Gaussin kokonaisluvut

Gaussin kokonaisluvut ( Gaussin luvut , kompleksiset kokonaisluvut ) ovat kompleksilukuja , joissa sekä reaali- että imaginaariosa ovat kokonaislukuja [1] .

Esimerkkejä: . $1+2i;\quad -4+11i;\quad 4i;\quad 5;\quad 1-i$

Gauss esitteli ensimmäisen kerran monografiassa "The Theory of Biquadratic Residues" (1828-1832) [2] [3] . Gaussin kokonaislukujen joukkoa merkitään yleensä , mikä kuvastaa sitä tosiasiaa, että se saadaan kokonaislukujoukosta lisäämällä siihen imaginaariyksikkö ja yhdistämällä se kokonaislukuihin. Gaussin lukujen ominaisuudet ovat samanlaisia kuin tavallisten kokonaislukujen ominaisuudet, mutta niissä on merkittäviä eroja. ${\mathbb {Z}}[i],$ $\mathbb {Z}$ $i$

Yleiset ominaisuudet

Määritelmä ja luokitus

Muodollinen määritelmä:

{\mathbb {Z}}[i]=\{a+bi\mid a,b\in {\mathbb {Z}}\}

Joukko sisältää joukon tavallisia kokonaislukuja ja on sen jatke [4] . Gaussin lukujen summa, erotus ja tulo ovat Gaussin lukuja; niille, kuten myös kokonaisluvuille, assosiatiivisuuden , kommutatiivisuuden ja distributiivisuuden ominaisuudet säilyvät - tällaista algebrallista rakennetta kutsutaan kommutatiiviseksi renkaaksi yleisalgebrassa [5] . On mahdotonta ottaa käyttöön järjestystä , joka on yhdenmukainen reaalilukujen järjestyksen kanssa tässä kompleksisessa renkaassa . ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Z}$

Gaussin luvun konjugaatti on myös Gaussin luku . $a+bi$ $bi$

Jokainen Gaussin luku täyttää toisen asteen yhtälön: $z=a+bi$

(za)^{2}+b^{2}=0

Siksi Gaussin luku on algebrallinen kokonaisluku .

Norma

Gaussin luvun normi määritellään sen moduulin neliönä [6] : $a+bi$

N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}

Normin ominaisuudet [7] :

Normi on nolla vain nollalle. Muuten normi on positiivinen kokonaisluku.
Konjugaattilukujen normit ovat samat.
Tavallisen kokonaisluvun normi on yhtä suuri kuin sen neliö.
Jos normi on pariton, niin sillä on muoto , eli kun se jaetaan 4:llä, jäännös on 1. Millään Gaussin luvulla ei voi olla muotoa . $4n+1$ $4n+3$

Normilla, kuten moduulilla, on tärkeä kerrannaisominaisuus [7] :

N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v)

Tästä seuraa [8] , että renkaan käännettävät alkiot ( yksikön jakajat ) ovat niitä alkioita, joiden normi on yhtä suuri kuin 1, eli . $\{1;-1;i;-i\}$

Kahta Gaussin lukua kutsutaan assosioituneeksi, jos toinen saadaan toisesta kertomalla yksikön jakajalla. On helppo nähdä, että assosiaatio on ekvivalenssirelaatio [8] . Esimerkki: Gaussin numerot ja liittyvät, koska: $1+i$ $1-i$

1+i=i(1-i)

Jokaiseen nollasta poikkeavaan Gaussin lukuun liittyy kolme. Kaikkien neljän liittyvän numeron normit ovat samat.

Jakoteoria

Integraalijako

Gaussin lukujen kokonaislukujako määritellään tavalliseen tapaan [7] :

Gaussin luvun sanotaan olevan jaollinen (kokonaisluku) Gaussin luvulla , jos on olemassa kolmas Gauss-luku , joka . Nimitys: . $u$ $v$ $q$ $u = vq$ $v\mid u$

Ääntäminen: yksi kolmesta vastaavasta vaihtoehdosta.

$u$ on jaettu ; $v$
$v$ jakaa ; $u$
$v$ -jakaja . $u$

Perinteisiä termejä käytetään: jaollinen tai monikerta ( ), jakaja ( ) ja osamäärä ( ). Gaussin luvun jakajien määrä on aina äärellinen, kerrannaisten määrä on ääretön. $u$ $v$ $q$

Esimerkki: luku 2 on tasan jaollinen luvulla , koska . $1+i$ $2=(1+i)(1-i)$

Kaikki Gaussin luvut ovat jaollisia yksikköjakajilla, joten kaikissa Gaussin luvuissa, lukuun ottamatta yksikköjakajia, on vähintään 8 jakajaa: 4 yksikköjakajaa ja 4 niiden tuloa itse luvulla. Näitä jakajia kutsutaan triviaaleiksi [9] .

Integraalijako on ominaisuuksiltaan samanlainen kuin analoginen kokonaislukujen jako. Joitakin Gaussin lukuihin liittyviä ominaisuuksia [8] [7] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Jos Gaussin luku on tasan jaollinen tavallisella kokonaisluvulla, niin sekä reaali- että imaginaariosa ovat jaollisia tällä kokonaisluvulla . $z$ $z$
Jos ja , nämä numerot liittyvät. $u\mid v$ $v\mid u$
Jos , niin mikä tahansa kolmesta numeroon liittyvästä numerosta on jaollinen millä tahansa kolmesta numeroon liittyvästä numerosta . $u\mid v$ $v$ $u$
Jos jaollinen , niin konjugaatti osinkoon on jaollinen konjugaatilla jakajaan . $u$ $v\;(u=vq)$ $\overline u$ ${\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}})$
Kaikki Gaussin luvun jakajat ovat myös sen normin jakajia . $z$ $N(z)=z\cdot {\overline {z))$
Gaussin luvun normi on parillinen silloin ja vain, jos tämä luku on jaollinen luvulla . $1+i$
Jos , niin osingon normi on kerrottavuudesta johtuen jaollinen jakajan normilla. Jossa: $v\mid u$

N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v))))

Jaetuvuuden geometrinen esitys

Jokaisella Gaussin numerolla on 4 kerrannaista samalla normilla (ja vastaavasti samalla moduulilla) - tämä on itse ja siihen liittyvät 3 numeroa, jotka saadaan kertomalla peräkkäisellä luvulla : $z$ $z$ $z$ $i$

z;\iz;\-z;\-iz

Mutta kerrotaan kompleksitasolla luvun sädevektorin kierto 90 ° vastapäivään, ja tuloksen moduuli on sama. Siten kaikki 4 numeroa muodostavat tasasivuisen ristin (korostettu punaisella kuvassa), jonka keskus ja kärjet ovat kerrannaisia . Siirtämällä tätä ristiä peräkkäin kaikkiin suuntiin yhdellä neljästä arvosta, jotka liittyvät arvoon , saadaan koko tasolle neliöhila, jonka kaikki solmut (neliöiden kärjet) ovat kerrannaisia . Päinvastoin, mikä tahansa monikerta osuu yhteen hilasolmun kanssa. Kunkin ruudukon neliön leveys on . Lisäksi lyhyyden vuoksi tätä hilaa kutsutaan "kerrannaisten hilaksi" (tai, jos selvennystä vaaditaan, " -kerrannaisten hilaksi "). $i$ $z$ $z$ $z$ $z$ $|z|$ $z$

Esimerkki: kuvassa yksi hilan solmuista on luku , joka on luvun kerrannainen : $4-2i$ $1+2i$

4-2i=-2i(1+2i)

Yksinkertaiset Gaussin luvut

Gaussin alkuluku on nollasta poikkeava luku, jolla ei ole muita jakajia kuin triviaaleja. Lukua, joka ei ole alkuluku, kutsutaan yhdistelmäksi . Samaan aikaan yksikön jakajia, kuten luonnollista yksikköä, ei pidetä alku- eikä yhdistelmälukuina [10] .

Joitakin yksinkertaisten Gaussin lukujen ominaisuuksia:

Jos on Gaussin alkuluku, niin sen vastakkaiset ja konjugoidut Gaussin luvut ovat myös alkulukuja. $a+bi$ $-a-bi$ $bi$
Jos Gaussin alkuluku on Gaussin lukujen tulon jakaja, niin se on ainakin yhden tekijän jakaja.
Minkä tahansa yksinkertaisen Gaussin luvun normi, lukuun ottamatta niitä, jotka liittyvät numeroon , on aina pariton ja siksi sen muoto on . $1+i$ $4n+1$

Luonnollinen alkuluku ei välttämättä ole Gaussin alkuluku. Esimerkiksi luvut 2 ja 5 eivät ole enää alkulukuja: ${\mathbb {Z}}[i]$

2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i)

Katso Gaussin lukujen tekijöiden jako yksinkertaisiksi Gaussin tekijöiksi taulukosta Gauss-lukujen kertoimia .

Koprime-luvut

Jos Gaussin luku on kahden Gaussin luvun jakaja ja , Sitä kutsutaan niiden yhteiseksi jakajaksi. Kahden luvun yhteisten jakajien joukko sisältää aina 4 yhden jakajaa; jos muita yhteisiä jakajia ei ole, näitä lukuja kutsutaan koprimeiksi [11] . $w$ $u$ $v$

Huomaa, että jos Gaussin lukujen normit ovat koprime kokonaislukuina, itse luvut ovat koprime Gaussin lukuina. Päinvastoin ei pidä paikkaansa: koprime-Gaussin lukujen normeilla voi olla yhteisiä jakajia - esimerkiksi ja ne ovat koprime, mutta niiden normit ovat samat eivätkä siksi ole koprime. $u, v$ $u, v$ $5+2i$ $5-2i$

Osoitetaan kaksi kokonaislukujen ominaisuuksien kanssa analogista ominaisuutta.

Jos kumpikin kahdesta Gaussin luvusta on koprime ja Gaussin luku , niin niiden tulo on myös koprime [11] kanssa . $u, v$ $w,$ $UV$ $w$
Jos ja samaan aikaan koprime kanssa , niin [12] . $z|uv$ $z$ $u$ $z|v$

Gaussin kriteeri

Gauss osoitti alkuluvun määrittävät piirteet julkaisussa [13] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Gaussin luku on alkuluku, jos ja vain jos: $a+bi$

jompikumpi luvuista on nolla ja toinen on muodon alkukokonaisluku ; $a,b$ $\pm (4n+3)$
tai molemmat eivät ole nollia ja normi on yksinkertainen luonnollinen luku. $a,b$ $a^{2}+b^{2}$

Esimerkkejä yksinkertaisista Gaussin luvuista:

kriteerin ensimmäiseen osaan: ; $\pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i$
perusteen toiseen osaan: . $1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i$

Selvyyden vuoksi jotkut lähteet jakavat kriteerin toisen osan kahteen [14] :

Numerot, jotka liittyvät . Heidän norminsa on 2. $1+i$
Numerot, joiden normi on muodon yksinkertainen luonnollinen luku . $4n+1$

Gauss itse ei tehnyt tällaista jakoa [15] .

Seuraukset:

Yksikään muodon luonnollinen alkuluku ei voi olla Gaussin alkuluku. Muodon yksinkertaiset luonnolliset luvut ovat myös yksinkertaisia Gaussin lukuja. $4n+1$ $4n+3$
Yksinkertaisen Gaussin luvun normi on joko yksinkertainen luonnollinen luku tai yksinkertaisen luonnollisen luvun neliö [16] .
Muodon yksinkertainen luonnollinen luku voidaan esittää konjugoitujen yksinkertaisten Gaussin lukujen tulona tai, mikä on sama, neliöiden summana . Tämä tosiasia tunnetaan Fermat-Euler-lauseena . Juuri tämän aiheen sekä bikvadraattisten tähteiden teorian tutkimuksessa Gauss sovelsi menestyksekkäästi monimutkaisia kokonaislukuja. Kääntäen, jos luonnollinen alkuluku voidaan esittää luonnonneliöiden summana, se on komposiitti ja hajoaa kahdeksi konjugoiduksi Gaussin alkuluvuksi [17] . $4n+1$ $(a+bi)(a-bi)$ $a^{2}+b^{2}$ ${\mathbb {Z}}[i]$
Jokainen Gaussin alkuluku on yhden ja vain yhden luonnollisen alkuluvun jakaja [17] . Tämä tarkoittaa, että jakamalla luonnolliset alkuluvut Gaussin tekijöiksi saadaan kaikki Gaussin alkuluvut.

Prime factorization

Siinä on aritmeettisen päälauseen analogi : jokainen Gaussin luku, joka ei ole nolla tai yksikön jakaja, hajotetaan alkutekijöiksi, ja tämä hajottelu on ainutlaatuinen tekijöiden järjestykseen ja assosiaatioon asti [1] [18] . ${\mathbb {Z}}[i]$

Esimerkki: . Näiden kahden näennäisesti erilaisen laajennuksen tekijät liittyvät pareittain: jotta ainutlaatuisuus ei loukkaa. $5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i)$ $1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),$

Käytännössä Gaussin luvun jakamiseksi alkutekijöiksi voit käyttää yllä olevaa ominaisuutta: kaikki Gaussin luvun jakajat ovat myös sen normin jakajia. Lisäksi normi sisältää myös "ylimääräiset" alkutekijät, jotka vastaavat luvun konjugaattia . $z$ $z$

Siksi pitäisi aloittaa luvun normin hajottamisesta yksinkertaisiksi luonnollisiksi tekijöiksi [19] . $z$

Kerroin 2, jos se esiintyy normin hajotuksessa, hajotetaan muodossa . Tuloksena olevaan hajotukseen on sisällytettävä ne näistä tekijöistä (sopivassa määrin), joilla se jaetaan kokonaan. $(1+i)(1-i)$ $z$
Paitsi 2, loput normitekijät ovat parittomia. Näkymätekijä on yksinkertainen Gaussin luku, joten se jakaa normin lisäksi myös itsensä . Mutta sitten tämä tekijä jakaa myös konjugaattiluvun . Tästä seuraa, että muodon tekijä tulee aina tasaisesti normin laajenemiseen ja itsensä laajenemiseen - puoleen niin suureen asteeseen. $4n+3$ $N(z)=~z\overline {z}$ $z$ $\overline{z}$ $4n+3$ $z$
Muodon kerroin voidaan jakaa konjugoitujen Gaussin alkulukujen tuloksi (tai, mikä on sama, luonnollisten lukujen neliöiden summaksi). Ja tässä on tarpeen selvittää jakamalla, mikä tekijöistä viittaa alkuperäiseen numeroon ja mikä konjugaattiin. $4n+1$

Esimerkiksi alkutekijöihin hajottamista varten (normi on 225) erotetaan yksinkertaiset luonnolliset tekijät: . Edellisen mukaan . Se on vain jaollinen eikä jaollinen :lla . Näin ollen yhtäläisten osamäärä on lopputulos: $9+12i$ $225=3^{2}\cdot 5^{2}$ $5=(2-i)(2+i)$ $9+12i$ $2+i$ $2-i$ $9+12i$ ${\näyttötyyli 3(2+i)}$ $2+i,$

9+12i=3\cdot (2+i)^{2}

Vertailuteoria

Gaussin vertailut

Moduulivertailun käsite määritellään samalla tavalla kuin se tehdään kokonaisluvuille [20] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Olkoon jokin Gaussin luku. Kahden Gaussin luvun sanotaan olevan vertailukelpoinen modulo , jos ero on jaollinen (kokonaisluku) luvulla . Tallennus :. $w$ $u, v$ $w$ $UV$ $w$ $u\equiv v{\pmod {w}}$

Vertailujen ominaisuudet ovat periaatteessa samat kuin kokonaislukujen ominaisuudet. Vertailurelaatio on ekvivalenssirelaatio , joten se on jaettu ei-leikkaaviin jäännösluokkiin - jokainen tällainen luokka sisältää kaikki keskenään vertailukelpoiset Gaussin luvut (tietyllä modulolla). Luokille, kuten kokonaislukujen tapauksessa, yhteen- ja kertolasku voidaan määrittää siten, että saadaan jäännösrengas modulo Gaussin. ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Esimerkki. Otetaan vertailumoduuliksi . Sitten se jaetaan kahteen jäännösluokkaan: luvut , joilla on sama pariteetti, kuuluvat yhteen luokkaan (sisältävät moduulin kerrannaisia) ja luvut, joilla on eri pariteetti, kuuluvat toiseen. $1+i$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $a+bi$ $a,b$ $a,b$

Gaussin vertailussa on joitain erityispiirteitä. Esimerkiksi, jos kokonaisluvuille modulo 3 on 3 luokkaa jäännösten edustajia, niin Gaussin lukujen modulo 3 luokkien lukumäärä on paljon suurempi. Heidän edustajansa: $0;\ 1;\ 2,$

0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i

Kuten Gauss havaitsi, modulo-jäännösrengas sisältää elementtejä [20] . Tämä tosiasia pakottaa meidät muokkaamaan joitain klassisia lauseita. Esimerkiksi Fermatin pieni kokonaislukulause sanoo, että se on jaollinen millä tahansa alku- ja luonnollisella luvulla . Gaussin lukujen osalta tämä ei pidä paikkaansa, vaikka se rajoittuisikin luonnollisiin arvoihin ; esimerkiksi kokonaisluvuille se on aina jaollinen kolmella, mutta Gaussin luvuilla tämäkään arvo ei ole jaollinen kolmella. Fermatin pienen lauseen muunneltu analogi muotoillaan seuraavasti [20] : $a+bi$ $N(a+bi)=a^{2}+b^{2}$ $(a^{p}-a)$ $s$ $s$ $a$ $s$ $a^{3}-a$ $i^{3}-i=-2i$

Gaussin alkuluku ja mikä tahansa Gaussin luku on jaollinen luvulla . $w=a+bi$ $u$
$(u^{{N(w)}}-u)=(u^{{a^{2}+b^{2}}}-u)$ $w$

Samassa esimerkissä tuloksella: - on jaollinen 3:lla. $w=3;u=i$ $(i^{9}-i)=0$

Kutsutaan luvun sisältävien modulojäännösten luokkaa palautuvaksi , jos vertailussa on ratkaisu suhteessa . Luokka on käännettävä silloin ja vain jos Gaussin luvut ja ovat suhteellisen alkulukuja [20] . Erityisesti, jos kongruenssimoduuli on Gaussin alkuluku, niin jokaisessa nollasta poikkeavassa jäännösluokassa on käänteisalkio, mikä tarkoittaa, että jäännösluokat moduloivat alkulukua sekä kentässä että muodossa . $w,$ $sinä,$ $ux\equiv 1{\pmod {w}}$ $x$ $u$ $w$ $w$ ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}),$

Euler-funktio Gaussin luvuille

Esitetään Euler-funktion analogi Gaussin luvuille. Kokonaislukujen määritelmä ei ole sopiva, jo pelkästään siksi, että sen sisältämä lauseke "alkaen " ei ole järkevä kompleksiluvuille. Uusi määritelmä [20] : $yksi$ $n$

Gaussin luvun Euler-funktio määritellään palautuvien jäännösluokkien lukumääräksi modulo . $\varphi (z)$ $z$ $z$

Tällä tavalla määritelty funktio, kuten sen prototyyppi kokonaisluvuille, on kertova , joten riittää, että tietää sen arvot alkuluvuille ja niiden luonnolliset potenssit. Jos on Gaussin alkuluku, niin [20] : $z$

\varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{{k-1}}(N(z)-1)

Esimerkki: . $\varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20$

Nyt voidaan yleistää edellisessä osiossa annettu Fermatin pieni lause mielivaltaisen (ei välttämättä yksinkertaisen) komparaattorimoduulin tapaukselle, eli voimme antaa analogin Eulerin lauseelle [20] :

Jos Gaussin luku on koprime ja modulo , niin: $z$ $w,$

z^{{\varphi (w)}}\equiv 1{\pmod w}

Modulovertailun geometrinen esitys

Tarkastellaan esimerkkinä modulo-vertailua . Kuten jaetuvuuden geometrista esitystapaa käsittelevässä osiossa todetaan, on mahdollista jakaa kompleksitaso neliöiksi siten, että tämän hilan solmut (neliöiden kärjet) edustavat kaikkia mahdollisia kompleksikertoja . Tällöin luvut ovat määritelmän mukaan vertailukelpoisia modulo -ja, jos niiden ero osuu yhteen kerrannaisten hilan solmun kanssa. $w=1+2i$ $1+2i$ $w$

Jokainen hilan neliö saadaan mistä tahansa toisesta neliöstä siirrolla (siirrolla) kerrannaisella, joten minkä tahansa neliön pisteen ero ja sen siirtymän tulos on myös :n kerrannainen . Tästä seuraa lopullinen johtopäätös [20] : $w,$ $w$

Gaussin luvut ovat modulo-vertailukelpoisia silloin ja vain, jos niillä on sama suhteellinen asema kerrannaishilan neliöissään. $w$

Esimerkiksi kaikki neliöiden keskipisteet ovat vertailukelpoisia tai niiden vastaavien sivujen keskipisteet jne.

Jako loppuosalla

Määritelmä

Renkaassa voidaan määritellä jako jäännöksellä (millä tahansa nollasta poikkeavalla Gaussin luvulla) edellyttämällä, että jäännöksen normi on pienempi kuin jakajan normi [21] : ${\mathbb {Z}}[i]$

Mikä tahansa Gauss-luku voidaan jakaa jäännöksellä millä tahansa nollasta poikkeavalla Gauss-luvulla , eli se esitetään seuraavasti: $u$ $v$

u=vq+r

jossa osamäärä ja jäännös ovat Gaussin lukuja, ja . $q$ $r$ $N(r)<N(v)$

On helppo osoittaa, että jäännöksellä jaon osamääränä voidaan ottaa Gaussin luku, joka on lähinnä kompleksilukujen tavallisen jaon osamäärää [22] .

On huomattava, että ehto "jäännöksen normi on pienempi kuin jakajan normi" ei riitä takaamaan jakojäännöksen ainutlaatuisuutta, joten jäännös on epäselvä. Voidaan esimerkiksi jakaa kolmeen tapaan: ${\mathbb {Z}}[i]$ $7+2i$ $3-i$

7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3=(3-i)(2+2i)+(-1-2i)

Voidaan vain taata, että kaikki jäännökset kuuluvat samaan jäännösluokkaan jakajan modulo. Samanlainen tilanne on kuitenkin myös tavallisilla kokonaisluvuilla - esimerkiksi on kaksi tapaa jakaa jäännöksellä 8 kolmella: tai (molemmat jäännökset ovat modulo pienempiä kuin jakaja), siksi kokonaislukuaritmetiikkaan lisätään lisäehto toiminnon ainutlaatuisuuden varmistamiseksi: loppuosan tulee olla ei-negatiivista . $8=3\cdot 2+2$ $8=3\cdot 3-1$

Esimerkki . Jakoa varten, jonka jäännös on at , tavallisen kompleksijaon osamäärä löydetään ensin: $11+10i$ $4+i$

{\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)))={\frac {54+ 29i}{17}}\noin 3{,}17+1{,}7i

Tulosta lähinnä oleva Gaussin luku on silloin jäännös on . Lopulta: $3+2i,$ $11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i$

11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i

Gaussin luvuille pätee kiinalaisen jäännöslauseen analogi , koska se on todistettu käyttämällä Eukleideen algoritmia .

Geometrinen esitys

Määritelmästä jako jäännösosan kanssa seuraa , että Eli moduuli jäännös on etäisyys kompleksiluvut ja . Toisin sanoen osingosta on etäisyys yhteen solmuihin - kerrannaishilaan. Vaatimus "jäännöksen normi on pienempi kuin jakajan normi" vastaa ehtoa . Tästä seuraa: $u$ $v$ $|r|=|u-vq|$ $u$ $vq$ $|r|$ $v$ $|r|<|v|$

Jakojäännöksellä on niin monta ratkaisua kuin kerrannaisten hilan solmujen määrä on pienempi kuin osingosta . $u$ $v$ $v$ $|v|$

Yllä olevassa esimerkin mukaisessa jaossa osinkoa lähinnä olevan jakajan kerrannaiset ovat osingon sisältävän hilan neliön kärjet: $7+2i$ $3-i$

7+i=(3-i)(2+i)

4+2i=(3-i)(1+i)

8+4i=(3-i)(2+2i)

Kaikki ne ovat peräisin osingosta etäisyydellä alle . Neliön neljäs kärki on enemmän kuin . Siksi tällä jäännöksellä jakamisen ongelmalla on kolme ratkaisua. $|v|={\sqrt {10}}$ $5+5i$ ${\sqrt {10}}$

Yleisessä tapauksessa piirretään useiden kaarien, joiden säde on neliömäisen hilan huipuista , saadaan kuvassa esitetty kuvio. Jos jako on keskialueella (punainen vyöhyke), se on alle 100 % kaikista kärjeistä ja jako jäännösosalla voidaan tehdä neljällä tavalla. Jos osinko on jossakin "terälehdistä" (sininen vyöhyke), yksi kärkipisteistä katoaa ja ratkaisujen lukumäärä on kolme. Valkoiselle alueelle saadaan kaksi ratkaisua. Lopuksi, jos osinko osuu yhteen kärjen kanssa, jäännös on nolla ja ratkaisu on ainutlaatuinen. $v$ $|v|,$ $|v|,$

Suurin yhteinen jakaja

Gaussin lukujen rengas on euklidinen , ja siinä on aina mahdollista määrittää suurin yhteinen jakaja , joka määräytyy yksiselitteisesti yksikön jakajiin asti [23] .

Gcd:n suurin yhteinen jakaja Gaussin numeroille ja , joista ainakin yksi ei ole nolla, on niiden yhteinen jakaja, joka on jaollinen millä tahansa muulla yhteisellä jakajalla ja . $(u,v)$ $u$ $v$ $u$ $v$

Vastaava määritelmä: GCD on yhteinen jakaja , jonka normi on maksimi [24] . $(u,v)$ $u, v$

GCD-ominaisuudet

Jos jokin gcd tunnetaan, niin mikä tahansa kolmesta siihen liittyvästä numerosta on myös gcd. Erityisesti. jos yksi GCD:stä on yksikköjakaja, niin ovat myös kolme muuta GCD:tä.
Gaussin luvut ovat koprimeja, jos ja vain jos niiden gcd on yksikköjakaja.
Bezout-relaatiosta on olemassa analogi [25] :

Antaa olla Gaussin numeroita, ja ainakin yksi niistä ei ole nolla. Sitten on Gaussin lukuja , joissa seuraava relaatio pätee: $u, v$ $x,y$

GCD

(u,v)=xu+yv

Toisin sanoen kahden Gaussin luvun suurin yhteinen jakaja voidaan aina esittää näiden lukujen lineaarisena yhdistelmänä Gaussin kertoimilla.

Bezout-relaation [25] seuraus : jos Gaussin luvut ovat koprime, yhtälöllä suhteessa on ratkaisu . Yllä olevan yhtälön ykkösen sijasta mikä tahansa muu yksikön jakaja voi olla voimassa, kun taas lause pysyy tosi. $u, v$ $xu+yv=1$ $x,y$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Euklidesin algoritmi ja gcd:n käytännön laskenta

Sen gcd:n määrittämiseen on kätevää käyttää Euclid-algoritmia , joka on melko samanlainen kuin kokonaisluvuille käytetty. GCD saadaan tässä kaaviossa viimeisenä nollasta poikkeavana jäännöksenä [26] . Euklidesin algoritmia voidaan käyttää myös kertoimien löytämiseen Bézout-relaatiosta [20] . ${\mathbb {Z}}[i]$ $x,y$

Esimerkki 1. Etsi GCD kohteille ja . $32+9i$ $4+11i$

Vaihe 1: (jaettuna ensimmäisen numeron loppuosalla toisella)

32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i

Vaihe 2: (jaettu edellisen jakajan loppuosalla edellisen vaiheen loppuosalla)

4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i

Vaihe 3: (sama toimenpide)

2-5i=(3-i)(1-i)-i

Vaihe 4: (sama toimenpide, jako suoritettu kokonaan)

3-i=(-i)(1+3i)

Huomaa, että jäännöksen normi pienenee monotonisesti jokaisessa vaiheessa. Viimeinen nollasta poikkeava jäännös on , joka on yksikön jakaja, joten päätämme, että tutkittavat luvut ovat koprime. $-i$

Esimerkki 2. Etsi GCD kohteille ja . $11+3i$ $1+8i$

Vaihe 1:

11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i

Vaihe 2:

1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)

Vaihe 3: (jako valmis)

2-4i=(-1+2i)(-2)

Viimeinen nollasta poikkeava jäännös on , ja tämä on vaadittu GCD. Korvaamalla tasa-arvojen oikeat osat peräkkäin vasenten osien sijaan (alkaen toiseksi viimeisestä yhtälöstä alhaalta ylös), saamme GCD:n Bezout-relaation: $-1+2i$

-1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i)

Jotkut sovellukset

Gauss käytti löytämänsä algebrallisen rakenteen tutkiakseen syvällisesti bikvadraattisia jäämiä. On mahdollista osoittaa muita Gaussin lukujen onnistuneen soveltamisen alueita [27] . On huomionarvoista, että merkittävä osa niistä viittaa ei kompleksisten, vaan luonnollisten lukujen teoriaan.

Luonnollisten lukujen hajoaminen kahden neliön summiksi

Gaussin kriteeristä seuraa, että muodon luonnollinen alkuluku voidaan esittää kahden luonnollisen luvun neliöiden summana ja ainutlaatuisella tavalla. Esimerkki: . $4n+1$ $29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}$

Erilaisten luonnollisten lukujen hajottaminen ei ole aina mahdollista - esimerkiksi muita samanlaisia lukuja ei voida esittää kahden luonnollisen luvun neliöiden summana. Yhdistelmäluvuilla voi myös olla useampi kuin yksi laajennus, esimerkiksi [27] : . Yleinen lause: luonnollinen luku voidaan esittää kahden neliön summana, jos ja vain jos sen kanonisessa laajennuksessa kaikki muodon alkutekijät ovat parillisissa potenssiissa [17] . $15; 19; 27; 103$ $4n+3$ ${\displaystyle 65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2))$ $4n+3$

Esimerkki: ei voida esittää neliöiden summana, koska luku 3 (kuten 7) sisältyy siihen parittomalla asteella. Mutta voit kuvitella : $21=3\cdot 7$ ${\displaystyle 245=5\cdot 7^{2))$ $245=7^{2}+14^{2}$

Esitysten lukumäärän laskeminen kahden neliön summana

Luonnollisen luvun esitysten lukumäärä neliöiden summana (tai, mikä on sama, Gaussin lukujen määrä normilla ) voidaan määrittää seuraavasti [28] . Jaamme yksinkertaisiin luonnontekijöihin: $\rho (m)$ $m$ $m$ $m$

m=2^{\lambda }p_{1}^{{\lambda _{1))}p_{2}^({\lambda _{2))}\dots p_{r}^{{\lambda _ {r}}}q_{1}^{{\mu _{1}}}q_{2}^{{\mu _{2}}}\dots q_{s}^{{\mu _{s} }}

Tässä ovat muodon a tekijät ovat muodon tekijät . Sitten 3 tapausta on mahdollista. $p_{i}$ $4n+1,$ $q_{j}$ $4n+3$

Jos vähintään yksi eksponentti on pariton, lukua ei voida esittää neliöiden summana. $\mu _{j}$ $m$
Anna kaiken olla tasaista. Lopullinen kaava riippuu pariteetista . Jos ne kaikki ovat myös parillisia, kaava on muotoa: $\mu _{j}$ $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)+ yksi]

Jos kaikki eivät ole tasaisia, kaava on hieman erilainen: $\lambda _{i}$

\rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda _{1}+1)(\lambda _{2}+1)\cdots (\lambda _{r}+1)

Pythagoraan kolminkertaisten teoria

Pythagoraan kolmio on yksi yhtälön kokonaislukuratkaisuista:

x^{2}+y^{2}=z^{2}

Yhtälön yleinen ratkaisu riippuu kahdesta kokonaislukuparametrista : $m,n$

x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}

Pythagoraan kolmoiskappaleiden luomiseen voit käyttää tätä tekniikkaa. Antaa olla mielivaltainen Gaussin luku, jonka molemmat komponentit ovat nollasta poikkeavia. Neliöimällä tämä luku saadaan jokin muu Gaussin luku . Silloin kolmoiskappale on Pythagoraan [27] . $z=a+bi$ $a,b$ $c+di$ ${\displaystyle \{|c|;|d|;N(z)\))$

Esimerkki: alkuperäiselle luvulle saadaan Pythagoraan kolmois . $z=17+12i$ $(145;408;433)$

Diofantiiniyhtälöiden ratkaisu

Monien diofantiiniyhtälöiden ratkaisu löytyy, jos käytämme Gaussin lukujen laitteistoa. Esimerkiksi yhtälölle yksinkertaiset muunnokset antavat kahden tyyppisiä koprime-kokonaislukuratkaisuja [29] kokonaislukuparametreista riippuen : ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2z^{2))$ $a,b$

$x=a^{2}-2ab-b^{2};\;y=a^{2}+2ab-b^{2}$
$x=-a^{2}-2ab+b^{2};\;y=a^{2}-2ab-b^{2}$

Vuonna 1850 Victor Lebesgue tutki yhtälöä Gaussin lukujen avulla ja osoitti sen ratkaisemattomuuden luonnollisissa luvuissa. Toisin sanoen muodon luonnollisten lukujen joukossa ei ole yhtäkään täydellistä kuutiota tai muuta astetta toista korkeampaa [27] . ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n))$ $n^{2}+1$

Ratkaisemattomat ongelmat

Selvitä niiden Gaussin lukujen lukumäärä, joiden normi on pienempi kuin annettu luonnollinen vakio . Vastaavassa formulaatiossa tämä aihe tunnetaan " Gaussin ympyräongelmana " lukugeometriassa [30] [31] . $R$
Etsi kompleksitasosta suorat, jotka sisältävät äärettömän monta Gaussin alkulukua. Kaksi tällaista suoraa on ilmeisiä - nämä ovat koordinaattiakselit; ei tiedetä, onko muita olemassa [32] .
" Gaussin ojana " tunnettu kysymys : onko mahdollista mennä äärettömyyteen siirtymällä yksinkertaisesta Gaussin luvusta toiseen ennalta määrätyn pituisilla hyppyillä? Ongelma esitettiin vuonna 1962, eikä sitä ole vielä ratkaistu [33] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Toinen historiallisesti tärkeä euklidinen rengas, jonka ominaisuudet ovat samanlaisia kuin kokonaisluvut, olivat " Eisensteinin kokonaisluvut ".

Gaussin rationaaliluvut, joita merkitään , ovat muotoa olevia kompleksilukuja , joissa ovat rationaaliluvut . Tämä joukko on suljettu kaikissa neljässä aritmeettisessa operaatiossa, mukaan lukien jako, ja siksi se on kenttä , joka laajentaa Gaussin lukujen rengasta. ${\mathbb Q}(i)$ $a+bi$ $a,b$

Historia

1820-luvulla Carl Friedrich Gauss tutki bikvadraattista vastavuoroisuuslakia , jonka tuloksena syntyi monografia Theory of Biquadratic Residues (1828–1832). Juuri tässä työssä monimutkaiset kokonaisluvut osoittivat hyödyllisyytensä lukuteorian ongelmien ratkaisemisessa , vaikka näiden tehtävien muotoilulla ei ole mitään tekemistä kompleksilukujen kanssa. Gauss kirjoitti, että "yleisen teorian luonnollinen lähde löytyy aritmeettisen kentän laajennuksesta" [3] .

Gaussin kirjassa osoitettiin, että uusien lukujen ominaisuudet muistuttavat monessa suhteessa tavallisia kokonaislukuja. Kirjoittaja kuvasi ykseyden neljä jakajaa , määritteli assosiaatiorelaation, alkuluvun käsitteen, antoi yksinkertaisuuden kriteerin ja osoitti aritmeettisen peruslauseen , Fermatin pienen lauseen , analogeja . Gauss jatkoi keskustelemaan yksityiskohtaisesti monimutkaisista modulojäännöksistä, indekseistä ja primitiivisistä juurista . Rakennetun teorian pääsaavutus oli vastavuoroisuuden kaksikvadraattinen laki, jonka Gauss lupasi todistaa seuraavassa osassa; tätä teosta ei koskaan julkaistu, mutta Gaussin käsikirjoituksista löytyi yksityiskohtainen hahmotelma tiukasta todisteesta [3] .

Gauss käytti esittämiään lukuja myös muissa töissään, esimerkiksi algebrallisissa yhtälöissä [34] . Gaussin ideat kehitettiin Carl Gustav Jacob Jacobin ja Ferdinand Gotthold Eisensteinin kirjoituksissa . 1800-luvun puolivälissä Eisenstein, Dirichlet ja Hermite esittelivät ja tutkivat yleisen algebrallisen kokonaisluvun käsitteen .

Gaussin kokonaislukujen rengas oli yksi ensimmäisistä esimerkeistä algebrallisesta rakenteesta, jolla on epätavallisia ominaisuuksia. Ajan myötä löydettiin suuri määrä tämäntyyppisiä rakenteita, ja 1800-luvun lopulla ilmestyi abstrakti algebra , joka tutkii algebrallisia ominaisuuksia erikseen näitä ominaisuuksia kantavista kohteista.

Muistiinpanot

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1977 .
↑ K.F. Gauss, 1959 , s. 655-754.
↑ 1 2 3 1800-luvun matematiikka. Osa I: Matemaattinen logiikka, algebra, lukuteoria, todennäköisyysteoria, 1978 , s. 88-92.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 146.
↑ Ireland K., Rosen M., 1987 , s. 23.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 27-28.
↑ 1 2 3 4 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 147-149.
↑ 1 2 3 Okunev L. Ya., 1941 , s. 29.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 32.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 150.
↑ 1 2 Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 155.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 156.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 41, 44.
↑ Gaussin alkulukujen luokittelu , s. kymmenen.
↑ K.F. Gauss, 1959 , s. 698.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 158.
↑ 1 2 3 Conrad, Keith , luku 9.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 33-34.
↑ Conrad, Keith , luku 6.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Conrad, Keith , luku 7.
↑ Conrad, Keith , luku 3.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 30-31.
↑ Okunev L. Ya., 1941 , s. 35-36.
↑ Conrad, Keith , luku 4.
↑ 1 2 Conrad, Keith , Luku 5.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 153-155.
↑ 1 2 3 4 Conrad, Keith , Luku 8.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 164-166.
↑ Kuzmin R. O., Faddeev D. K., 1939 , s. 162-163.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. – s. 106.
↑ OEIS - sekvenssi A000328 _
↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. – 3. painos - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa. – 3. painos - New York: Springer, 2004. - P. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ Hardy GH, Wright EM, 1968 , s. 189.

Kirjallisuus

Ireland K., Rosen M. Klassinen johdatus nykyaikaiseen lukuteoriaan. - M .: Mir, 1987. - 416 s.
Alfutova N. B., Ustinov A. V. Algebra ja lukuteoria. Kokoelma tehtäviä matematiikan kouluille. - 3. painos, Rev. ja ylimääräistä - M. : MTSNMO, 2009. - 336 s. - ISBN 978-5-94057-550-4 .
Gauss KF Työskentelee lukuteorian parissa. - M . : Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1959. - S. 695-754.
Gaussin luku // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja , 1977. - T. 1.
Kaluzhnin L. A. Aritmetiikan päälause. - M .: Nauka, 1969. - 32 s. - ( Suosittuja matematiikan luentoja ).
Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.). 1800-luvun matematiikka. Matemaattinen logiikka, algebra, lukuteoria, todennäköisyysteoria. - M . : Nauka, 1978. - T. I.
Kuzmin R. O., Faddeev D. K. Algebra ja kompleksilukujen aritmetiikka. Opas opettajille. - M . : Uchpedgiz, 1939. - 187 s.
Okunev L. Ya. Kompleksiset kokonaisluvut. - M . : Valtio. äh.-ped. RSFSR:n koulutuksen kansankomissariaatin kustantamo, 1941. - 56 s.
Senderov V., Spivak A. Neliöiden ja Gaussin kokonaislukujen summat // Kvant . - 1999. - Nro 3 . - S. 14-22 .
Hardy GH, Wright EM Johdatus lukuteoriaan . – 4. painos. - Oxford.: Oxford University Press, 1968. - 421 s.

Linkit

Monimutkaiset Gaussin kokonaisluvut 'Gaussian Graphics'ille (englanniksi) (linkki ei ole käytettävissä) . Haettu 11. syyskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 14. kesäkuuta 2006.
Butler, Lee A. Gaussin alkulukujen luokitus . Käyttöönottopäivä: 16.1.2017.
Conrad, Keith. Gaussin kokonaisluvut (englanniksi) . Haettu: 11. syyskuuta 2013.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Larussa Britannica (verkossa)

Algebralliset luvut
Lajikkeet	Algebralliset kokonaisluvut Chebyshev-solmut Rakentavat numerot Eisensteinin kokonaisuus Gaussin kokonaisluvut Kummerin sormus Perronin numerot Piso-Vijayaraghavan numerot Kvadraattinen irrationaalisuus ℚ Juuret yhtenäisyydestä Salem numerot
Erityinen	Conway vakio 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2