Aritmeettiset opinnot (Gauss)

Aritmeettiset opinnot
Disquisitiones Arithmeticae
Ensimmäisen painoksen otsikkosivu
Genre	tutkielma , lukuteoria ja geometria
Tekijä	Carl Friedrich Gauss
Alkuperäinen kieli	latinan kieli
Ensimmäisen julkaisun päivämäärä	1801
Teoksen teksti Wikilähteessä
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

"Aritmeettiset tutkimukset" ( lat. Disquisitiones Arithmeticae ) on 24-vuotiaan saksalaisen matemaatikon Carl Friedrich Gaussin ensimmäinen suuri teos , joka julkaistiin Leipzigissä syyskuussa 1801 . Tämä monografia (yli 600 sivua) oli keskeinen virstanpylväs lukuteorian kehityksessä ; se sisälsi sekä yksityiskohtaisen esittelyn edeltäjien tuloksista ( Fermat , Euler , Lagrange , Legendre ja muut) sekä Gaussin omia syvällisiä tuloksia. Viimeksi mainituista erityisen tärkeitä olivat [1] :

Kvadraattisten jäännösten teorian perusta . Gauss esitti todistuksensa ensimmäistä kertaa.
Teoria kokoonpano luokkien ja sukujen toisen asteen muotoja , josta tuli tärkein panos luomiseen teorian algebrallinen numeroita .
Ympyrän jakamisen teoria . Tämä ei ole vain esimerkki yleisten menetelmien soveltamisesta, vaan, kuten myöhemmin kävi ilmi, prototyyppi 1830-luvulla löydetyn yleisen Galois'n teorian tietystä esimerkistä .

Gaussin työ "korkeampaan aritmetiikkaan" (kuten hän kutsui lukuteoriaa) määräsi tämän matematiikan alan kehityksen yli vuosisadan ajan. B. N. Delaunay pitää tätä työtä nuoren tiedemiehen " mentaalisena saavutuksena ", jolla on vain vähän vertaisia maailmantieteessä [2] .

Lukuteorian tila 1700-luvun lopulla

Muinaiset kreikkalaiset matemaatikot kehittivät useita lukuteoriaan liittyviä aiheita. Ne tulivat meille Eukleideen " Alkujen " (III vuosisadalla eKr.) VII-IX kirjoissa ja sisälsivät tärkeimmät jaotuvuusteorian käsitteet : kokonaislukujako, jako jäännösjäännöksellä , jakaja, kerrannainen, alkuluku , Eukleideen Algoritmi kahden suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi .

Lisäksi lukuteorian kehitys jatkui vasta kahden vuosituhannen jälkeen. Uusien ideoiden kirjoittaja oli Pierre Fermat (XVII vuosisata). Hän havaitsi muun muassa muinaisille tuntemattoman jaettavissa olevan ominaisuuden ( Fermatin pieni lause ), jolla on perustavanlaatuinen luonne. Fermatin tutkimusta jatkoi ja syvensi Euler , joka perusti teorian neliöllisistä ja muista tehojäännöksistä ja löysi " Euler-identiteetin ". Lagrange teki useita merkittäviä löytöjä , ja Legendre julkaisi monografian " Experience in the Theory of Numbers " (1798), joka on ensimmäinen yksityiskohtainen esitys tästä matematiikan osasta historiassa. 1700-luvun loppuun mennessä edistyttiin jatkuvien murtolukujen tutkimuksessa , erilaisten yhtälöiden ratkaisemisessa kokonaislukuina ( Wallis , Euler, Lagrange) ja alkulukujakauman tutkimisessa (Legendre).

Gauss aloitti kirjansa työskentelyn 20-vuotiaana (1797). Paikallisen kirjapainon kiireettömän työn vuoksi kirjan työstäminen kesti 4 vuotta; lisäksi Gauss pyrki koko ikänsä uskollisen säännön mukaan julkaisemaan vain valmiita tutkimuksia, jotka soveltuvat suoraan käytännön soveltamiseen. Toisin kuin Legendre, Gauss ei tarjonnut vain teoreemojen luetteloa, vaan järjestelmällisen teorian esityksen, joka perustuu yhtenäisiin ideoihin ja periaatteisiin. Kaikki tarkasteltavat ongelmat tuodaan algoritmin tasolle , kirja sisältää paljon numeerisia esimerkkejä, taulukoita ja selityksiä [3] [4] .

Kirjan sisältö

Kirja koostuu omistuksesta ja seitsemästä jaksosta, jotka on jaettu kappaleisiin, joissa on jatkuva numerointi. Periaatteessa Gauss ilmaisee kiitoksensa suojelijalleen Karl Wilhelm Ferdinandille , Brunswickin herttualle (omistus on jätetty pois vuoden 1959 venäjänkielisestä käännöksestä).

Kolme ensimmäistä osiota eivät käytännössä sisällä uusia tuloksia, vaikka ne ovat myös ideologisesti ja metodologisesti arvokkaita.

Osa 1. Numeroiden vertailukelpoisuudesta yleensä,

Tässä Gauss esittää yhteenvedon Eulerin tutkimuksesta kokonaislukujen modulo-vertailun keskeisen käsitteen ja tämän suhteen kätevän symbolismin, joka juurtui välittömästi matematiikkaan:

a\equiv b{\pmod {m))

Vertailurelaation ominaisuudet on annettu sekä lähentäen sitä tasa-arvosuhdetta että vertailusuhteelle ominaisia. Lisäksi koko lukuteoria on rakennettu "vertailujen kielelle". Erityisesti ensimmäistä kertaa historiassa rakennetaan jäännösluokkien osamäärä [5] .

Luku 2. Ensimmäisen asteen vertailuista.

Jakson alussa tarkastellaan erilaisia jaollisuuden ominaisuuksia . Niiden joukossa (kappaleessa 16) aritmetiikan peruslause on ensimmäistä kertaa täysin muotoiltu ja todistettu - toisin kuin edeltäjänsä, Gauss osoittaa selvästi, että alkutekijöiksi hajottaminen on ainutlaatuista : " Jokainen yhdistelmäluku voidaan hajottaa alkutekijöiksi vain yhdellä ja ainoalla tavalla ".

Seuraava on ensimmäisen asteen vertailuratkaisu:

ax+t\equiv 0{\pmod {p}}

ja tällaisten vertailujen järjestelmät.

Osa 3. Tietoja tehojäämistä,

Tässä osiossa ja sen jälkeen kirjoittaja siirtyy alkumoduulin yhden yläpuolella olevien asteiden vertailuihin . Jäännöksiä tutkiessaan Gauss todistaa primitiivisten juurien olemassaolon alkumoduulille (Eulerilla ei ole tiukkaa näyttöä tästä). Lagrangen lause on todistettu: asteen modulo a alkuvertailulla ei ole enää vertaansa vailla olevia ratkaisuja. $s$ $n$ $n$

Luku 4. Toisen asteen vertailuista.

Tässä Gauss todistaa kuuluisan neliöllisen vastavuoroisuuden lain , jota hän ansaitusti kutsui "kultaiseksi lauseeksi" ( lat. theorema aureum ). Euler muotoili sen ensimmäisen kerran vuonna 1772 (julkaistu Opuscula Analyticassa , 1783), Legendre tuli tähän lauseeseen itsenäisesti (1788), mutta kumpikaan ei kyennyt todistamaan lakia. Gauss etsi tapoja todistaa koko vuoden. Vastavuoroisuuden laki sallii erityisesti sen, että tietty kokonaisluku löytää moduulin, jonka suhteen jäännös (tai päinvastoin ei-jäännös) on. $a$ $a$

Luku 5. Toisen asteen muodoista ja epämääräisistä yhtälöistä.

Tämä on kirjan laajin osa. Kappaleen alussa Gauss antaa toisen todisteen neliöllisen vastavuoroisuuden laista (hän ehdotti myöhemmin kuutta lisää ja julkaisi vuonna 1832 (ilman todistetta) bikvadraattisen vastavuoroisuuden lain 4. asteen jäännöksille). Lisäksi kuvataan yksityiskohtaisesti toisen asteen muotojen teoria, joka päättää, mitä arvoja kokonaislukukertoimilla varustetun muodon lausekkeet voivat saada [6] . $ax^2 + 2bxy + cy^2$

Osio koostuu 4 osasta:

Luokittelu, teoria kokonaislukujen esittämisestä muodon binaarisilla neliöllisillä muodoilla , ratkaisu kokonaislukuina toisen asteen epämääräisestä yhtälöstä kahdella tuntemattomalla. Nämä tulokset on saatu jo aiemmin, pääasiassa Lagrange. $ax^2 + 2bxy + cy^2$
Teoria binääristen neliömuotojen luokkien koostumuksesta ja teoria niiden suvuista.
Kolmiosaisten neliömuotojen teoria, joka merkitsi monien muuttujien neliömuotojen aritmeettisen teorian alkua.
Muototeorian käytännön sovellukset: sukulauseen todistus, teoria lukujen laajentamisesta kolmen neliön tai kolmen kolmioluvun summaksi, määrittelemättömän yhtälön ratkaiseminen, toisen asteen yleisen epämääräisen yhtälön ratkaiseminen kahdella tuntemattomalla rationaalisissa luvuissa ja huomioita suvun luokkien keskimääräisestä lukumäärästä. $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$

Merkittävä osa jaksosta on luonteeltaan yleisalgebrallista, ja myöhemmin tämä materiaali siirrettiin yleiseen ryhmien ja renkaiden teoriaan.

Osa 6. Erilaisia aikaisemman tutkimuksen sovelluksia.

Gauss ratkaisee useita käytännössä tärkeitä ongelmia.

Tarkastellaan murto -osaa , jossa nimittäjä voidaan esittää koprime - lukujen tulona: Sitten murto-osaa voidaan laajentaa: ${\frac {m}{n)),$ $n$ $n=abc\dots$

{\frac {m}{n}}={\frac {u}{a}}+{\frac {v}{b}}+{\frac {w}{c}}+\pisteet

Teoria tavallisten murtolukujen esittämisestä jaksollisilla desimaaliluvuilla - jakson pituuden riippuvuutta murto-osan nimittäjästä, jaksonumeroiden muodostumislakia ja yhteyttä primitiivisiin juuriin tutkitaan perusteellisesti.
Vertailuratkaisumenetelmä, joka ei vaadi indeksitaulukoiden käyttöä . $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$
Menetelmä yhtälön ratkaisemiseksi kokonaislukuina. $mx^{2}+ny^{2}=a$
Kaksi tapaa tarkistaa, onko annettu kokonaisluku alkuluku.

Kappale 7. Yhtälöistä, joista ympyrän jako riippuu.

Ympyrän jakaminen yhtä suuriin osiin tai vastaavasti säännöllisen piirretyn kulman rakentaminen voidaan kuvata algebrallisesti ympyrän jakamisyhtälön ratkaisemiseksi kompleksitasossa . Tämän yhtälön juuria kutsutaan "ykseyden juuriksi ". Jos rajoitamme vanhojen periaatteiden mukaisesti vain suureisiin, jotka voidaan rakentaa kompassin ja suoraviivan avulla, niin herää kysymys: millä arvoilla tällainen rakennelma on mahdollista ja miten se toteutetaan käytännössä [7] . $n$ $n$ $x^{n}-1=0$ $n$

Gauss oli ensimmäinen, joka ratkaisi tämän muinaisen ongelman tyhjentävästi. Muinaiset kreikkalaiset osasivat jakaa ympyrän osiin seuraaville arvoille $n$ $n:$

{\displaystyle 2^{k};\quad 3\cdot 2^{k};\quad 5\cdot 2^{k};\quad 15\cdot 2^{k))

Gauss muotoili kriteerin, joka tuli myöhemmin tunnetuksi " Gauss-Wanzel-lauseena ": konstruktio on mahdollista jos ja vain jos se voidaan esittää muodossa [7] : $n$

n=p_{1}p_{2}\dots p_{t}\cdot 2^{k},

missä ovat muodon eri alkuluvut ${\displaystyle p_{1},p_{2}\dots p_{t))$ $2^{m}+1.$

Ympyrän jakoyhtälön juuret voidaan aina ilmaista "radikaaleina", mutta yleisesti ottaen tämä lauseke sisältää radikaaleja, joiden aste on korkeampi kuin toinen, ja kompassin ja viivaimen avulla voit poimia vain neliöjuuria. Siksi Gauss-kriteeri valitsee ne ja vain ne arvot , joiden radikaalien aste ei ole suurempi kuin toinen. Erityisesti Gauss osoitti, kuinka säännöllinen 17 kulman rakennetaan johtamalla kaava: $n,$

\cos {\frac {360^{\circ }}{17}}={\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {2\left( 17-{\sqrt {17}}\oikea)}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2\left(17-{\sqrt {17}}\right )))-2{\sqrt {2\left(17+{\sqrt {17}}\right))))}}\oikea)

Koska tämä kaava sisältää vain neliöjuuria, kaikki siihen sisältyvät suureet voidaan muodostaa kompassilla ja viivaimella. Gauss oli ylpeä tästä löydöstä ja testamentaa hautakiveensä säännöllisen 17 kulman, joka oli kaiverrettu ympyrään [8] . Hän vakuutti luottavaisesti, että kaikki yritykset rakentaa tavallinen seitsenkulmainen, 11-kulmainen jne. kompassilla ja viivaimella epäonnistuisivat.

"Aritmeettiset tutkimukset" sisältävät vain todisteen Gauss-kriteerin riittävyydestä, ja välttämättömyyden todistaminen on kirjoittajan mukaan jätetty pois, koska " tämän työn rajat eivät salli tämän todisteen esittämistä täällä " . " Jätettyä todistetta ei kuitenkaan löytynyt tutkijan teoksista eikä arkistosta; sen julkaisi ensimmäisen kerran ranskalainen matemaatikko Pierre Laurent Wantzel vuonna 1836 [7] [9] .

Historiallinen vaikutus

Historioitsijat kutsuvat Fermat ja Euleria ansaitusti lukuteorian luojiksi, mutta Gaussia pitäisi kutsua modernin lukuteorian luojaksi, jonka ideat ohjaavat teorian jatkokehitystä [10] . Yksi aritmeettisten tutkimusten pääsaavutuksista oli matemaattisen yhteisön asteittainen ymmärtäminen siitä tosiasiasta, että monet lukuteorian ongelmat (ja kuten pian kävi ilmi, ei vain tässä teoriassa) liittyvät epätavallisiin algebrallisiin rakenteisiin, joita piti tutkia. Ryhmien , renkaiden ja kenttien rakenteita , myös äärellisiä, käytettiin implisiittisesti jo Gaussin kirjassa ja kirjassa esitettyjen ongelmien ratkaisu koostui usein niiden ominaisuuksien ja piirteiden huomioon ottamisesta. Jo tässä kirjassa Gauss luottaa epästandardiin (modulaariseen) aritmetiikkaan; myöhemmissä työssään hän käyttää tottelematonta aritmetiikkaa kompleksisille kokonaislukuille ( Gaussin ) . Materiaalin kertyessä yleisen teorian tarve uusista rakenteista tuli yhä selvemmäksi.

Aritmeettisten tutkimusten tyyliä on kritisoitu (paikoin) liian lyhyestä; Siitä huolimatta monografia ansaitsi Lagrangen innostuneen arvion , hän sanoo kirjeessään Gaussille (1804): " Tutkimuksesi nosti sinut välittömästi ensimmäisten matemaatikoiden tasolle, ja mielestäni viimeinen osa sisältää kauneimman analyyttisen löydön näiden joukossa. tehty pitkään [11] .

Lisäksi Gaussin tutkimukset kehitti pääasiassa itse Gauss, joka julkaisi useita lukuteoriaa koskevia teoksia, joista ne aiheuttivat erityisen resonanssin:

1811: "Jonkin erikoissarjan yhteenveto".
1828-1832: "Biquadratic jäännösten teoria". Gaussin numerot ilmestyivät ensin siihen.

Gaussin uraauurtavaa työtä jatkoi Niels Abel , joka osoitti yleisen viidennen asteen yhtälön ratkaisemisen mahdottomuuden radikaaleilla. Algebrallisessa lukuteoriassa Gaussin työtä jatkoivat Jacobi , Eisenstein ja Hermite . Jacobi löysi vastavuoroisuuslain kuutiojäännöksille (1839) ja tutki kvaternaarimuotoja. Cauchy tutki yleistä epämääräistä kolmiosaista kuutioyhtälöä (1816). Dirichletillä , Gaussin seuraajalla Göttingenin osastolla, oli Aritmeettiset tutkimukset hakuteoksena, josta hän ei juuri koskaan eronnut, ja monissa töissään hän kehitti Gaussin ideoita. Kummerin suuri panos oli ihanteiden teorian kehittäminen , joka ratkaisi monia algebrallisia ongelmia [12] .

Ratkaiseva askel uuden algebran luomisessa oli Evariste Galoisin ja Arthur Cayleyn työ , josta nykyaikaisen yleisalgebran muodostuminen alkaa .

Julkaisut

Verkkoteksti

Teksti Wikilähteessä .
PDF-muodossa .

Venäjänkielinen käännös

Carl Friedrich Gauss. Proceedings on lukuteoria / Akateemikko I. M. Vinogradovin yleinen painos , vastaavan jäsenen kommentit. Neuvostoliiton tiedeakatemia B. N. Delaunay . - M. : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1959. - 297 s. - (tieteen klassikot).

Muistiinpanot

↑ Teoksia lukuteoriasta, 1959 , s. 875-876.
↑ Teoksia lukuteoriasta, 1959 , s. 878, 882.
↑ Teoksia lukuteoriasta, 1959 , s. 878, 881-882.
↑ Klein F., 1937 , s. 54.
↑ 1800-luvun matematiikka. Osa I, 1978 , s. 62, 82-83.
↑ Teoksia lukuteoriasta, 1959 , s. 906.
↑ 1 2 3 B. N. Delaunay, 1959 , s. 957-966.
↑ Gaussin haudalla oleva obeliski ei sisällä tätä hahmoa, mutta se näkyy jalustan muodossa, jolla monumentti seisoo, katso sivusto "Gaussin hauta" .
↑ 1800-luvun matematiikka. Osa I, 1978 , s. 40.
↑ Klein F., 1937 , s. 55.
↑ E. T. Bell, Makers of Mathematics . - M . : Koulutus, 1979. - 256 s.
↑ Vileitner G., 1960 , s. 375-376.

Kirjallisuus

Vileitner G. Matematiikan historiaa Descartesista 1800-luvun puoliväliin. - M .: GIFML, 1960. - 468 s.
Delaunay B. N. Gaussin teoksia lukuteoriasta // Carl Friedrich Gauss . Työskentelee lukuteorian parissa. - M . : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1959. - S. 879-976. — 297 s. - (tieteen klassikot).
Klein F. Luennot matematiikan kehityksestä 1800-luvulla . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - 432 s.
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka. Osa I: Matemaattinen logiikka, algebra, lukuteoria, todennäköisyysteoria. - M .: Nauka, 1978.
Lisana, Antonio Rufian . Jos luvut puhuisivat. Gauss. Numeroteoria. Sarja: Tiede. Suurimmat teoriat. Numero 8. M.: DeAgostini, 2015. ISSN 2409-0069. 168 s.

Temaattiset sivustot	OCLC OCLC
Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa) Universalis