplikatiiviseen) energiaan ja niiden erilaisiin yhdistelmiin. Kentänä pidetään yleensä reaali- tai rationaalilukuja ( , ) ja jäännöksiä modulo alkulukua ( ). ${\mathbb {R} }$ ${{\mathbb Q}}$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

Terminologian ja artikkelin aiheen epäselvyys

Additiivinen ja aritmeettinen kombinatoriikka ovat nuoria, aktiivisesti kehittyviä tieteitä. Niiden menetelmät ja tavat asettaa tehtäviä ovat hyvin samanlaisia, joten pääsääntöisesti additiivinen kombinatoriikka katsotaan osaksi aritmetiikkaa. [1] Tässä artikkelissa kuvataan vain aiheita, jotka sisältävät molempia kenttäoperaatioita muodossa tai toisessa tai niiden käänteismuodossa, eli jotka eivät kuulu puhtaasti additiiviseen kombinatoriikkaan (vaikka jälkimmäinen muodostaa varsin merkittävän osan aritmetiikasta).

Lisäksi tässä ei käsitellä kysymyksiä multiplikatiivisten alaryhmien ja niihin liittyvien joukkojen additiivisista kombinatorisista ominaisuuksista, koska vaikka niiden määritelmä liittyy kertomiseen, niiden kertova rakenne on jäykästi kiinteä ja tämän tieteen kombinatorinen komponentti merkitsee yhtä tai toista. yleisyys rakenneasteen suhteen (ainakin vakiona toimivan parametrin kanssa). ${\mathbb {F} }_{p}^{*}$

Motivaatio

Aritmeettisen kombinatoriikan kehitystä motivoi suurelta osin summatulolauseen ilmaantuminen , joka puhuu joukkojen välttämättömästä kasvusta soveltamalla siihen joko kombinatorista summaa tai kertolaskua, eli yhtä kahdesta operaatiosta:

A+A=\left\lsulku {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rhaulu

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Tästä seuraa, että näiden operaatioiden yhdistäminen tuo mukanaan myös kasvun: jos , niin $\{0,1\}\subset A$

|A(A+A)|\gg \max\{|A(A+0)|,|1(A+A)|\}=\max\{|AA|,|A+A| \}

ja rajallisen määrän alkuaineita lisääminen vaikuttaa kasvuun vain marginaalisesti. Koska summatulolause on todistettu vain heikossa muodossa (kaukana hypoteesista), jotkut tiedemiehet ovat kiinnostuneet hankkimaan tämän tyyppisiä väitteitä, jotka seuraisivat todistettua vahvemmista hypoteesin muodoista ja myöhemmin yleisestä tutkimisesta. kahden operaatiokentän eri yhdistelmien tulosten välinen suhde. $A$

Esimerkiksi Erdős-Szemeredyn summatulooletus väittää, että [2]

{\displaystyle \max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ \forall A\subset {\mathbb {R} ))

Tästä hypoteesista seuraa, että , mutta joukoille tällainen tulos voidaan helposti saada ilman sitä yksinkertaisella kombinatorisella päättelyllä. [3] ${\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)))$ $A\subset {\mathbb {N} }$

Tehtävät ja tulokset

Tässä osiossa käytetään tavanomaista merkintää tulosten kuvaamiseen (selvitetty O-merkinnöissä ):

$X\ll Y$ tarkoittaa että $X=O(Y)$

$X\lesssim Y$ tarkoittaa että $X\leq (\log |A|)^{O(1)}Y$

Rationaaliset lausekkeet

Kysymyksen lausunto

Olkoon rationaalinen lauseke joukkojen yli mikä tahansa aritmeettisten operaatioiden ( ) yhdistelmä niiden välillä. Toiminto tarkoittaa tässä useiden summien periaatteen mukaista sovellusta: ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k))$ $+,-,\times ,/$

{\displaystyle A\circ B=\{a\circ b\ :\ a\in A,\ b\in B\))

Esimerkiksi seuraavat joukot ovat rationaalisia lausekkeita : $A, B, C$

itse sarjat ; ${\näyttötyyli A,\ B,\ C}$

${\displaystyle A(AA)=\{a(bc)\ :\ a,b,c\in A\))$ on rationaalinen ilmaus yli ; $A$

${\displaystyle A+BC=\{a+bc\ :\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\))$ .

Analogisesti additiivisen energian kanssa, jota käytetään usein summajoukon estimoimiseen, on kätevää tarkastella symmetrisen yhtälön ratkaisujen lukumäärää rationaalisella lausekkeella. Esimerkiksi,

E_{AB+C}=\#\{(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})\in A^{ 2}\times B^{2}\times C^{2}|:\ a_{1}+b_{1}c_{1}=a_{2}+b_{2}c_{2}\}

[neljä]

Olennainen osa aritmeettisen kombinatoriikan ongelmia voidaan ilmaista seuraavalla kysymyksen muotoilulla.

Olkoon — jokin kenttä (joko ääretön tai riittävän suuri annetusta äärellisten joukosta), — rationaalisia lausekkeita, ja ainakin yksi niistä käyttää tai ja ainakin yksi tai . ${\mathbb {F} }$ ${\displaystyle R_{1},\dots ,R_{n))$ $+$ $-$ $\cdot$ $/$

Olkoon myös joillekin ja asettaa suhteet $N$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\subset {\mathbb {F} ))$

|A_{j}|=N^{\alpha _{j)),\ j=1,\pisteet ,k

|R_{i}(A_{1},\pisteet ,A_{k})|=N^{\beta _{i)),\ i=1,\pisteet ,n

E_{R_{i}(A_{1},\pisteet ,A_{k})}=N^{\gamma _{i)),\ i=1,\pisteet ,n

Kysymys

Miten mahdollisten arvojen joukko riippuu ? $N\to \infty$ $(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{k},\beta _{1},\dots ,\beta _{k},\gamma _{1},\dots ,\gamma _{n})$ ${\displaystyle {\mathbb {F} },R_{1},\dots ,R_{n))$

Merkintä

Jos kenttä on äärellinen, joukkoa kannattaa täydentää parametrilla , jossa . [5] $(\alpha _{1},\dots ,\gamma _{n})$ $\varepsilon$ ${\displaystyle N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon ))$

Esimerkiksi summatulohypoteesi sanoo, että jos , , , niin (tässä ). ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $R_{1}(A)=A+A$ $R_{2}(A)=A\cdot A$ $\max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2$ $k=1,\ n=2$

Pääsääntöisesti käy ilmi, että määrien välillä on lineaarisia suhteita , toisin sanoen erisuureiden tuotteiden ja potenssien välisiä epätasa-arvoja . ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\gamma _{n))$ $|A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\dots ,A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\dots ,A_{ k})}$

Jotkut tulokset

Summien ja tuotteiden yleistyksestä:

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+AA+AA+AA|\geq {\frac {1}{2}}|A|^{2}

[6]

\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}:|A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A-A+AA)+A(AA)|\geq |A|^{2}

[7]

\exists c>0:\ \forall B,C\subset {\mathbb {R} }:\ |(B+C)(B+C)|\geq |B+C|^{1+c }

[8] ;

\exists c>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+A|\geq |A|^{{\frac {3}{2}}+c}

[9] ;

\exists c_{1},c_{2}>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |A+A|\leq |A|^{1+c_{1} }\Rightarrow |AAA|\geq |A|^{2+c_{2}}

[kymmenen]

{\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |(AA)(AA)(AA)|\gtrsim |A|^{2+{\frac {1}{8))))

[yksitoista]

Energioiden yleistämisestä:

${\displaystyle E_{A+B}^{2}\leq |A/B|E_{(A+B)/B))$ [12]

jollekin jos , sitten , ja [ 13] $k\in {\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\geq p^{c(k)))$ $E_{(AA)^{k}}\sim {\frac {|A|^{4k}}{p}}$ $c(k)\to {\frac {1}{2))$ $k\to\infty$

Vaihteet

Kysymyksen lausunto

Ajatus eri operaatioita yhdistävien rationaalisten lausekkeiden arvioinnista tulee siitä, että additiivisen operaation soveltaminen joukkoon riistää sen multiplikatiivisen rakenteensa. Samaa periaatetta voidaan laajentaa tapaukseen, jossa joukkoa ei muuteta kompleksisella kombinatorisella elementtikohtaisen lisäyksen operaatiolla, vaan tavallisella summaussiirrolla - lisäämällä yksi luku joukon kaikkiin alkioihin. Tämän odotetaan muuttavan joukon kertovaa rakennetta useimmissa tapauksissa (esimerkiksi jos , niin joillekin kaikille tai melkein kaikille ). [neljätoista] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c))$ $c>0$ $d$

Kysymys

Mitä tulee kiinteään (mutta mielivaltaiseen) multiplikatiivisiin ominaisuuksiin (tulojoukon koko ja kertova energia) joukot riippuvat toisistaan . Ja mitkä ovat myös joukkojen yhteiskertojaominaisuudet eri joukoille (esim. onko ei-triviaaleja estimaatteja kohdassa )? $A\subset {\mathbb {F} }$ $A+u,\u\in {\mathbb {F} }$ ${\displaystyle A+u_{1},\dots ,A+u_{k))$ ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{k))$ $|A(A+1)|$

Jotkut tulokset

jos yksinkertaista , niin: ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $s$

- ${\displaystyle |A|<p^{5/8}\Rightarrow |A(A+1)|\gg |A|^{6/5))$ [viisitoista]

- ${\displaystyle |A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A+1)|\gtrsim |A|^{11/9-o(1)))$ [16]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ \forall a\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}:\ |A(A+1)| \ll |A|\Rightarrow E_{\times }(A,A+a)\lesssim |A|^{32/13}$ [17]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}:\ |AA|\ll |A|\Rightarrow |(A+1)^{k}|\gg _{k}|A |^{k}$ [kahdeksantoista]

${\displaystyle \forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |AA|^{4}|(A+1)(A+1)|\gtrsim |A|^{6))$ [19]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16}|AA|^{78}\ gtrsim|A|^{111}$ [kaksikymmentä]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}\forall u\subset {\mathbb {Q} }\setminus \{0\}:\ \max \left\lbrace {|A^ {k}|,|(A+u)^{k}|}\oikea\rbrace \gg |A|^{b(k)}$ , missä klo [21] $b(k)\to \infty$ $k\in \infty$

Polynomit

Kysymyksen lausunto

Ajatus yhteen- ja kertolaskujen yhdistämisestä johtaa luonnollisesti polynomien huomioimiseen , eli samoihin rationaalisiin lausekkeisiin, mutta joissa yksi muuttuja voi esiintyä useita kertoja (ja siten sillä on monimutkaisempi vaikutus tuloksena olevan joukon rakenteeseen) . Osoittautuu, että tässä tapauksessa ehdottoman kasvun varmistamiseksi ei tarvitse käyttää kolmea kopiota joukosta (kuten lausekkeessa ), vaan riittää, että valitaan haluttu polynomi kahdessa muuttujassa. [22] Bourgin huomasi ensimmäisen kerran sellaisen ominaisuuden polynomille . [23] $A+AA$ $x^{2}+xy$

Myös analogisesti summatulolauseen kanssa tutkitaan mielivaltaisten polynomien alarajoja . ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\))$ $f$

Jotkut tulokset

Bourginin ensimmäinen tulos: jos . Sitten joillekin se on totta $A,B\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\ \alpha \in (0;1)$ $\varepsilon =\varepsilon (\alpha )>0$

\#\{a^{2}+ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}\geq N^{1+\varepsilon }

[24]

Kun verrataan ja , polynomin degeneraatiolla on suuri merkitys . Jos se on rappeutunut, eli edustamme sitä muodossa , missä ovat polynomit ja , niin molemmat summat voivat osoittautua pieniksi, jos on aritmeettinen progressio, koska . Siksi tulokset formuloidaan vain ei-degeneroituneille polynomeille: $|A+A|$ $|f(A,A)|$ $f$ $f=g(l(x,y))$ $l,g$ $\deg l=1$ $A$ $|f(A,A)|\leq |l(A,A)|$

jos , niin [25] $\deg f=2$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ |A|\leq p^{5/8}\Rightarrow \max\{|A+A|,|f(A ,A)|\}\gg |A|^{6/5}$

jos , niin [26] ${\näyttötyyli \deg f=d}$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}\gg \min \left\lbrace {{\frac {|A|^{3/2}}{dp^{1/4}}},{\frac {p^{1/3}|A|^{2/3}}{d^ {1/3}}}\oikea\rhaulu$

Matriisi kertominen

Ominaisuudet

Tuloksia on matriisijoukon tulojoukoista yhdestä tai toisesta matriisialaryhmästä (esimerkiksi Heisenberg -ryhmästä ). Tarkkaan ottaen nämä tulokset koskevat yksittäistä ryhmäoperaatiota ( matriisikertolaskua ), joten niitä voidaan kutsua additiiviseksi kombinatoriikaksi . Mutta yhdistäminen tämän sekä elementtien yhteen- että kertolaskuoperaation määritelmän sisällä [27] sekä tästä johtuva ei-kommutatiivisuus tekevät sen ominaisuuksista hyvin epätyypillisiä verrattuna tavallisiin ryhmäoperaatioihin, kuten reaalilukujen yhteenlasku. ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {R} })$

Esimerkiksi joukko matriiseja voi usein kasvaa kertomalla itsensä hyvin yksinkertaisissa olosuhteissa (suuri koko, yksittäisten elementtien rajoitus tai ero alaryhmistä).

Jotkut tulokset

Suurin osa matriisiryhmiä koskevista tuloksista, kun ne koskevat mielivaltaisia matriisijoukkoja, analysoi arvon , ei . Tämä ei ole sattuma, vaan tekninen välttämättömyys, joka liittyy ei-kommutatiivisuuteen. [28] $|AAA|$ $|AA|$

jos , niin matriisijoukolle (se sijaitsee Heisenberg-ryhmässä) on totta, että , missä [29] $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\mathcal {A}}=\left\lsulku {{\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in A}\right\rbrace$ $|{\mathcal {A}}{\mathcal {A}}|\gg |{\mathcal {A}}|^{7/4+c}$ $c>0$

let luo koko ryhmän ja . Sitten [30] $A\subset {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ $\forall a\in A\ :\ a^{-1}\in A$ $|AAA|\gg \min\{|A|^{21/20},\ |{\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})|\ }$

$\forall A\subset {\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})\ :\ |A|>2|G|^{1-{\frac {1}{3(n+1)}}}\Rightarrow AAA={\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})$ (muille ryhmille samanlainen arvio on mahdollinen, riippuen sen esitysten ulottuvuudesta ) [31]

jos ja , niin rakenne liittyy vahvasti alaryhmiin (tämä yhteys voidaan ilmaista termeillä ) [32] $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $|AAA|\ll |A|^{1+\delta },\ \delta >0$ $A$ $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $\delta$

Sovellukset

Ryhmän ja Chevalley-ryhmien kasvun tutkimiseen analyyttisiä menetelmiä voidaan käyttää Zaremba-oletuksen erityismuodon johtamiseen . [33] [34] ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

Katso myös

Viitteet

P. Erdös, E. Szemedi. Kokonaislukujen summista ja tuloista (englanniksi) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - S. 213-218 .

Oliver Roche-Newton, Imre Z. Ruzsa, Chun-Yen Shen, Ilja D. Shkredov. Setin koosta . - 2018. - arXiv : 1801.10431v1 . ${\näyttötyyli AA+A}$

Oliver Roche-Newton, Ilja D. Shkredov. Jos on pieni, se on superkvadraattinen . - 2019. - arXiv : 1810.10842v2 . ${\näyttötyyli A+A}$ $AAA$

Antal Balog. Huomautus summatuotearvioista (englanniksi) // Publicationes mathematicae. - 2011. - Vol. 79 , iss. 3 . - doi : 10.5486/PMD.2011.5104 .

M. Z. Garaev. Joukkojen summat ja tulot sekä rationaalisten trigonometristen summien estimaatit alkujärjestyksen kentissä // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Venäjän tiedeakatemia , 2010. - T. 65 , no. 4 (394) . - S. 5-66 . doi : 10.4213 / rm9367 . (Venäjän kieli)

Ilja D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov. Pienen tuotesarjan sarjojen lisäainepohjalla . - 2016. - arXiv : math/1606.02320 .

A. A. Glibichuk. Jäännösjoukkojen kombinatoriset ominaisuudet modulo a alkuluku ja Erdős-Grahamin ongelma // Matemaattiset huomautukset . - 2006. - T. 79 , no. 3 . — S. 384–395 . (Venäjän kieli)

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Iteroiduissa tuotesarjoissa vuorotellen . - 2018. - arXiv : 1801.07982v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Iteroiduissa tuotesarjoissa vuoroilla II . - 2018. - arXiv : math/1806.01697v1 .

Sophie Stevens, Frank de Zeeuw. Parannettu pisteviivan ilmaantuvuus mielivaltaisten kenttien yli // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2017. - Vol. 49 , iss. 5 . - doi : 10.1112/blms.12077 . - arXiv : 1609.06284 .

Audie Warren. Vuorotuotteista mielivaltaisilla aloilla . - 2019. - arXiv : 1812.01981v2 .

Antal Balog, Oliver Roche-Newton, Dmitri Zhelezov. Expanders with Superquadratic Growth // Kombinatoriikan sähköinen lehti. - 2016. - Vol. 24 , iss. 3 . - doi : 10.37236/7050 . - arXiv : 1611.05251v1 .

I. D. Shkredov. Muutamia huomioita joukoista, joissa on pieni osamäärä // Matemaattinen kokoelma. - 2017. - T. 208 , nro 12 . doi : 10.4213 / sm8733 . - arXiv : 1603.04948v2 . (Venäjän kieli)

Bryce Kerr, Simon Macourt. Multilineaariset eksponentiaaliset summat yleisen painoluokan kanssa . - 2019. - arXiv : 1901.00975v2 .

Konstantin I. Olmezov, Aliaksei S. Semchankau, Ilja D. Shkredov. Suosituista summista ja pienten tuotteiden sarjojen eroista . - 2019. - arXiv : 1911.12005v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Misha Rudnev. Suurempi kupera ja iteroidut summajoukot . - 2020. - arXiv : 2005.00125v1 .

I. D. Shkredov. Useita uusia tuloksia korkeammista energioista // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - T. 74 , no. 1 . (Venäjän kieli)

J. Bourgain. Lisää summatulo-ilmiöstä alkukentillä ja sen sovelluksissa // International Journal of Number Theory. - 2005. - Voi. 1 , iss. 1 . - doi : 10.1142/S1793042105000108 .

Doowon Koh, Hossein Nassajian Mojarrad, Thang Pham, Claudiu Valculescu. Neljän muuttujan laajentimet pääkenttien yli // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2018. - Vol. 146 , iss. 12 . - doi : 10.1090/proc/14177 . - arXiv : 1705.04255 .

Van Vu. Summa-tuotearviot suunnattujen laajentajien kautta // Mathematical Research Letters. - 2007. - Voi. 15 , iss. 2 . - doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n2.a14 . - arXiv : 0705.0715 .

Ilja D. Shkredov. Muutamia huomioita Heisenberg - ja affine - ryhmän sarjojen tuotteista . - 2019. - arXiv : 1907.03357 .

Misha Rudnev, Ilja D. Shkredov. Kasvunopeuteen vuonna , affiininen ryhmä ja summa-tuotetyyppi vaikuttavat . - 2019. - arXiv : 1812.01671v3 . ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

H.A. Helfgott. Kasvu (englanniksi) . - 2009. - arXiv : 0807.2027 . ${\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })$

Nikolai Nikolov, László Pyber. Kvasisatunnaisryhmien ja Jordanin tyyppisen lauseen tuotehajottelut // Journal of the European Mathematical Society. - 2007. - Voi. 13 , iss. 4 . - doi : 10.4171/JEMS/275 . — arXiv : 0703343 .

Nikolay G. Moshchevitin, Ilja D. Shkredov. Zaremban arvelun modulaarisessa muodossa . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .

Ilja D. Shkredov. Kasvu Chevalley-ryhmissä suhteessa parabolisiin alaryhmiin ja joihinkin sovelluksiin . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .

Muistiinpanot

↑ Käänteinen ei pidä paikkaansa - koska sana "lisäaine" on muodostettu englannista. lisäys (lisäys), sen käyttö ei todellakaan sovi tämän artikkelin aiheeseen. Esimerkiksi Green Taon monografian katsauksessa , kun hän alkaa puhua summatuloteoreemasta, mainitsee, että hän poikkeaa additiivisen kombinatoriikan määritelmästä ("Though I am shyingaway from additiivisen kombinatoriikan määritelmä... ").
↑ Erdös, Szemerédi, 1983 .
↑ Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 , huomautus lauseen 1.5 jälkeen
↑ Seuraavassa käytettyä nimitystä ei yleisesti hyväksytä. $E_{AB+C}$
↑ Katso selitys summatulolauseen esimerkistä julkaisussa Garaev, 2010 (Lause 1.1 ja kommentti heti sen jälkeen)
↑ Balog, 2011 .
↑ Ote S. V. Konyaginin raportista
↑ Shkredov, Zhelezov, 2016 , seuraus 2
↑ , katso lisätietoja Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 $c>2^{-222}$
↑ , katso lisätietoja Roche-Newtonista, Shkredov, 2019 $c_{2}={\frac {1}{392}}-c_{1}{\frac {125}{56}}-o(1)$
↑ Balog, Roche-Newton, Zhelezov, 2016 .
↑ Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2019 , lause 12
↑ Kerr, Macourt, 2019 , seuraus 2.11
↑ Yleisesti ottaen päinvastoin ei pidä paikkaansa: kerrannainen siirto ei saa muuttaa joukon additiivisia ominaisuuksia millään tavalla. Jos on aritmeettinen progressio ja , niin mille tahansa . Mutta joskus käy ilmi, että käytetään samankaltaisia ideoita - katso esimerkiksi Lemma 2 Glibichuk, 2006 , jossa todistettaessa Waringin ongelman analogia äärellisessä kentässä, samanlainen väite muotoillaan yhteisen additiivinen energian olemassaolosta. tarvittavasta siirrosta. ${\displaystyle A\subset {\mathbb {R} }_{+))$ $k\cdot A=\{ka\ :\ a\in A\}$ $|k\cdot A+k\cdot A|=|A+A|$ $k$
↑ Stevens, de Zeeuw, 2017 , tutkimus 10
↑ Warren, 2019 .
↑ Shkredov, 2013 , seuraus 5.8
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I), 2018 .
↑ Shkredov, 2017 , lause 12
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , lause 4.1
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II), 2018 .
↑ Polynomeja, jotka liittyvät tavalla tai toisella joukon kasvuun, kutsutaan kirjallisuudessa usein laajentajiksi.
↑ Katso osa 5.2, Garaev, 2010
↑ Bourgain, 2005 , lause 2.1 (katso myös venäläinen versio teoksessa Garaev, 2010 , lause 5.2)
↑ Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu, 2018 , Lause 1.10
↑ Vu, 2007 , Lause 1.2
↑ Mikä tahansa matriisien tulon elementti on itse asiassa polynomi kerrottujen matriisien alkioissa
↑ Katso huomautus julkaisussa Helfgott, 2009 , alaviite sivulla s. 3, samoin kuin se, että Plünnecke-Rougen epätasa-arvolla ei- kommutatiivisissa ryhmissä on erityinen muoto.
↑ Shkredov, 2019 , lause 2
↑ Rudnev, Shkredov, 2019 , lause 2
↑ Katso Nikolov, Pyber, 2007 , lause 2 ja huomautus julkaisussa Helfgott, 2009 osan 1.3.1 alussa.
↑ Helfgott, 2009 , Lause 1.1
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 .
↑ Shkredov, 2020 .