Houkuttelija

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5. heinäkuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Attraktori ( eng. houkutella - houkutella, houkutella) - dynaamisen järjestelmän vaiheavaruuden kompakti osajoukko , jonka kaikki liikeradat jostain naapurustosta pyrkivät siihen ajan myötä äärettömyyteen. Attraktori voi olla houkutteleva kiinteä piste (esimerkiksi heilurin ongelmassa, jossa on kitka ilmaa vastaan), jaksollinen liikerata (esimerkiksi itsestään virittyneet värähtelyt positiivisessa takaisinkytkentäsilmukassa) tai jokin rajoitettu alue, jonka sisällä on epävakaat liikeradat (kuin outo houkutin).

Pyrkimyksen käsitteellä on erilaisia formalisaatioita, mikä johtaa erilaisiin attraktorin määritelmiin, jotka määrittelevät vastaavasti mahdollisesti erilaiset joukot (usein sisäkkäin toisiinsa). Yleisimmin käytetyt määritelmät ovat maksimiattraktori (usein sen pienessä ympäristössä, katso alla), Milnor- attraktori ja ei-vaeltava joukko .

Luokitus

Houkuttimet luokitellaan seuraavasti:

Aspiraation käsitteen formalisaatiot: erotetaan maksimiattraktori, ei-vaeltava joukko, Milnor-attraktori, Birkhoffin keskus, tilastollinen ja pienin attraktori.
Itse attraktorin säännöllisyydet: attraktorit jaetaan säännöllisiin (kiinteän pisteen houkutteleminen, jaksollinen lentorata, monimuoto ) ja oudoihin (epäsäännöllisiin - usein fraktaalit ja/tai johonkin osaan Cantor-joukoksi järjestettyjä ; niiden dynamiikka on yleensä kaoottista ).
Paikallisuus (" houkutteleva joukko ") ja globaalisuus (tässä - termi "minimi" merkityksessä "jakamaton").

Lisäksi on olemassa hyvin tunnettuja "nimettyjä" esimerkkejä attraktoreista: Lorentz , Plykin , Smale-Williams-solenoidi , heterokliininen attraktori ( Bowenin esimerkki ).

Ominaisuudet ja niihin liittyvät määritelmät

Kaikissa määritelmissä attraktorin oletetaan olevan suljettu ja (täysin) invariantti joukko.

Sinai-Ruelle-Bowen-mitan käsite liittyy läheisesti myös attraktorin käsitteeseen : siinä oleva invariantti mitta, johon tyypillisen (Lebesguen mittaan tarkoitetun) aloituspisteen aikakeskiarvot tai aikakeskiarvot. Lebesgue-suureen iteraatioista. Tällaista toimenpidettä ei kuitenkaan aina ole olemassa (mitä havainnollistaa erityisesti Bowenin esimerkki ).

Määritelmän formalisoinnin tyypit

Koska dynamiikka säilyttää joka tapauksessa koko vaiheavaruuden, voidaan antaa muodollinen attraktorin määritelmä perustuen filosofiaan, jonka mukaan "attraktori on pienin joukko, johon kaikki pyrkii" - toisin sanoen heittää pois kaiken, mitä voidaan heitetty pois vaihetilasta.

Maksimi houkutin

Annetaan dynaamiselle järjestelmälle alue , jonka dynamiikka kääntää tiukasti itsestään: $U$

\overline {f(U)}\subset U

Silloin järjestelmän maksimiattraktori U:n rajoituksessa on kaikkien sen kuvien leikkauspiste dynamiikan vaikutuksesta:

A_{{max}}=\bigcap _{{n=1}}^{{\infty }}f^{n}(U).

Samaa määritelmää voidaan soveltaa virtoihin: tässä tapauksessa on välttämätöntä edellyttää, että alueen rajalla oleva virtauksen määrittelevä vektorikenttä on suunnattu tiukasti sen sisään.

Tätä määritelmää käytetään usein luonnehtimaan joukkoa "luonnolliseksi" houkuttimeksi ("on lähialueensa maksimi houkuttelija"). Sitä käytetään myös osittaisdifferentiaaliyhtälöissä [1] .

Tällä määritelmällä on kaksi haittaa. Ensinnäkin sen käyttöä varten on löydettävä absorboiva alue. Toiseksi, jos tällainen alue valittiin epäonnistuneesti - sanotaan, että se sisälsi repulsiivisen kiinteän pisteen repulsiopoolineen - niin maksimiattraktorissa tulee olemaan "ylimääräisiä" pisteitä, joita ei itse asiassa voida sijoittaa useita kertoja peräkkäin, mutta tämän "ei tunnu" alueen nykyinen valinta.

Milnorin attraktori

Määritelmän mukaan dynaamisen järjestelmän Milnor-attraktori on pienin (inkluusio) suljettu joukko, joka sisältää lähes kaikkien alkupisteiden ω-rajajoukot Lebesguen mittaan nähden. Toisin sanoen tämä on pienin joukko, johon tyypillisen lähtöpisteen liikerata pyrkii.

Ei vaeltava joukko

Dynaamisen järjestelmän pistettä x kutsutaan vaeltavaksi , jos sen naapuruston U iteraatiot eivät koskaan ylitä tätä naapurustoa:

\forall n>0\quad f^{n}(U)\bigcap U=\emptyset .

Toisin sanoen piste on vaeltava, jos sillä on lähiö, jonka mikä tahansa lentorata voi ylittää vain kerran. Kaikkien ei-vaeltavien pisteiden joukkoa kutsutaan ei- vaeltavaksi joukoksi.

Tilastollinen attraktori

Tilastollinen attraktori määritellään vähiten sisällyttäviksi suljetuksi joukoksi , jonka läheisyydessä lähes kaikki pisteet viettävät lähes koko ajan: minkä tahansa sen naapurustossa , melkein mille tahansa (Lebesguen mittaan tarkoitetussa) pisteessä meillä on $A_{{stat}}$ $U$ $x$

{\frac {1}{N}}\#\{j\leq N\mid f^{j}(x)\in U\}\to 1,\quad N\to \infty .

Minimaalinen houkutin

Minimiattraktori määritellään pienimmäksi (sisällytyksen suhteen) suljetuksi joukoksi , jonka läheisyydessä lähes koko Lebesgue-mitta viettää lähes koko ajan: millä tahansa sen naapurustolla , $Olen sisällä}}$ $U$

{\frac {1}{N}}\sum _{{j=0}}^{{N-1}}(f_{*}^{j}(Leb))(U)\to 1,\quad N\to \infty .

Esimerkkejä ristiriitaisuuksista

Paikallisuus, minimaalisuus ja globaalisuus

Säännölliset ja omituiset houkuttimet

Tavalliset houkuttimet

Houkutteleva kiinteä piste

(esimerkki: heiluri kitkalla)

Rajajakso

(esimerkki: mikrofoni + kaiuttimet, Van der Pol -oskillaattori )

Outoja houkuttimet

(esimerkkejä: Lorenz - attraktori, Rössler-attraktori , Smale-Williams-solenoidi; selostus perhosefektistä ja dynaamisesta kaaoksesta .)

Outo attraktori on houkutteleva joukko epävakaita liikeratoja dissipatiivisen dynaamisen järjestelmän vaiheavaruudessa [2] . Toisin kuin attraktori, se ei ole jakoputki , eli se ei ole käyrä tai pinta. Outo attraktorin rakenne on fraktaali . Tällaisen attraktorin liikerata on ei-jaksollinen (se ei sulkeudu) ja toimintatapa on epävakaa (pienet poikkeamat moodista lisääntyvät). Attraktorin satunnaisuuden pääkriteeri on pienten häiriöiden eksponentiaalinen kasvu ajassa. Seurauksena tästä on "sekoittuminen" järjestelmässä, järjestelmän minkä tahansa koordinaatin ei-jaksollisuus ajassa , jatkuva tehospektri ja aikaa pienentävä autokorrelaatiofunktio .

Outojen attraktoreiden dynamiikka on usein kaoottista : houkuttimeen pudonneen lentoradan ennustaminen on vaikeaa, koska pieni epätarkkuudet alkutiedoissa jonkin ajan kuluttua voivat johtaa vahvaan eroavaisuuksiin ennusteen ja todellisen lentoradan välillä. Determinististen dynaamisten järjestelmien liikeradan arvaamattomuutta kutsutaan dynaamiseksi kaaokseksi , mikä erottaa sen stokastisissa dynaamisissa järjestelmissä esiintyvästä stokastisesta kaaoksesta . Tätä ilmiötä kutsutaan myös perhosefektiksi , mikä viittaa mahdollisuuteen muuttaa heikot turbulentit ilmavirrat, jotka johtuvat perhosen siipien räpyttelystä planeetan yhdessä pisteessä, voimakkaaksi tornadoksi sen toisella puolella, koska ne voivat moninkertaisesti vahvistua ilmakehässä joissakin paikoissa. aika. Mutta itse asiassa perhosen siiven läppä ei yleensä luo tornadoa, koska käytännössä on olemassa sellainen taipumus, että keskimäärin niin pienet vaihtelut eivät muuta niin monimutkaisten järjestelmien dynamiikkaa kuin planeetan ilmakehä, ja Lorentz itse sanoi tämä: "Mutta yleisesti ottaen väitän, että pienet shokit eivät vuosien mittaan lisää eivätkä vähennä erilaisten sääilmiöiden, kuten hurrikaanien, esiintymistiheyttä. He voivat vain muuttaa järjestystä, jossa nämä ilmiöt esiintyvät." Ja tämä on ehkä tärkeä ja yllättävä asia, jota ilman olisi vaikeaa, ellei mahdotonta, tutkia kaoottista dynamiikkaa (dynamiikkaa, joka on herkkä pienimmillekin muutoksille järjestelmän alkuolosuhteissa).

Outojen attraktoreiden joukossa on sellaisia, joiden Hausdorff-mitta poikkeaa topologisesta ulottuvuudesta ja on murto-osa. Yksi tunnetuimmista tällaisten attraktoreiden joukosta on Lorenz-attraktori .

Nimelliset esimerkit

Lorentzin attraktori

Lorentzin attraktorin luovalla differentiaaliyhtälöjärjestelmällä on muoto:

{\piste x}=\sigma (yx)

{\piste y}=x(rz)-y

{\piste z}=xy-bz

seuraavilla parametriarvoilla: , , . Lorenz-attraktori ei ole klassinen. Hän ei myöskään ole outo Smale - mielessä . [3] $\sigma =10$ $r=28$ $b=8/3$

Smale-Williams solenoidi

Smale-Williams-solenoidi on esimerkki käännettävästä dynaamisesta järjestelmästä , joka muistuttaa liikeradan käyttäytymistä ympyrän kaksinkertaistuvan kartoituksen kanssa. Tarkemmin sanottuna tämä dynaaminen järjestelmä on määritelty kiinteässä toruksessa , ja sen yhdessä iteraatiossa kulmakoordinaatti kaksinkertaistuu; mistä lentoratojen eksponentiaalinen poikkeaminen ja kaoottinen dynamiikka syntyvät automaattisesti. Tämän järjestelmän maksimiattraktoria kutsutaan myös solenoidiksi (josta itse asiassa nimi tulee): se on järjestetty kiinteää torusta pitkin kierrettyjen "lankojen" (lukemattomaksi) liitoksi .

Plykinin attraktori

Plykin-attraktori on esimerkki levyllä olevasta dynaamisesta järjestelmästä , jonka maksimiattraktori on hyperbolinen . Erityisesti tämä esimerkki on rakenteellisesti vakaa, koska se täyttää Smalen aksiooman A.

Bowenin esimerkki tai heterokliininen attraktori

Hénon houkuttelija

https://web.archive.org/web/20101227004521/http://ibiblio.org/e-notes/Chaos/en/strange_r.htm

Hypoteesit

Palisin arvelu [4]

Avaruudessa T on niin metrisesti tiheä osajoukko D, että minkä tahansa dynaamisen järjestelmän Milnor-traktori joukosta D voidaan hajottaa vain äärelliseen määrään transitiivisia komponentteja;
Attraktorin transitiivisilla komponenteilla on SRB-mitta ;
Attraktorin transitiiviset komponentit ovat stokastisesti stabiileja vetovoima-altaissaan;
Tyypillisessä yksiulotteisen dynamiikan perheen tyypillisessä järjestelmässä attraktorikomponentit joko edustavat houkuttelevia jaksollisia lentoratoja tai niillä on ehdottoman jatkuva invarianttimitta. [5]

Ruellen hypoteesit

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Yu. S. Iljashenko. Global Analysis of Phase Portrait for the Kuramoto-Sivashinsky Equation, Journal of Dynamics and Differential Equations, Voi. 4, nro 4, 1992
↑ Gaponov-Grekhov A.V. , Rabinovich M.I. Epälineaarinen fysiikka. Stokastisuus ja rakenteet // XX vuosisadan fysiikka: kehitys ja tulevaisuudennäkymät. - M., Nauka, 1984. - s. 237
↑ Outoja houkutuksia. Yhteenveto artikkeleista. Moskova. 1981 Käännös englannista, toimittajina Y. G. SINAI ja L. P. SHILNIKOV
↑ Seminaarit: V. A. Kleptsyn, Attractors of Dynamic Systems . www.mathnet.ru Haettu: 17.8.2018. (määrätön)
↑ Saltykov, Petr Sergeevich. Uudet vetovoiman ominaisuudet ja dynaamisten järjestelmien muuttumattomat joukot . - 2011. Arkistoitu 17. elokuuta 2018. (Venäjän kieli)

Lähteet ja kirjallisuus

A. Gorodetski, Yu. Iljashenko. Minimaaliset ja omituiset houkuttimet, International Journal of Bifurcation and Chaos, voi. 6, ei. 6 (1996), ss. 1177-1183.
A.S. Gorodetsky. Minimaaliset attraktorit ja osittain hyperboliset dynaamisten järjestelmien joukot. Diss. c.f.-m. n., Moskovan valtionyliopisto, 2001.
Elektroninen kirjasto epälineaarisesta dynamiikasta
Artikkeli "Attractor" , kirjoittanut J. Milnor , Scholarpedia.
Galleria oudoimmista houkuttelijoista . LENTA.RU. Haettu 28. maaliskuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 4. huhtikuuta 2013. (määrätön)
E. V. Nikulchev. Geometrinen menetelmä järjestelmien rekonstruoimiseksi kokeellisten tietojen perusteella // Kirjeitä ZhTF:lle. 2007. T. 33. Numero. 6. S. 83-89.
E. V. Nikulchev. Dynaamisten järjestelmien tunnistaminen rekonstruoitujen attraktoreiden symmetrioihin perustuen. Moskova, 2010.