Lobatševskin geometria

Lobatševskin geometria (tai hyperbolinen geometria ) on yksi ei-euklidisista geometrioista , geometrinen teoria, joka perustuu samoihin perusaksioomeihin kuin tavallinen euklidinen geometria , lukuun ottamatta rinnakkaisten viivojen aksioomaa , joka korvataan sen negaatiolla .

Euklidinen aksiooma rinnakkaisista (tarkemmin sanottuna yksi sitä vastaavista väitteistä muiden aksioomien läsnä ollessa) voidaan muotoilla seuraavasti:

Tasossa , joka kulkee pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla , täsmälleen yksi viiva voidaan vetää yhdensuuntaisesti annetun suoran kanssa.

Lobachevsky-geometriassa seuraava aksiooma hyväksytään sen sijaan:

Pisteen kautta, joka ei sijaitse tietyllä suoralla, kulkee vähintään kaksi suoraa, jotka ovat annetun suoran kanssa samassa tasossa eivätkä leikkaa sitä.

Lobatševskin aksiooma on Eukleideen aksiooman tarkka negaatio (jos kaikki muut aksioomat täyttyvät), koska tapaus, jossa mikään suora ei kulje pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla, joka on tietyn suoran kanssa samassa tasossa ja ei ei leikkaa sitä, on suljettu pois muiden aksioomien ( absoluuttisen geometrian aksioomien ) vuoksi. Joten esimerkiksi pallogeometria ja Riemannin geometria , joissa mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa, joten Eukleideen rinnakkaisaksiooma tai Lobatševskin aksiooma eivät päde, eivät ole yhteensopivia absoluuttisen geometrian kanssa.

Lobatševskin geometrialla on laajat sovellukset sekä matematiikassa että fysiikassa. Sen historiallinen ja filosofinen merkitys piilee siinä, että Lobatševski osoitti rakentamisellaan euklidisesta poikkeavan geometrian mahdollisuuden , mikä merkitsi uutta aikakautta geometrian , matematiikan ja tieteen kehityksessä yleensä.

Historia

Yritetään todistaa viides postulaatti

Lobatševskin geometrian lähtökohtana oli Eukleideen viides postulaatti, rinnakkaisaksioomaa vastaava aksiooma . Se oli Euklidesin elementtien postulaattien luettelossa . Sen muotoilun suhteellinen monimutkaisuus ja epäintuitiivisuus herätti tunteen sen toissijaisuudesta ja aiheutti yrityksiä johtaa se lauseena muista Eukleideen postulaateista.

Niiden monien joukossa, jotka yrittivät todistaa viidettä postulaattia, olivat erityisesti seuraavat huomattavat tiedemiehet.

Antiikin kreikkalaiset matemaatikot Ptolemaios ( II vuosisata ) ja Proklos ( 5 vuosisata ) (perustuu oletukseen, että kahden rinnakkaisen etäisyys on äärellinen).
Ibn al-Haytham Irakista ( 10. vuosisadan loppu - 1100 - luvun alku) (perustuu olettamukseen, että suoraa kohtisuorassa olevan liikkumisen loppu kuvaa suoraa).
Iranilaiset matemaatikot Omar Khayyam (11. vuosisadan toinen puolisko - 1100 - luvun alku ) ja Nasir ad-Din at-Tusi ( XIII vuosisata ) (perustuu olettamukseen, että kahdesta lähentyvästä viivasta ei voi tulla eriäviä, jos niitä jatketaan risteämättä).
Ensimmäisen meidän tuntemamme yrityksen Euroopassa todistaa Eukleideen rinnakkaisuuden aksiooma ehdotti Gersonides (alias Levi ben Gershom, XIV vuosisata ), joka asui Provencessa (Ranska ). Hänen todisteensa perustui väitteeseen suorakulmion olemassaolosta [1] .
Saksalainen matemaatikko Clavius (1574) [2] .
italialaiset matemaatikot
- Cataldi (ensimmäistä kertaa vuonna 1603 hän julkaisi teoksen, joka oli kokonaan omistettu rinnakkaiskysymykselle).
- Borelli (1658) [3] .
Englantilainen matemaatikko Wallis (1663, julkaistu vuonna 1693) (perustuu olettamukseen, että jokaiselle luvulle on samanlainen, mutta ei samanlainen luku).
Ranskalainen matemaatikko Legendre (1800) (perustuu olettamukseen, että terävän kulman jokaisen pisteen kautta voidaan vetää kulman molempia puolia leikkaava viiva; hänellä oli myös muita todisteita).

Näissä yrityksissä todistaa viides postulaatti matemaatikot esittelivät (eksplisiittisesti tai implisiittisesti) uuden väitteen, joka näytti heille ilmeisemmältä.

Todistusta on yritetty käyttää ristiriitaisesti:

italialainen matemaatikko Saccheri ( 1733 ) (muotoiltuaan postulaatin kanssa ristiriidassa olevan lausunnon, hän päätteli joukon seurauksia ja tunnusti osan niistä virheellisesti ristiriitaisiksi, ja katsoi postulaatin todistetuksi),
Saksalainen matemaatikko Lambert (noin 1766 , julkaistu vuonna 1786 ) ( tutkimuksen jälkeen hän myönsi, että hän ei löytänyt ristiriitoja rakentamassaan järjestelmässä).

Lopulta alkoi syntyä ymmärrys, että on mahdollista rakentaa teoria, joka perustuu päinvastaiseen oletukseen:

Saksalaiset matemaatikot Schweikart ( 1818 ) ja Taurinus ( 1825 ).
Saksalainen matemaatikko Carl Friedrich Gauss

Ei-euklidisen geometrian luominen

Lobatševsky totesi teoksessaan Geometrian periaatteista ( 1829 ), ensimmäisessä painetussa työssään ei-euklidisesta geometriasta selvästi, että viidettä postulaattia ei voida todistaa euklidisen geometrian muiden premissien perusteella ja että olettamus postulaatista, joka on päinvastainen Eukleideen postulaatti antaa mahdollisuuden rakentaa geometria, joka on niin merkityksellinen ja vapaa ristiriitaisuuksista, samoin kuin euklidinen.

Samanaikaisesti ja itsenäisesti Janos Bolyai tuli samanlaisiin johtopäätöksiin ja Carl Friedrich Gauss jo aikaisemmin. Bolyain työ ei kuitenkaan herättänyt huomiota, ja hän luopui aiheesta pian, kun taas Gauss yleensä pidättäytyi julkaisemasta, ja hänen näkemyksensä voidaan arvioida vain muutamien kirjeiden ja päiväkirjamerkintöjen perusteella [4] . Esimerkiksi vuonna 1846 lähettämässään kirjeessä tähtitieteilijä G. H. Schumacherille Gauss puhui Lobatševskin työstä seuraavalla tavalla:

Tämä teos sisältää perusteet geometrialle, jonka olisi tapahduttava, ja lisäksi se muodostaisi tiukasti johdonmukaisen kokonaisuuden, jos euklidinen geometria ei olisi totta... Lobatševski kutsuu sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi"; Tiedät, että 54 vuoden ajan (vuodesta 1792 ) olen jakanut samat näkemykset heidän joidenkin kehitysvaiheiden kanssa, joita en halua tässä mainita; En siis löytänyt itselleni mitään varsinaista uutta Lobatševskin teoksista. Mutta aihetta kehitettäessä kirjoittaja ei seurannut polkua, jota minä itse seurasin; Lobatševski on tehnyt sen mestarillisesti todella geometrisessa hengessä. Koen olevani velvollinen kiinnittämään huomionne tähän työhön, joka varmasti tuottaa sinulle aivan poikkeuksellista nautintoa. [5]

Tämän seurauksena Lobatševski toimi ensimmäisenä kirkkaimpana ja johdonmukaisina uuden geometrian propagandistina. Vaikka Lobatševskin geometria kehittyi spekulatiiviseksi teoriaksi ja Lobatševski itse kutsui sitä "kuvitteelliseksi geometriaksi", hän kuitenkin ehdotti sitä ensin avoimesti ei mielen peliksi, vaan mahdolliseksi ja hyödylliseksi tilasuhteiden teoriaksi. Todiste sen johdonmukaisuudesta saatiin kuitenkin myöhemmin, kun sen tulkinnat (mallit) esitettiin.

Lobatševskin geometrian lausunto

Lobatševski kuoli vuonna 1856 . Muutamaa vuotta myöhemmin Gaussin kirjeenvaihto julkaistiin, sisältäen useita ylistäviä arvosteluja Lobatševskin geometriasta, ja tämä kiinnitti huomion Lobatševskin työhön. Heidän käännöksensä ranskaksi ja italiaksi sekä merkittävien geometrien kommentit ilmestyvät. Bolyain teoksia on myös julkaistu .

Vuonna 1868 Beltrami julkaisi artikkelin Lobatševskin geometrian tulkinnoista. Beltrami määritti Lobatševskin tason metriikan ja osoitti, että sillä on kaikkialla jatkuva negatiivinen kaarevuus. [6] Tällainen pinta tunnettiin jo silloin - tämä on Mindingin pseudosfääri . Beltrami päätteli, että Lobatševskin taso on paikallisesti isometrinen pseudosfäärin osaan nähden (katso alla). Samassa artikkelissa Beltrami antaa myös kaksi mallia, joita nykyään kutsutaan Klein- malliksi ja Poincarén malliksi .

Näissä kirjoissa Beltrami antoi selkeän geometrisen todisteen uuden geometrian johdonmukaisuudesta, tarkemmin sanoen siitä, että Lobatševskin geometria on epäjohdonmukainen silloin ja vain, jos Eukleideen geometria on epäjohdonmukainen. Lobatševskyllä oli myös tällainen todiste, mutta se oli monimutkaisempi, yhteen suuntaan Euklidinen tasomalli Lobatševskin geometriassa, se rakennettiin mallia käyttäen, kuten Beltramissa [7] meni analyyttisesti toiseen suuntaan.

Weierstrass omistaa erityisen seminaarin Lobatševskin geometrialle Berliinin yliopistossa ( 1870 ). Kazanin fysiikan ja matematiikan seura järjestää Lobatševskin kokonaisten teosten julkaisemisen, ja vuonna 1893 juhlitaan venäläisen matemaatikon satavuotisjuhlaa kansainvälisesti.

Mallit

Lobatševskin geometrian mallit osoittivat sen johdonmukaisuuden, tarkemmin sanottuna, että Lobatševskin geometria on yhtä johdonmukainen kuin Eukleideen geometria.

Lobatševski itse antoi analyyttisen geometriansa perustan, ja näin hän itse asiassa hahmotteli sellaisen mallin. Hän huomasi myös, että horosfääri Lobatševskin avaruudessa on isometrinen euklidiseen tasoon nähden, mikä itse asiassa ehdottaa käänteistä mallia. Itse mallin käsite on kuitenkin selkeytynyt Beltramin ja muiden töissä.

Pseudosfääri

Italialainen matemaatikko Eugenio Beltrami huomasi vuonna 1868 , että geometria Lobatševskin tason palassa on sama kuin geometria pinnoilla, joilla on jatkuva negatiivinen kaarevuus, josta yksinkertaisin esimerkki on pseudosfääri . Jos Lobatševskin tason äärellisessä kappaleessa olevat pisteet ja suorat yhdistetään pseudosfäärin pisteisiin ja lyhimpiin viivoihin ( geodetiikka ) ja liike Lobatševskin tasolla liitetään hahmon liikkumiseen pseudosfääriä pitkin taivutuksella, eli muodonmuutos, joka säilyttää pituuden, niin mikä tahansa Lobatševskin geometrian lause vastaa sitä tosiasiaa, että pseudosfäärissä. Samalla pituudet, kulmat, pinta-alat ymmärretään niiden luonnollisen mittauksen merkityksessä pseudosfäärissä.

Tässä annetaan kuitenkin vain paikallinen tulkinta geometriasta, eli rajoitetulla alueella, ei koko Lobatševskin tasolla. Dini-pinta antaa samanlaisen mallin - se on isometrinen upotus Lobatševskin tason alueesta , jota rajoittaa horosykli .

Projektiivinen malli

Lobachevsky-lentokonemalli, jonka ensimmäisenä ehdotti Beltrami.

Taso on ympyrän sisäosa, suora on ympyrän jänne ilman päitä ja piste on ympyrän sisällä oleva piste. "Liike" on mikä tahansa ympyrän muunnos itsessään, joka muuttaa sointuja sointuiksi. Vastaavasti ympyrän sisällä olevia lukuja kutsutaan yhtäläisiksi, jotka muunnetaan toisiksi tällaisilla muunnoksilla. Sitten käy ilmi, että mikä tahansa sellaisella kielellä kuvattu geometrinen tosiasia edustaa Lobatševskin geometrian lausetta tai aksioomaa. Toisin sanoen, mikä tahansa lausuma Lobatševskin geometriasta tasossa ei ole mitään muuta kuin euklidisen geometrian lausunto, joka viittaa ympyrän sisällä oleviin kuvioihin ja kertoo vain uudelleen ilmoitetuin ehdoin. Euklidinen aksiooma yhdensuuntaisuudesta ei selvästikään täyty, koska pisteen , joka ei sijaitse tietyllä jänteellä a (eli "suoralla viivalla"), läpi kulkee kuinka monta sointua ("suoraa") ei leikkaa toisiaan. se (esimerkiksi , ). $P$ $b$ $b'$

Tässä mallissa pisteiden ja jänteen välinen etäisyys määritetään kaksoisrelaatiolla $A$ $B$ $NM$

\ln \left({\frac {AN}{AM}}{\frac {BM}{BN}}\oikea)

Ulkoabsoluuttissa anti-de Sitter -avaruuden geometria toteutuu .

Konformaalinen euklidinen malli, Poincarén malli

Toinen Beltramin ehdottama Lobachevsky-konemalli.

Ympyrän sisäpuoli on otettu Lobatševsky-tasoksi, ympyrän kaaria, jotka ovat kohtisuorassa ympyrän ympyrän ympyrän ja halkaisijoiden kanssa suorina viivoina, liikkeet ovat muunnoksia, jotka saadaan inversioiden yhdistelmillä ympyrän suhteen, jonka kaaret toimivat suorina viivoina.

Poincarén malli on merkittävä siinä mielessä, että siinä kulmia edustavat tavalliset kulmat.

Malli hyperboloidista Minkowskin avaruudessa

Tarkastellaan allekirjoitusavaruudessa kaksiarkkista hyperboloidia . Valitaan komponenttien yläosa . Huomaa, että tämä komponentti on avaruusmainen. Erityisesti neliömuoto määrittää sille metriikan; tällä mittarilla ylempi komponentti on malli Lobatševskin tasosta. ${\näyttötyyli (+,+,-)}$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$ $t>0$ $x^{2}+y^{2}-t^{2}=-1$

Suorat viivat (toisin sanoen geodetiikka ) ovat tässä mallissa hyperboloidin poikkileikkauksia tasoilla, jotka kulkevat origon kautta.

Perspektiiviprojektio vaakatasolle, jonka keskipiste on origossa, muuttaa tämän mallin projektiiviseksi malliksi. Perspektiiviprojektio vaakasuoralle tasolle, joka on keskitetty johonkin pisteeseen, muuttaa tämän mallin konformisesti euklidiseksi. $(0,0,-1)$

Pinta, jolla on jatkuva negatiivinen kaarevuus

Toinen Lobatševskin geometrian analyyttinen määritelmä on, että Lobatševskin geometria määritellään Riemannin avaruuden geometriaksi, jolla on jatkuva negatiivinen kaarevuus. Riemann antoi tämän määritelmän itse asiassa jo vuonna 1854, ja se sisälsi mallin Lobatševskin geometriasta geometriana vakiokaarevilla pinnoilla. Riemann ei kuitenkaan yhdistänyt rakenteitaan suoraan Lobatševskin geometriaan, ja hänen raporttiaan, jossa hän ne raportoi, ei ymmärretty ja se julkaistiin vasta hänen kuolemansa jälkeen (vuonna 1868 ).

Esimerkki tällaisesta pinnasta on imaginaarisen säteen pallo

({\vec {x)),{\vec {x)))=-1

x^{2}+y^{2}-z^{2}=-1

Minkowskin tilassa . Katso kohta Malli hyperboloidilla .

Lobatševskin geometrian sisältö

Lobatševski rakensi geometriansa geometristen peruskäsitteiden ja aksiooman pohjalta ja osoitti lauseita geometrisella menetelmällä, samalla tavalla kuin Eukleideen geometriassa. Pohjana toimi rinnakkaisten viivojen teoria, koska tästä alkaa ero Lobatševskin geometrian ja Eukleideen geometrian välillä. Kaikki lauseet, jotka eivät riipu rinnakkaisaksioomasta, ovat yhteisiä molemmille geometrioille; ne muodostavat ns. absoluuttisen geometrian , joka sisältää esimerkiksi kolmioiden yhtäläisyyden merkit. Rinnakkaisteorian mukaisesti rakennettiin muita osia, mukaan lukien trigonometria sekä analyyttisen ja differentiaalisen geometrian periaatteet.

Esitetään (nykyaikaisessa merkinnöissä) useita Lobatševskin geometriaa koskevia tosiasioita, jotka erottavat sen Eukleideen geometriasta ja jotka Lobatševski itse määritteli.

Pisteen P kautta , joka ei ole annetulla suoralla R (katso kuva), on äärettömän monta suoraa, jotka eivät leikkaa R :tä ja ovat sen kanssa samassa tasossa; niiden joukossa on kaksi äärimmäistä x , y , joita kutsutaan asymptoottisesti yhdensuuntaisiksi (joskus vain yhdensuuntaisiksi) suoran R kanssa, ja loput kutsutaan ultrarinnakkaisiksi .

P :stä R :hen kohtisuoran PB : n ja kunkin asymptoottisesti yhdensuuntaisen (kutsutaan yhdensuuntaisuuskulmaksi) välinen kulma pienenee 90°:sta 0° :seen, kun piste P siirtyy pois suorasta (Poincare-mallissa kulmat tavallinen järke on sama kuin kulmat Lobatševskin mielessä, ja siksi tämä tosiasia voidaan nähdä suoraan). Toisaalta rinnakkainen x toisaalta (ja y vastakkaisella puolella) lähestyy asymptoottisesti a :ta ja toisaalta se siirtyy siitä äärettömästi poispäin (etäisyyksiä on vaikea määrittää malleissa, ja siksi tämä tosiasia on ei näy suoraan). $\theta$

Pisteelle, joka sijaitsee etäisyydellä PB = a tietystä suorasta (katso kuva), Lobatševski antoi kaavan yhdensuuntaisuuskulmalle П(a) [8] :

\theta =\Pi (a)=2\operaattorinimi {arctg} ~e^{-{\frac {a}{q))}

Tässä q on vakio, joka liittyy Lobatševskin avaruuden kaarevyyteen. Se voi toimia absoluuttisena pituusyksikkönä samalla tavalla kuin pallogeometriassa pallon säde on erikoisasemassa.

Jos viivoilla on yhteinen kohtisuora, ne ovat ultrarinnakkaisia, eli ne eroavat äärettömästi sen molemmilla puolilla. Mihin tahansa niistä on mahdollista palauttaa kohtisuorat, jotka eivät saavuta toista suoraa.

Lobatševskin geometriassa ei ole samanlaisia, mutta epätasaisia kolmioita; Kolmiot ovat yhteneväisiä, jos niiden kulmat ovat yhtä suuret.

Minkä tahansa kolmion kulmien summa on pienempi ja voi olla mielivaltaisen lähellä nollaa (180°:n ja kolmion ABC kulmien summan välinen ero Lobatševskin geometriassa on positiivinen - sitä kutsutaan tämän kolmion virheeksi). Tämä näkyy suoraan Poincarén mallissa. Ero , jossa , ovat kolmion kulmat, on verrannollinen sen pinta-alaan : $\pi$ $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )$ $\alpha$ $\beeta$ $\gamma$

S=q^{2}\cdot \delta

Kaavasta voidaan nähdä, että kolmion pinta-ala on suurin, ja tämä on äärellinen luku: . $\pi q^{2}$

Viiva, jonka etäisyydet ovat yhtä suuret suorasta viivasta, ei ole suora, vaan erityinen käyrä, jota kutsutaan equidistantiksi eli hypersykliksi .

Äärettömästi kasvavan säteen ympyröiden raja ei ole suora, vaan erityinen käyrä, jota kutsutaan rajaympyräksi tai horosykliksi .

Äärettömästi kasvavan säteen pallojen raja ei ole taso, vaan erityinen pinta - rajoittava pallo tai horosfääri ; On huomattavaa, että euklidinen geometria pitää siinä. Tämä toimi Lobatševskin perustana trigonometriakaavojen johtamiselle.

Ympärysmitta ei ole verrannollinen säteeseen, vaan kasvaa nopeammin. Erityisesti Lobachevsky-geometriassa lukua ei voida määritellä ympyrän kehän suhteeksi sen halkaisijaan. $\pi$

Mitä pienempi alue on avaruudessa tai Lobatševskin tasolla, sitä vähemmän geometriset suhteet tällä alueella eroavat euklidisen geometrian suhteista. Voidaan sanoa, että äärettömällä pienellä alueella tapahtuu euklidinen geometria. Esimerkiksi mitä pienempi kolmio, sitä vähemmän sen kulmien summa eroaa ; mitä pienempi ympyrä, sitä vähemmän sen pituuden ja säteen suhde poikkeaa ympyrästä jne. Pinta-alan pieneneminen vastaa muodollisesti pituusyksikön kasvua, joten pituusyksikön äärettömällä lisäyksellä Lobatševski geometriakaavat muuttuvat euklidisen geometrian kaavoiksi. Euklidinen geometria on tässä mielessä Lobatševskin geometrian "rajoittava" tapaus. $\pi$ $2\pi$

Tason ja tilan täyttäminen säännöllisillä polytoopeilla

Lobatševskin taso voidaan laatoittaa säännöllisillä kolmioilla , neliöillä ja kuusikulmioilla , vaan myös muilla säännöllisillä monikulmioilla . Samanaikaisesti vähintään 7 kolmiota, 5 ruutua, 4 viisi- tai kuusikulmiota tai 3 monikulmiota, joissa on enemmän kuin 6 sivua, tulee konvergoida yhteen parketin kärkeen eli erilaisten laatoitusten määrä on ääretön ja sen avulla. Schläfli-symbolista ( M kappaletta N -gonia) kaikki Lobatševskin tason laatoitukset voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\vasen\{N,M\oikea\}$

{3, 7}, {3, 8}, …, eli {3, M }, missä M ≥7;
{4, 5}, {4, 6}, …, eli {4, M }, missä M ≥5;
{5, 4}, {5, 5}, …, eli {5, M }, missä M ≥4;
{6, 4}, {6, 5}, …, eli {6, M }, missä M ≥4;
{N, M}, missä N ≥7, M ≥3.

Jokainen laatoitus vaatii tiukasti määritellyn yksikön N - gon koon, erityisesti sen pinta-alan on oltava yhtä suuri: $\vasen\{N,M\oikea\}$

S_{\left\{N;M\right\}}=q^{2}\pi \left(N-2-2{\frac {N}{M}}\oikea)

Toisin kuin tavallinen avaruus (kolmiulotteinen euklidinen avaruus), joka voidaan täyttää säännöllisillä monitahoisilla vain yhdellä tavalla (8 kuutiota kärjessä tai neljä reunassa {4,3,4}), Lobatševskin kolmiulotteinen avaruus voidaan täyttää. kaakeloitu tavallisilla polyhedrailla sekä tasaisina, äärettömällä monella tavalla. Käyttämällä Schläfli-symbolia ( M kappaletta N -kulmia suppenee yhteen kärkeen ja P polyhedra suppenee jokaisessa reunassa ), kaikki laatoitukset voidaan kirjoittaa seuraavasti: $\vasen\{N,M,P\oikea\}$

{3,3,6}, {3,3,7}, …, eli {3,3, P }, missä P ≥6;
{4,3,5}, {4,3,6}, …, eli {4,3, P }, missä P ≥5;
{3,4,4}, {3,4,5}, …, eli {3,4, P }, missä P ≥4;
{5,3,4}, {5,3,5}, …. Eli {5,3, P }, missä P ≥4;
{3,5,3}, {3,5,4}, …, eli {3,5, P }, missä P ≥3.

Tällaisten väliseinien polytooppeilla voi olla ääretön tilavuus, lukuun ottamatta rajallista määrää avaruusosioita säännöllisiksi monitahoiksi, joilla on äärellinen tilavuus:

{3,5,3} (kolme ikosaedria per reuna)
{4,3,5} (viisi kuutiota per reuna)
{5,3,4} (neljä dodekaedria per reuna)
{5,3,5} (viisi dodekaedria per reuna)

Lisäksi on 11 tapaa täyttää Lobatševskin tila tavallisilla mosaiikkihorosfääreillä ({3,4,4}, {3,3,6}, {4,3,6}, {5,3,6}, { 4,4, 3}, {6,3,3}, {6,3,4}, {6,3,5}, {6,3,6}, {4,4,4}, {3, 6,3}).

Sovellukset

Lobatševski oli varma, että todellinen avaruutemme on euklidinen. Muuten minkä tahansa tähden vuotuinen parallaksi olisi suurempi kuin tietty arvo, joka riippuu vain avaruuden kaarevuudesta. Käyttäen joidenkin tähtien tuolloin laskettuja parallakseja (jotka osoittautuivat erittäin epätarkiksi) Lobatševski arvioi, että kolmion kulmien summa, jonka sivut ovat suunnilleen samat kuin maan kiertoradan säde, poikkeaa 180°:sta korkeintaan 0,00037 ″ (myöhemmin A. P. Kotelnikov osoitti, että tässä paikassa Lobatševskilla oli kahden suuruusluokan virhe tai kirjoitusvirhe: hänen tietojensa mukaan tämä ero ei voi olla suurempi kuin 0,0000037). Lobatševskin mukaan nämä laskelmat osoittavat, että euklidinen geometria kuvaa tarkasti fyysistä tilaa [9] .
Lobatševski itse sovelsi teoriaansa määrällisten integraalien laskemiseen tulkitsemalla niitä geometriassaan olevien kuvioiden pituuden, alueen tai tilavuuden lausekkeiksi. [kymmenen]
Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoriassa Lobatševskin geometria auttoi rakentamaan automorfisten funktioiden teoriaa . Yhteys Lobachevskyn geometriaan oli tässä lähtökohta Poincarén tutkimukselle , joka kirjoitti, että "ei-euklidinen geometria on avain koko ongelman ratkaisemiseen." [11] [12]
Lobatševskin geometrian ja erityisen (yksityisen) suhteellisuusteorian kinematiikan välille muodostui läheinen yhteys . Tämä yhteys perustuu siihen, että yhtäläisyys ilmaisee valon etenemislakia

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}t^{2))

jaettuna , eli valonnopeudella, antaa

t^{2}

v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}=c^{2}

- avaruudessa olevan pallon yhtälö, jonka koordinaatit , , - nopeuden komponentit x , y , z akseleilla ("nopeusavaruudessa"). Lorentzin muunnokset säilyttävät tämän pallon ja koska ne ovat lineaarisia, muuttavat suorat nopeusavaruudet suoriksi viivoiksi. Siksi Kleinin mallin mukaan nopeusavaruudessa pallon sisällä, jonka säde on c , eli valon nopeutta pienemmillä nopeuksilla, tapahtuu Lobatševskin geometria. [yksitoista]

v_{x}

v_{y}

v_{z}

Kleinin mallia käyttäen annetaan hyvin yksinkertainen ja lyhyt todistus euklidisen geometrian perhoslauseesta .

Myytit

On olemassa laajalle levinnyt väärinkäsitys (jota heijastuu erityisesti ei-matemaattisessa kirjallisuudessa ja kansanperinteessä), että Lobatševskin geometriassa "rinnakkaisviivat leikkaavat" [13] [14] . Tämä ei ole totta. Ensinnäkin, yhdensuuntaiset suorat eivät voi leikkiä (millään geometrialla) yhdensuuntaisuuden määritelmän mukaan . Toiseksi, Lobatševskin geometriassa on juuri mahdollista piirtää pisteen läpi, joka ei ole tietyllä suoralla, äärettömän monta suoraa, jotka eivät leikkaa sen kanssa.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Rosenfeld B. A. Keskiaikaisten matemaatikoiden Hassan ibn al-Khaythamin ja Leo Gersonidesin todisteet Eukleideen viidennestä postulaatista. - M . : IMI, 1958. - T. XI. - S. 733-742.
↑ Clavius C. Euclidis Elementorum, kirjasto XV. - Romae, 1574.
↑ Borelli GA Euclidus Restitutus. – Pisa, 1658.
↑ Yleensä sanotaan, että hän pelkäsi tulla ymmärretyksi väärin. Eräässä kirjeessä, joka koskee viidennen postulaatin ja ei-euklidisen geometrian kysymystä, Gauss todellakin kirjoittaa: " pelkää boiootialaisten huutoa "<...> Ehkä kuitenkin toinen selitys Gaussin hiljaisuudesta: hän oli yksi harvoista, jotka ymmärsivät, että vaikka ei-euklidisen geometrian mielenkiintoisia lauseita olisikaan päätetty, tämä ei silti todista mitään - aina on teoreettinen mahdollisuus, että ristiriitainen väite saadaan lisäseuraamuksina. Tai ehkä Gauss ymmärsi (tai tunsi), että tuohon aikaan (1800-luvun ensimmäisellä puoliskolla) ei ollut vielä löydetty matemaattisia käsitteitä, jotka tekisivät mahdolliseksi tämän ongelman tarkan asettamisen ja ratkaisemisen. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, ch. XII, par. 2, - Fizmatlit, Moskova, 2009.
↑ Geometrian perusteista. Kokoelma klassisia teoksia Lobatševskin geometriasta ja sen ideoiden kehittämisestä. Moskova: Gostekhizdat, 1956, s. 119-120.
↑ Eugenio Beltrami, Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante, Annali. di Mat., ser II, 2 (1868), 232-255.
↑ Lobachevsky, N.I., Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallelinien. Berliini: F. Fincke, 1840; kolmekymmentä
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (toim.) 1800-luvun matematiikka. Moskova: Nauka, osa II, s. 62.
↑ Larisa I. Brylevskaja. Lobachevsky's Geometry and Research of the Geometry of the Universe (englanniksi) // Belgradin tähtitieteellisen observatorion julkaisut. - 2008. - Ei. 85 . - s. 129-134 . Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2019.
↑ Kagan V.F. Lobatševski . - M. - L .: Neuvostoliiton tiedeakatemian kustantamo, 1948. - S. 238 -242.
↑ 1 2 Lobatševskin geometria // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ C.S. Yogananda. Poincaré ja automorfisten funktioiden teoria // Resonanssi. - 2000. - V. 5 , no. 2 . - S. 26-31 .
↑ Rinnakkaiset linjat - mytologiassa, todellisuudessa ja matematiikassa Arkistokopio 20. huhtikuuta 2010 Wayback Machinessa Uspensky V. A. Matematiikan anteeksipyyntö, luku 8.
↑ Lobatševskin geometrian löytämisellä oli suuri vaikutus matematiikan kehitykseen ja matematiikan ja ulkomaailman välisen suhteen ymmärtämiseen. Tämän seurauksena syntyneet keskustelut ilmeisesti vaikuttivat monien humanististen tutkijoiden näkemyksiin. Valitettavasti täällä ne ovat melko kiinteät taiteellisen kuvan muodossa: "maan" - euklidisen geometrian ja "abstrussin" - ei-euklidisen vastakohta, matemaatikoiden keksimä. Lisäksi näiden kahden geometrian ero oletetaan olevan se, että ensimmäisessä, kaikille ymmärrettävässä, rinnakkaiset suorat eivät leikkaa ja toisessa, jota tavallisen mielen on vaikea käsittää, ne leikkaavat. // Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, ch. XII, s. 426, - Fizmatlit, Moskova, 2009.

Kirjallisuus

Perustajien teokset

Lobachevsky NI Geometriset tutkimukset yhdensuuntaisten viivojen teoriasta // Kazan Bulletin. - Kazan: Keisarillinen Kazanin yliopisto, 1829-1830. - Nro 25-29 .
Geometrian perusteista. Kokoelma klassisia teoksia Lobatševskin geometriasta ja sen ideoiden kehittämisestä. Moskova: Gostekhizdat, 1956.

Moderni kirjallisuus

Alexandrov A. D., Netsvetaev N. Yu. Geometria. - Moskova: Nauka, 1990.
Aleksandrov PS Mikä on ei-euklidinen geometria. - Moskova: URSS, 2007.
Delaunay BN Alkuperäinen todiste Lobatševskin planimetrian johdonmukaisuudesta. - Moskova: Gostekhizdat , 1956.
Iovlev N. N. Johdatus Lobatševskin perusgeometriaan ja trigonometriaan . - M. - L .: Giz., 1930. - S. 67.
Kadomtsev S. B. Lobatševskin geometria ja fysiikka. - Toim. 3. - M . : Kirjatalo " LIBROKOM ", 2009. - 72 s.
Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Popov A. G. "Lobatševskin geometria: löytö ja polku nykyaikaisuuteen" // Priroda . - 1993. - Nro 7 . - S. 19-27 .
S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, D. D. Sokolov Muutamia fysiikkaan liittyviä Lobatševskin geometrian kysymyksiä . — Tieteen ja tekniikan tulokset. Ser. Probl. geom., 13, VINITI, M., 1982, 157-188.
Klein F. Ei-euklidinen geometria . - M. - L .: ONTI, 1936. - S. 356.
Popov A.G. Pseudosfääriset pinnat // Soros Educational Journal . - ISSEP, 2004. - V. 8 , nro 2 . - S. 119-127 .
Popov AG Pseudopallopinnat ja eräitä matemaattisen fysiikan ongelmia .
Rozenfeld B. A. Lobatševskin geometrian tulkintoja // Historialliset ja matemaattiset tutkimukset . - M .: GITTL, 1956. - Nro 9 . - S. 169-208 .
Smogorzhevsky A. S. "Lobatševskin geometriasta" // Suosittuja matematiikan luentoja . - Gostekhizdat, 1958. - T. 23 . - S. 68 .
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - Moskova: Fizmatlit , 2009.

Linkit

Geometry of Lobachevsky Arkistoitu 7. joulukuuta 2021 Wayback Machinessa

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Hienoa norjalaista
Iso venäläinen
Suuri Neuvostoliitto (1 painos)
Britannica (verkossa)

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 12065206h GND : 4161041-6 J9U : 987007565328305171 LCCN : sh85054149 LNB : 000142143 NKC : ph257174