Toinen johdannainen

Funktion toinen tai toinen derivaatta on funktion derivaatta . Karkeasti sanottuna toinen derivaatta mittaa kuinka itse suuren muutosnopeus muuttuu; esimerkiksi objektin sijainnin toinen derivaatta ajan suhteen on kohteen hetkellinen kiihtyvyys tai kohteen nopeuden muutosnopeus suhteessa aikaan. Leibnizin notaatiossa : $f$ $f$

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt))={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x))}{dt^{2))} ,

missä - kiihtyvyys, - nopeus, - aika, - kohteen sijainti, d - hetkellinen "delta" tai muutos. Viimeinen lauseke on paikan toinen derivaatta ajan suhteen. $a$ $v$ $t$ $x$ ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ $(x)$

Funktion kaaviossa toinen derivaatta vastaa graafin kaarevuutta tai kuperaa . Positiivisen toisen derivaatan funktion kuvaaja jossain pisteessä käy alaspäin tässä pisteessä, kun taas negatiivisen toisen derivaatan funktion kuvaaja jossain pisteessä käy päinvastaiseen suuntaan.

Nimitys

Funktion toinen derivaatta on yleensä merkitty [1] [2] . Tuo on: $f(x)$ $f''(x)$

f''=\left(f'\right)'

Käytettäessä Leibnizin merkintää kirjoitetaan riippumattoman muuttujan osittainen toinen derivaatta riippumattoman muuttujan suhteen seuraavasti: $y$ $x$

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

Tämä nimitys on johdettu seuraavasta kaavasta:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}} \oikea).

Potenssifunktion toinen derivaatta

Ottamalla derivaatan kahdesti, saamme toisen derivaatan kaavan:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{ dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}} \left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.

Esimerkki

Annettu funktio

f(x) = x^3,

funktion johdannainen $f$

f^{\prime }(x)=3x^{2}.

Toinen derivaatta on johdannainen , nimittäin $f$ ${\displaystyle f^{\prime ))$

f^{\prime \prime }(x)=\left(f'\left(x\right)\right)'=6x.

Toinen kaavion derivaatta

Pullo

Funktion toisella derivaatalla voidaan määrittää graafin konveksius/koveruus [2] . Funktio, jonka toinen derivaatta on positiivinen, on alaspäin konveksi (kutsutaan myös ylöspäin koveraksi), mikä tarkoittaa, että tangentti on funktion kuvaajan alapuolella. Vastaavasti funktio, jonka toinen derivaatta on negatiivinen, on konveksi ylöspäin (kutsutaan myös yksinkertaisesti koveraksi alaspäin), ja sen tangenttiviivat ovat funktion kaavion yläpuolella. $f$ $f$

Käännepisteet

Jos funktion toinen derivaatta muuttaa etumerkkiä, funktion kuvaaja muuttuu konveksista ylös kuperaksi alas tai päinvastoin. Pistettä, jossa kuvaaja ei ole enää ylöspäin kupera mutta ei vielä alaspäin kupera, kutsutaan käännepisteeksi . Jos toinen derivaatta on jatkuva, se katoaa missä tahansa käännepisteessä, mutta muista, että jokainen piste, jossa toinen derivaatta on nolla, ei välttämättä ole käännekohta.

Kiinteiden pisteiden tutkimus

Toisen derivaatan ja graafin välistä suhdetta voidaan käyttää testaamaan, onko funktion stationaarinen piste (eli piste, jossa ) paikallinen maksimi vai paikallinen minimi . Yksityiskohdissa: $f'(x) = 0$

Jos , niin sillä on paikallinen maksimi pisteessä . $f^{\prime \prime }(x)<0$ $f$ $x$
Jos , sen paikallinen vähimmäisarvo on . $f^{\prime \prime }(x)>0$ $f$ $x$
Jos , toisen derivaatan tarkistaminen ei kerro mitään siitä, onko piste käännepiste. $f^{\prime \prime }(x)=0$ $x$

Syy, miksi toinen derivaatta antaa tällaisia tuloksia, voidaan ymmärtää analogian avulla todellisen maailman kanssa. Harkitse ajoneuvoa, joka aluksi liikkuu eteenpäin suurella nopeudella, mutta negatiivisella kiihtyvyydellä . On selvää, että auton sijainti kohdassa, jossa nopeus saavuttaa nollan, on suurin etäisyys lähtöpaikasta - seuraava askel, nopeus muuttuu negatiiviseksi ja auto alkaa mennä vastakkaiseen suuntaan. Sama pätee minimiin, kun ajoneuvolla on aluksi negatiivinen nopeus, mutta positiivinen kiihtyvyys.

Limit

Voit kirjoittaa toisen derivaatan vain yhdellä rajalla :

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2))}.

Tätä rajaa voidaan kutsua toiseksi symmetriseksi derivaatiksi [3] [4] . On syytä huomata, että toinen symmetrinen derivaatta voi olla olemassa, vaikka (tavallista) toista derivaatta ei olisi olemassa.

Lausekkeen oikea puoli voidaan kirjoittaa erosuhteiden erosuhteeksi:

{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(xh)}{h^{2))}={\frac ({\frac {f(x+h)-f( x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(xh)}{h}}}{h}}.

Tätä rajaa voidaan pitää jatkuvana versiona toisesta äärellisestä erosta [ sekvensseille .

Yllä olevan rajan olemassaolo ei kuitenkaan tarkoita, että funktiolla olisi toinen derivaatta. Yllä oleva raja mahdollistaa yksinkertaisesti toisen derivaatan laskemisen, mutta ei anna käsitystä sen olemassaolosta. Vastaesimerkki on funktio, joka määritellään seuraavasti: $f$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sgn}(x)}$

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1,\ \ x<0\\0,\ \ \ \ \ x=0\\1,\ \ \ \ \ x>0 \end{cases}}

Funktio on epäjatkuva nollassa, joten toista derivaatta ei ole olemassa. Mutta yllä oleva raja on olemassa : ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {sgn}(x)}$ $x=0$ $x=0$

{\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operaattorinimi {sgn}(0+h)-2\operaattorinimi {sgn}(0)+\operaattorinimi {sgn}(0 -h)}{h^{2))}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operaattorinimi {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h) }{h^{2))}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operaattorinimi {sgn}(h)+(-\operaattorinimi {sgn}(h))}{h^ {2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}

Neliöllinen approksimaatio

Aivan kuten ensimmäinen derivaatta liittyy lineaariseen approksimaatioon, toinen derivaatta liittyy funktion neliölliseen approksimaatioon . Tämä on neliöfunktio, jonka ensimmäinen ja toinen derivaatta ovat samat kuin y annetussa pisteessä. Pisteen ympärillä olevan funktion toisen asteen approksimaatiokaavalla on muoto $f$ $f$ $f$ $x=a$

f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(xa)^{2}.

Tämä neliöllinen approksimaatio on toisen kertaluvun Taylor-sarja funktiolle, jonka keskipiste on x = a .

Toisen derivaatan ominaisarvot ja ominaisvektorit

Monia raja -arvoongelmia varten voidaan saada eksplisiittiset kaavat toisen derivaattaoperaattorin ominaisarvoille ja ominaisvektoreille. Jos esimerkiksi oletetaan, että ja annetaan homogeeniset Dirichlet-rajaehdot (eli ), niin ominaisarvot ja vastaavat ominaisvektorit (kutsutaan myös ominaisfunktioiksi) ovat yhtä suuria kuin . Tässä $x\in [0,L]$ $v(0)=v(L)=0$ $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\oikea)$ $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$

Muita merkittäviä tapauksia, katso toisen derivaatan ominaisarvot ja ominaisvektorit .

Yleistys korkeampiin ulottuvuuksiin

Hessian

Toinen derivaatta yleistetään korkeampiin ulottuvuuksiin toisten osittaisten derivaattojen käsitteellä . Funktiolla on kolme toisen asteen osittaista derivaatta: $f:\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R}$

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}} ,{\teksti{ ja }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2))))

ja sekajohdannaiset:

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y)),\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z )),{\teksti{ ja }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z)).

Jos kaikki nämä derivaatat ovat jatkuvia, niistä voidaan muodostaa symmetrinen matriisi, joka tunnetaan nimellä Hessen -matriisi . Tämän matriisin ominaisarvoja voidaan käyttää monimuuttujaanalogin toteuttamiseen toisen derivaatan tarkistamiseksi.

Toinen yleinen yleistys toiselle derivaatalle on laplalainen . Tämä on differentiaalioperaattori (tai ), joka määritellään seuraavasti: $\nabla ^{2}$ $\Delta$

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

Funktion laplalainen on yhtä suuri kuin gradientin ja Hessen-matriisin jäljen divergentti .

Katso myös

Toisen derivaatan approkimoimiseen käytetty äärellinen erotus
Käännepistetesti
Sekajohdannaisten yhtäläisyys

Muistiinpanot

↑ Sisältö - Toinen johdannainen . amsi.org.au. _ Käyttöönottopäivä: 16.9.2020. (määrätön)
↑ 1 2 sekunnin johdannaiset _ . Matematiikka 24 . Käyttöönottopäivä: 16.9.2020. (määrätön)
↑ A. Zygmund. Trigonometrinen sarja. - Cambridge University Press, 2002. - S. 22-23. — ISBN 978-0-521-89053-3 .
↑ Thomson. Reaalifunktioiden symmetriset ominaisuudet. - Marcel Dekker, 1994. - ISBN 0-8247-9230-0 .

Kirjallisuus

Painetut resurssit

Anton, Howard; Bivens, Irl & Davis, Stephen (2. helmikuuta 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8. painos), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (kesäkuu 1967), Calculus, voi. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2. painos), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1 , < https://archive.org/details/calculus01apos >
Apostol, Tom M. (kesäkuu 1969), Calculus, voi. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications (2. painos), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5 , < https://archive.org/details/calculus01apos >
Eves, Howard (2. tammikuuta 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6. painos), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P. & Edwards, Bruce H. (28. helmikuuta 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4. painos), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
Spivak, Michael (syyskuu 1994), Calculus (3. painos), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (24. joulukuuta 2002), Calculus (5. painos), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7 , < https://archive.org/details/calculus0000stew >
Thompson, Silvanus P. (8. syyskuuta 1998), Calculus Made Easy (tarkistettu, päivitetty, laajennettu painos), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Kirjat saatavilla verkossa

Crowell, Benjamin (2003), Calculus , < http://www.lightandmatter.com/calc/ >
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus , < http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ >
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus , < http://www.understandingcalculus.com/ >
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals , < http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html >
Mauch, Sean (2004), Sean's Applied Math Bookin lyhentämätön versio , < http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html >
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations , < http://synechism.org/drupal/de2de/ >
Strang, Gilbert (1991), Calculus , < http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm >
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus , < http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm >
Wikikirjat, Calculus , < http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus >

Linkit

Epätasaisesti sijoitettujen pisteiden diskreetti toinen derivaatta

Differentiaalilaskenta

Main

yksityiset näkymät

Differentiaalioperaattorit
( eri koordinaateissa )

Ensimmäinen tilaus	Nabla operaattori Kaltevuus Eroaminen Roottori Helmholtzian
toinen tilaus	Elliptinen operaattori Laplacen operaattori Laplace-vektorioperaattori D'Alembert-operaattori Laplace-Beltrami operaattori
korkeammat tilaukset	Hypoelliptinen operaattori

liittyvät aiheet