Peilisymmetria (merkkijonoteoria)

Matematiikassa ja teoreettisessa fysiikassa peilisymmetria on Calabi-Yaun monistojen ekvivalenssi seuraavassa merkityksessä. Kaksi Calabi-Yau-sarjaa voivat olla geometrisesti täysin erilaisia, mutta ne antavat saman alkeishiukkasfysiikan, kun niitä käytetään "taitettuna" merkkijonoteorian ylimääräisinä ulottuvuuksina . Tällaisia ​​​​jakoputkia itseään kutsutaan peilisymmetrisiksi .

Peilisymmetrian keksivät alun perin fyysikot. Matemaatikot kiinnostuivat tästä ilmiöstä noin vuonna 1990, kun Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ja Linda Parks osoittivat, että peilisymmetriaa voidaan käyttää työkaluna laskennallisessa geometriassa , matematiikan haarassa, joka käsittelee vastausten määrän laskemista. tiettyihin geometrisiin kysymyksiin. Candelas ym. osoittivat, että peilisymmetriaa voidaan käyttää laskemaan rationaalisten käyrien lukumäärä Calabi-Yau-lajikkeella, mikä ratkaisee pitkäaikaisen ongelman. Vaikka alkuperäinen lähestymistapa peilisymmetriaan perustui fysikaalisella tarkkuudella muotoiltuihin ideoihin, matemaatikot pystyivät todistamaan tiukasti joitakin fyysikkojen tekemiä ennusteita.

Peilisymmetria on nyt yksi puhtaan matematiikan valtavirran tutkimusalueista , ja matemaatikot pyrkivät kehittämään matemaattista ymmärrystä tästä fyysiseen intuitioon perustuvasta ilmiöstä. Lisäksi peilisymmetria on tärkein laskentatyökalu merkkijonoteoriassa; sitä on käytetty myös kvanttikenttäteorian yksityiskohtien ymmärtämiseen , formalismiin, jolla fyysikot kuvaavat alkuainehiukkasia . Tärkeimpiä lähestymistapoja peilisymmetriaan ovat Maxim Kontsevichin homologinen peilisymmetriaohjelma ja Stromingerin , Yaun ja Zaslowin SYZ-hypoteesi .

Yleiskatsaus

Kielet ja tiivistys

Merkkijonoteoria  on teoria, jossa perusobjektit eivät ole pistehiukkasia, vaan yksiulotteisia objekteja, joita kutsutaan merkkijonoiksi. Jouset ovat auki ja kiinni; avoimet näyttävät segmenteiltä, ​​suljetut näyttävät silmukoilta. Kieleteoriassa kuvataan, kuinka nämä perusobjektit - merkkijonot - etenevät avaruudessa ja ovat vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Planckin pituutta suuremmilla etäisyyksillä merkkijono näyttää pistehiukkaselta, jolla on oma massa , varaus ja muut ominaisuudet, jotka riippuvat merkkijonon värähtelytavasta. Merkkijonojen jakaminen ja rekombinaatio vastaavat hiukkasten emissiota ja absorptiota - siis meillä on merkkijonokieli, joka kuvaa hiukkasten vuorovaikutusta. [yksi]

Merkkijonoteorian kuvaaman maailman ja jokapäiväisessä elämässä kohtaamamme maailman välillä on merkittävä ero. Tavallisessa elämässä tarkastelemme kolmea tilaulottuvuutta (ylös/alas, vasen/oikea ja eteenpäin/taaksepäin) ja samanaikaisesti o e (aiemmin/myöhemmin). Siten nykyaikaisen fysiikan kielellä aika-avaruus on neliulotteinen. [2] Yksi merkkijonoteorian piirteistä on se, että sen itsejohdonmukaisuus edellyttää lisäavaruuden ulottuvuuksia. Supermerkkijonoteoria (versio merkkijonoteoriasta, joka sisältää supersymmetrian ) vaatii kuusi lisäaika-avaruusulottuvuutta tavallisen neljän lisäksi. [3]

Yksi nykyisen merkkijonoteorian tutkimuksen tavoitteista on kehittää malleja, joissa kielet kuvaavat korkean energian fysiikan kokeissa havaittujen hiukkasten käyttäytymistä. Maailma, jossa tarkastelemme hiukkasia, näyttää meistä neliulotteiselta - siksi on tarpeen valita tapa pienentää neljään ulottuvuuteen sellaisilla etäisyyksillä, joihin olemme tottuneet. Realistisimmissa teorioissa tämä saavutetaan tiivistysprosessilla , jossa lisämitat "sulkeutuvat" itseensä ympyrässä. [4] Jos nämä "taitetut" lisämitat osoittautuvat hyvin pieniksi, meistä näyttää siltä, ​​että aika-avaruudella on tällaisessa teoriassa vähemmän ulottuvuuksia. Tavallinen analogia tässä on puutarhaletku. Riittävän suurelta etäisyydeltä katsottuna puutarhaletku antaa vaikutelman yksiulotteisesta esineestä. Samaan aikaan, jos lähestyt sitä, näet myös ympyrää vastaavan toisen ulottuvuuden. Letkun pinnalla ryömivä muurahainen siis itse asiassa liikkuu kahdessa ulottuvuudessa, ei yhdessä. [5]

Calabi-Yau jakoputket

Tiivistyksen avulla syntyneet teoreettisesti moniulotteiset tilat voidaan muuttaa tehokkaasti neliulotteisiksi. Kaikki tiivistystavat eivät kuitenkaan johda neliulotteiseen avaruuteen, joka voisi kuvata maailmaamme. Voidaan saavuttaa, että kompaktien lisämittojen tulisi olla Calabi-Yau-jakotukin muotoisia . [4] Calabi-Yaun monisto on (yleensä monimutkainen kolmiulotteinen) avaruus , jonka pääominaisuus on kanonisen nipun triviaalisuus . Se on nimetty Eugenio Calabin mukaan, joka muotoili olettamuksen vastaavan metriikan olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta  - Calabi- oletuksesta  - ja Shintan Yaun mukaan, joka todisti sen. [6]

Sen jälkeen kun Calabi-Yau-sarjat tulivat fysiikkaan (tapana tiivistää "ylimääräisiä" mittoja), fyysikot alkoivat tutkia niitä intensiivisesti. 1980-luvun lopulla Wafa ja muut huomasivat, että oli mahdotonta saada yksilöllisesti talteen Calabi-Yaun jakoputkisto, josta tiivistys suoritettiin tuloksena olevasta neliulotteisesta avaruudesta. [7] Sen sijaan kaksi eri merkkijonoteoriaa - tyypin IIA merkkijonoteoria ja tyypin IIB merkkijonoteoria  - voidaan tiivistää käyttämällä täysin erilaisia ​​Calabi-Yaun monistoja siten, että se johtaa samaan fysiikkaan. [8] Tällaisten kahden Calabi-Yaun monistojen sanotaan olevan peilisymmetrisiä, ja kahden alkuperäisen merkkijonoteorian (tarkemmin sanoen niitä kuvaavien konformisten kenttäteorioiden ) välistä vastaavuutta kutsutaan peilisymmetriaksi. [9]

Peilisymmetria on erikoistapaus siitä, mitä fyysikot kutsuvat kaksinaisuudesta . Kaksinaisuudet ovat tilanteita, joissa kaksi erilaista fyysistä teoriaa osoittautuvat ei-triviaalisella tavalla vastaaviksi. Jos on mahdollista tehdä sellainen muunnos, että yhden teorian yhtälöt osuvat yhteen toisen teorian yhtälöiden kanssa, niin kahta tällaista teoriaa kutsutaan duaaliksi tämän muunnoksen suhteen. Se voidaan ilmaista toisin: kaksi kaksoisteoriaa ovat matemaattisesti erilaisia ​​kuvauksia samasta ilmiöstä. [10] Tällaisia ​​kaksijakoisuuksia esiintyy usein modernissa fysiikassa, erityisesti merkkijonoteoriassa. [yksitoista]

Riippumatta siitä, ovatko merkkijonoteorian tiivistykset Calabi-Yaun monistojen kanssa relevantteja todellisen maailman kannalta, peilisymmetrian olemassaololla on merkittäviä matemaattisia vaikutuksia. [12] Calabi-Yaun monimutkaiset ovat puhtaan matematiikan tutkimuskohde , ja ne antavat matemaatikoille mahdollisuuden ratkaista numeratiivisen algebrallisen geometrian ongelmia peilisymmetrian avulla . Tyypillinen laskennallinen geometriaongelma on laskea rationaalisten käyrien lukumäärä Calabi-Yau-jakosarjassa (kuten yllä esitetyssä). Peilisymmetriaa käyttämällä matemaatikot ovat osoittaneet, että tälle ongelmalle on vastine peilisymmetriselle monistolle, joka on helpompi ratkaista. [13]

Fyysikot ovat saavuttaneet peilisymmetrian turvautumatta matemaattisiin näkökohtiin. [14] Samaan aikaan matemaatikot ovat yleensä kiinnostuneita matemaattisesti tiukoista todisteista – todisteista, joissa fyysiselle intuitiolle ei ole sijaa. Matemaattisesta näkökulmasta edellä kuvattu peilisymmetrian versio on edelleen oletus, mutta peilisymmetriasta on olemassa toinenkin versio - topologiseen merkkijonoteoriaan liittyvä versio , Wittenin [15] esittelemä yksinkertaistettu merkkijonoteoria. matemaatikot ovat tiukasti todistaneet. [16] Topologisen merkkijonoteorian kielessä peilisymmetria on väite A-mallin ja B-mallin vastaavuudesta ; ne ovat ekvivalentteja siinä mielessä, että niitä yhdistää kaksinaisuus. [17] Nyt matemaatikot työskentelevät aktiivisesti kehittääkseen matemaattista ymmärrystä peilisymmetriasta, jonka fyysikot löysivät kielellä, joka on fyysikkojen helpompi ajatella. [18] Etenkin matemaatikot eivät vielä täysin ymmärrä kuinka rakentaa uusia esimerkkejä peilisymmetrisistä Calabi-Yaun monimutkaisista, vaikka tällä alalla on edistytty. [19]

Historia

Peilisymmetrian alkuperää tulisi etsiä 1980-luvun puolivälistä, jolloin havaittiin, että sädeympyrää pitkin etenevä suljettu merkkijono vastaa fyysisesti sädeympyrää pitkin etenevää suljettua merkkijonoa (jossain yksikköjärjestelmässä ). [20] Tätä ilmiötä kutsutaan T-dualityksi ja se liittyy läheisesti peilisymmetriaan. [21] Vuoden 1985 julkaisussa Candelas, Horowitz, Strominger ja Witten osoittivat, että tiivistämällä merkkijonoteoria Calabi-Yaun monikanavalla voidaan saada teoria, joka on samanlainen kuin hiukkasfysiikan standardimalli . [22] Tämän pohdinnan jälkeen fyysikot alkoivat tutkia Calabi-Yaun monistojen tiivistymiä toivoen rakentavansa todellista maailmaa kuvaavaa hiukkasfysiikkaa, mikä olisi seurausta merkkijonoteoriasta. Vafa ja muut ovat huomanneet, että tästä 4D-hiukkasfysiikan mallista on mahdotonta yksiselitteisesti rekonstruoida tiivistyneen Calabi-Yaun monistoa. Sen sijaan on olemassa kaksi Calabi-Yaun monistoa, jotka johtavat samoihin hiukkasfysiikan neliulotteisiin teorioihin. [23]

Brian Greene ja Ronen Plesser ovat löytäneet ei-triviaaleja esimerkkejä peilivastaavuudesta tutkimalla Calabi-Yaun monistojen ja tiettyjen konformisten kenttäteorioiden ( Gepner-mallit ) välisiä vastaavuuksia. [24] Tätä kysymystä kehitettiin edelleen hieman myöhemmin, kun Philip Candelas ja kaksi hänen oppilastaan ​​testasivat tietokoneella suurta määrää Calabi-Yaun jakoputkia ja havaitsivat, että jokainen niistä on "peilisymmetrinen pari" jollekin toiselle. [25]

Matemaatikot kiinnostuivat peilisymmetriasta noin vuonna 1990, kun fyysikot Philippe Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ja Linda Parks osoittivat, että sitä voidaan käyttää vuosikymmeniä kestäneiden laskennallisen geometrian ongelmien ratkaisemiseen . [26] [27] Nämä tulokset esiteltiin Berkeleyn konferenssissa toukokuussa 1991. Tämän konferenssin aikana havaittiin, että yksi Candelasin rationaalisia käyriä laskettaessa saamista luvuista ei ollut sama kuin norjalaisten matemaatikot Geir Ellingsrud ja Stein Arild Stromme, jotka ilmeisesti käyttivät tiukempia näkökohtia. [28] Suurin osa konferenssin matemaatikoista uskoi, että Candelasin työ sisälsi virheen, koska se perustui matemaattisesti löyhään arvioihin. Ellingsrud ja Stromme löysivät kuitenkin pian virheen tietokoneohjelmastaan ​​ja korjattuaan koodin saivat vastauksen, joka oli sama kuin Candelasin ja viimeksi mainittujen kirjoittajien vastaus. [29]

Vuonna 1990 Edward Witten esitteli topologisen merkkijonoteorian [15]  , yksinkertaistetun version merkkijonoteoriasta, ja fyysikot osoittivat, että sillä on myös oma peilisymmetria. [30] [31] Viestissä kansainväliselle matemaatikoiden kongressille vuonna 1994 Maxim Kontsevich esitti matemaattisen arvelun, joka perustuu fyysisestä kielestä löydettyyn peilisymmetrian ilmiöön merkkijonojen topologisessa teoriassa. Tämä olettamus tunnetaan homologisena peilisymmetriana ja se formalisoi peilisymmetrian käsitteen väittämänä kahden johdetun luokan vastaavuudesta: johdettu koherenttien pyörän luokka Calabi-Yaun jakoputkessa ja johdettu Fukai-luokka, joka on rakennettu peilistä. -symmetrinen jakoputki. [32]

Myös vuoden 1995 tienoilla Kontsevich analysoi Candelasin työtä, joka antoi yleisen kaavan rationaalisten käyrien laskemiseen kolmiulotteisella kvintiikalla , ja muotoili nämä tulokset uudelleen tiukasti matemaattisena hypoteesina. [33] Vuonna 1996 Givental julkaisi paperin, joka Giventalin itsensä mukaan tarjoaa todisteen tästä Kontsevichin oletuksesta. [34] Aluksi monet matemaatikot pitivät tätä työtä erittäin käsittämättömänä ja siksi epäilivät sen oikeellisuutta. Hieman myöhemmin Lian, Liu ja Yau julkaisivat itsenäisesti todisteensa useissa papereissa. [35] Riippumatta keskustelusta siitä, kuka julkaisi todisteen ensimmäisenä, nämä paperit hyväksytään nykyään laajalti matemaattisina todisteina peilisymmetriaa käyttämällä saatujen tulosten fyysikoiden kielellä. [36] Vuonna 2000 Kentaro Hori ja Kumrun Wafa esittivät fyysisen todisteen peilisymmetriasta, joka perustuu T-kaksinaisuuteen. [neljätoista]

Sovellukset

Laskennallinen geometria

Peilisymmetriaa käytetään aktiivisesti laskennallisessa geometriassa - matematiikan haarassa, joka on kiinnostunut sellaisista kysymyksistä kuin "kuinka monta näistä tai noista geometrisista rakenteista on olemassa"; Laskennallisen geometrian päätyökalu ovat algebrallisessa geometriassa kehitetyt tekniikat . Yksi ensimmäisistä laskennallisen geometrian ongelmista esitettiin noin 200 eaa. e. antiikin kreikkalainen matemaatikko Apollonius . Kuinka monta ympyrää tasossa koskettaa kolmea datapistettä ? Apollonius kysyi. Vastauksen antoi Apollonius itse; se on seuraava: jos annettuja ympyröitä on kolme - yleisasennossa niitä koskettavia ympyröitä on kahdeksan. [37]

Matematiikan numeeriset ongelmat ovat yleensä olemassa olevien algebrallisten variaatioiden lukumäärää koskevia ongelmia , jotka määritellään ratkaisujoukkoina polynomiyhtälöjärjestelmiin. Esimerkiksi Clebsch-kuutio (katso kuva) määritellään jollakin kolmannen asteen polynomilla neljässä muuttujassa. Arthur Cayley ja George Salmon saivat aikaansa huomattavan tuloksen - sellaiselle pinnalle voidaan vetää tasan 27 suoraa viivaa. [38]

Yleistäen tämän ongelman, voidaan kysyä, kuinka monta viivaa voidaan piirtää Calabi-Yau-kvinttiin (katso yllä oleva kuva). Tämän ongelman ratkaisi Hermann Schubert , joka osoitti, että tällaisia ​​rivejä on tasan 2875. Vuonna 1986 Sheldon Katz osoitti, että tähän kvintittiin kuuluvien kartioiden lukumäärä on 609 250. [37]

Vuoteen 1991 mennessä suurin osa laskennallisen geometrian klassisista ongelmista oli ratkaistu, ja kiinnostus laskennallista geometriaa kohtaan alkoi hiipua. Kuten matemaatikko Mark Gross sanoi: "Kun klassiset ongelmat ratkaistiin, ihmiset alkoivat laskea Schubertin lukuja uudelleen nykyaikaisilla menetelmillä, mutta se ei näyttänyt joltain tuoreelta." [39] Fyysikot Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ja Linda Parks puhalsivat kentälle eloa toukokuussa 1991, kun he osoittivat, että peilisymmetriaa voidaan käyttää kolmen asteen käyrien lukumäärän laskemiseen kvintiikissä, joka on Calabi-Yau jakoputki.. Candelas ym. havaitsivat, että Calabi-Yau-kompleksin 3-kertaiset muodot sisältävät täsmälleen 317206375 asteen-kolmen käyriä. [39]

Sen lisäksi, että Candelas ym. laskivat kolmiulotteisella kvintiikalla asteen kolmanteen käyriä, he saivat paljon yleisempiä tuloksia rationaalisten käyrien laskemisesta – paljon vahvempia kuin matemaatikot tuolloin tiesivät. [40] Vaikka Candelasin käyttämät menetelmät perustuivat teoreettisen fysiikan epätarkkoihin ideoihin, matemaatikot pystyivät todistamaan joitain peilisymmetriaennusteita, jotka tehtiin fysikaalisella tarkkuudella – erityisesti kaikki äskettäin saadut tulokset laskennallisessa geometriassa. . [36]

Teoreettisessa fysiikassa

Enumeratiivisen geometrian sovellusten lisäksi peilisymmetria on yksi tärkeimmistä laskentatyökaluista merkkijonoteoriassa. Topologisen merkkijonoteorian A-mallissa fysikaalisesti mielenkiintoiset suureet ( korrelaattorit , jotka määrittävät tiettyjen vuorovaikutusprosessien todennäköisyyden) ilmaistaan ​​Gromov-Wittenin invarianteilla , joita on äärettömän paljon ja joita on erittäin vaikea laskea. B-mallissa laskelmat voidaan pelkistää klassisiksi integraaleiksi ("jaksoiksi") ja siten paljon helpommin. [41] Peilisymmetriaa käyttämällä A-mallin monimutkaisten laskelmien sijasta on mahdollista suorittaa vastaavia, mutta teknisesti yksinkertaisempia laskelmia B-mallissa. Voit myös käyttää muita merkkijonoteorian kaksinaisuutta , yhdistää niihin peilisymmetriaa, jotta voit suorittaa vastaavia laskelmia teoriassa, jossa ne ovat yksinkertaisimpia. Valitsemalla sopivan teorian fyysikot voivat laskea suureita, joita on mahdotonta tai erittäin vaikeaa laskea ilman kaksinaisuutta. [42]

Kieleteorian ulkopuolella peilisymmetriaa käytetään ymmärtämään kvanttikenttäteorian aspekteja, formalismia, jolla fyysikot selittävät alkuainehiukkasten etenemistä ja vuorovaikutusta . Jotkut mittariteoriat , jotka eivät kuulu vakiomalliin, mutta eivät yhtä teoreettisesti tärkeitä, on johdettu jousista, jotka etenevät lähes yksittäisiä pintoja pitkin. Tällaisissa teorioissa peilisymmetria on tärkeä laskentatekniikka. [43] Peilisymmetrian avulla on todellakin mahdollista suorittaa laskelmia neliulotteisessa mittariteoriassa, jota tutkivat Nathan Seiberg ja Edward Witten ja joka tunnetaan hyvin matematiikassa Donaldsonin invarianttien yhteydessä . [44]

Lähestymistavat

Homologinen peilisymmetria

Merkkijonoteoriassa esiin tulee braanin käsite  - esine, joka yleistää käsitteen hiukkasesta (0-ulotteinen esine) korkeampiin ulottuvuuksiin. Siten pistehiukkasta voidaan ajatella braanina, jonka ulottuvuus on 0, merkkijonoa voidaan ajatella ulottuvuuden 1 braanina. Suurempien ulottuvuuksien braneja voidaan ajatella. Sana "brane" on lyhenne sanoista "membraani", jota joskus käytetään viittaamaan kaksiulotteiseen pintaan, joka on pistehiukkasen seuraava ulottuvuus yleistys merkkijonon jälkeen. [45]

Kieleteoria tarkastelee avoimia ja suljettuja jousia. D-braanit  ovat tärkeä brane-luokka, joka syntyy, kun harkitaan avoimia kieliä. Kirjain "D" D-braanin nimessä tarkoittaa rajaehtoa, joka tällaisen braanin on täytettävä - Dirichlet-rajaehtoa . [46] Näiden rajaehtojen mukaan avoimen merkkijonon päiden on oltava D-braaneissa.

Matemaattisesti braaneja voidaan kuvata käyttämällä luokan käsitettä . [47] Kategoria on määritelmän mukaan kokonaisuus, joka koostuu objekteista ja kunkin objektiparin osalta niiden välisistä morfismeista . Objektit ovat matemaattisia rakenteita (kuten joukot , vektoriavaruudet tai topologiset avaruudet ), ja morfismit ovat näiden rakenteiden välisiä kuvauksia . [48] ​​Voidaan myös harkita luokkaa, jonka objektit ovat D-braaneja ja joiden morfismit ovat kahden eri D-braanin väliin venytettyjen avointen merkkijonojen tiloja . [49]

Topologisen merkkijonoteorian B-mallissa D-braanit  ovat monimutkaisia ​​Calabi-Yaun monistoja, joiden lisäehtona on, että merkkijonon päät on kiinnitetty niihin. [27] [49] Kategoria , jonka kohteet ovat tällaisia ​​braneja, tunnetaan johdettuna luokkana koherentit pyörät Calabi-Yaun jakoputkessa. [50] A-mallissa D-braaneja voidaan pitää myös Calabi-Yau-sarjan osajoukkoina. Karkeasti sanottuna näitä matemaatikot kutsuvat erityisiksi erityisiksi Lagrangin alijoukoiksi . [50] Tämä tarkoittaa muun muassa, että niiden koko on puolet sen tilan ulottuvuudesta, johon ne on upotettu, ja että ne ovat pienimmän tilavuuden alalajeja. [51] Kategoria, jonka esineet ovat nämä braenit, kutsutaan Fukai-kategoriaksi . [viisikymmentä]

Koherenttien pyörän johdettu luokka on rakennettu käyttämällä monimutkaisen geometrian työkaluja . [52] Mitä tulee A-puolelle, Fukain kategoriassa käytetään nimenomaisesti symplektistä geometriaa , matematiikan haaraa, joka kasvoi klassisesta mekaniikasta . Symplektinen geometria tutkii tiloja, joille annetaan symplektinen muoto  , kokonaisuus, jonka avulla voidaan laskea pinta -alaa kaksiulotteisissa tilanteissa. [17]

Maxim Kontsevichin tässä muodossa julistama homologisen peilisymmetrian hypoteesi väittää, että johdettu koherenttien pyörien luokka jossain Calabi-Yau-jakosarjassa vastaa johdettua Fukai-luokkaa jakoputkessa, joka on peilisymmetrinen valitulle Calabi-Yaulle. jakotukki. [53] Tämä ekvivalenssi näyttää olevan peilisymmetrian tarkka matemaattinen muotoilu topologisessa merkkijonoteoriassa. Se yhdistää monimutkaiset ja symplektiset geometriat odottamattomalla tavalla. [54]

SYZ-hypoteesi

Toista lähestymistapaa peilisymmetrian ymmärtämiseen ehdottivat Strominger , Yau ja Zaslow vuonna 1996. [21] Heidän ehdotuksensa, joka tunnetaan nykyään SYZ-hypoteesina, peilisymmetria voidaan ymmärtää hajottamalla alkuperäinen Calabi-Yaun monisto yksinkertaisempiin osiin ja sitten koota niistä peilisymmetrisesti alkuperäiseen Calabi-Yaun jakotukkiin. [55] Yritetään selittää, mitä tarkoitetaan.

Yksinkertaisin esimerkki Calabi-Yaun jakoputkesta on kaksiulotteinen torus (donitsipinta). [56] Tarkastellaan ei-kutistuvaa ympyrää toruksen pinnalla, joka sisältää donitsin sisäosan (punainen ympyrä kuvassa). Toruksella on äärettömän paljon sellaisia ​​ympyröitä; itse asiassa koko torus voidaan ymmärtää tällaisten ympyröiden liitoksi . [57] Valitaan mielivaltainen vaaleanpunainen ympyrä kuvasta. Tämän vaaleanpunaisen ympyrän pisteet parametroidaan punaisiksi siinä mielessä, että vaaleanpunaisen ympyrän pisteen ja vastaavan punaisen ympyrän välillä on bijektio . [51]

Ajatus toruksen jakamisesta mielivaltaisen avaruuden parametroimiksi paloiksi voidaan yleistää. Ajattele monimutkaisia ​​kaksiulotteisia Calabi-Yau jakotukia - K3-pintoja . Aivan kuten torus hajotettiin ympyröiksi, neliulotteinen K3-pinta voidaan hajottaa kaksiulotteiseksi torukseksi ja kaksiulotteiseksi palloksi . Jokainen piste pallolla, lukuun ottamatta kahtakymmentäneljää, vastaa kaksiulotteista torusta; nämä kaksikymmentäneljä pistettä vastaavat erityistä toria. [51]

Merkkijonoteoriassa Calabi-Yaun monimutkaiset dimensiot 3 (vastaavasti todellisen ulottuvuuden 6) monimutkaiset ovat ensisijaisen kiinnostavia. Ne voidaan esittää 3-torina (toruksen kolmiulotteisella yleistyksellä ), parametroituina kolmiulotteisella pallolla (pallon kolmiulotteisella yleistyksellä). Jokainen piste vastaa 3-torusta, lukuun ottamatta ääretöntä määrää "huonoja" pisteitä, jotka muodostavat "hilan" Calabi-Yaulla ja jotka vastaavat erityisiä toria. [58]

Tällaisten laajennusten avulla peilisymmetria voidaan esittää intuitiivisesti. Tarkastellaan esimerkkiä kaksiulotteisesta toruksesta. Kuvittele, että tämä torus kuvaa jonkin fyysisen teorian aika-avaruutta. Tällaisen teorian perustavanlaatuinen tavoite olisi kvanttimekaniikan lakien mukaan aika-avaruudessa etenevä merkkijono . Yksi merkkijonoteorian peruskaksoisuuksista on T-kaksoisisuus , jonka mukaan säteen sylinteriä pitkin etenevä suljettu merkkijono vastaa säteen sylinteriä pitkin etenevää suljettua merkkijonoa siinä mielessä, että yksi yhteen vastaavuus voidaan muodostaa. jokaisessa kuvauksessa kaikkien havaittavien välillä. [59] Esimerkiksi etenevä merkkijono on liikemäärä , ja merkkijono voi myös kiertyä sylinterin ympäri useita kertoja (katso käämien määrä ). Liikemäärää ja käämien lukumäärää varten, kun se etenee pitkin alkusäteen sylinteriä, kun etenee pitkin käänteisen säteen sylinteriä, merkkijonolla on liikemäärä ja käämien lukumäärä . [59] T-kaksinaisuuden soveltaminen samanaikaisesti kaikkiin ympyröihin, joihin jaamme toruksen, saa näiden ympyröiden säteiden käänteisen, ja saamme uuden toruksen, joka on "paksumpi" tai "ohuempi" kuin alkuperäinen. Tämä toru on peilisymmetrinen alkuperäiseen nähden. [60]

T-kaksoisisuus voidaan laajentaa n-ulotteisen toruksen tapaukseen, joka ilmenee hajotettaessa monimutkaista n-ulotteista Calabi-Yaun monistoa. Yleisesti ottaen SYZ-oletus väittää seuraavaa: peilisymmetria vastaa T-kaksoisisuuden samanaikaista soveltamista näihin toriin. Kussakin tapauksessa avaruus  on eräänlainen jäljennös, joka näyttää kuinka Calabi-Yaun jakotukki "kokoaa" näistä toreista. [61]

Katso myös

• Homologinen peilisymmetria
• Kaksinaisuus kieleteoriassa

Muistiinpanot

1. ↑ Helppokäyttöisen johdannon merkkijonoteoriaan, katso esimerkiksi Greene, 2000.
2. ↑ Wald 1984, s. neljä
3. ↑ Zwiebach 2009, s. kahdeksan
4. ↑ 1 2 Yau ja Nadis 2010, Ch. 6
5. ↑ Tämän analogian antaa esimerkiksi Green, 2000, s. 186
6. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. ix
7. ↑ Dixon 1988; Lerche, Vafa ja Warner 1989
8. ↑ Tietyn Calabi-Yaun jakosarjan geometria kuvataan käyttämällä Hodge-rombia  - Hodge-lukuja, jotka on kirjoitettu rombin muotoon. Peilisymmetristen jakotukkien hodge-rombit kulkevat toistensa sisään, kun niitä kierretään 90 astetta. Lisätietoja on kohdassa Yau ja Nadis 2010, s. 160-3.
9. ↑ Aspinwall et ai. 2009, s. 13
10. ↑ Hori et ai. 2003, s. xvi
11. ↑ Esimerkkejä muista merkkijonoteoriassa esiin tulevista kaksinaisuudesta ovat S-duality , T-duality , AdS/CFT-vastaavuus .
12. ↑ Zaslow 2008, s. 523
13. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 168
14. ↑ 12 Hori ja Vafa 2000
15. ↑ 12 Witten 1990
16. ↑ Givental 1996, 1998; Lian, Liu, Yau 1997, 1999, 2000
17. ↑ 1 2 Zaslow 2008, s. 531
18. ↑ Hori et ai. 2003, s. xix
19. ↑ Zaslow 2008, s. 537
20. ↑ Tämä havaittiin ensimmäisen kerran Kikkawassa ja Yamasakissa 1984 sekä Sakaiissa ja Sendassa 1986.
21. ↑ 1 2 Strominger, Yau ja Zaslow 1996
22. ↑ Candelas et ai. 1985
23. ↑ Tämä havaittiin julkaisuissa Dixon 1988 ja Lerche, Vafa ja Warner 1989.
24. ↑ Green and Plesser 1990; Yau ja Nadis 2010, s. 158
25. ↑ Candelas, Lynker ja Schimmrigk 1990; Yau ja Nadis 2010, s. 163
26. ↑ Candelas et ai. 1991
27. ↑ 1 2 Yau ja Nadis 2010, s. 165
28. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 169-170
29. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 170
30. ↑ Vafa 1992; Witten 1992
31. ↑ Hori et ai. 2003, s. xviii
32. ↑ Kontsevich 1995a
33. ↑ Kontsevich 1995b
34. ↑ Givental 1996, 1998
35. ↑ Lian, Liu, Yau 1997, 1999a, 1999b, 2000
36. ↑ 1 2 Yau ja Nadis 2010, s. 172
37. ↑ 1 2 Yau ja Nadis 2010, s. 166
38. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 167
39. ↑ 1 2 Yau ja Nadis 2010, s. 169
40. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 171
41. ↑ Zaslow 2008, s. 533-4
42. ↑ Zaslow 2008, s. kymmenen
43. ↑ Hori et ai. 2003, s. 677
44. ↑ Hori et ai. 2003, s. 679
45. ↑ Moore 2005, s. 214
46. ↑ Moore 2005, s. 215
47. ↑ Aspinwall et ai. 2009
48. ↑ Klassista kirjallisuutta kategoriateorian alalla - MacLanen 1998 kirja.
49. ↑ 1 2 Zaslow 2008, s. 536
50. ↑ 1 2 3 Aspinwal et al. 2009, s. 575
51. ↑ 1 2 3 Yau ja Nadis 2010, s. 175
52. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 180-1
53. ↑ Aspinwall et ai. 2009, s. 616
54. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 181
55. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 174
56. ↑ Zaslow 2008, s. 533
57. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 175-6
58. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 175-7.
59. ↑ 1 2 Zaslow 2008, s. 532
60. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 178
61. ↑ Yau ja Nadis 2010, s. 178-9

Kirjallisuus

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendroi, Balazs; Wilson, PMH, toim. Dirichlet Branes ja Mirror Symmetry. - American Mathematical Society, 2009. - ISBN 978-0-8218-3848-8 .
• Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia; Green, Paul; Parks, Linda. Calabi–Yau-monitoripari täsmälleen liukenevana superkonformaalisen kentän teoriana // Kommunikaatio matemaattisessa fysiikassa. - 2007. - Voi. 276, nro 3 . - s. 671-689. - .
• Candelas, Philip; Horowitz, Gary; Strominger, Andrew; Witten, Edward. Tyhjiökonfiguraatiot superjonoille // Nuclear Physics B. - 1985. - Voi. 258.—s. 46–74. - doi : 10.1016/0550-3213(85)90602-9 . - .
• Candelas, Philip; Lynker, Monika; Schimmrigk, Rolf. Calabi–Yaun jakoputket painotetussa  // Nuclear Physics B. - 1990. - Voi. 341, nro 1 . - s. 383-402. - .
• Dixon, Lance. Joitakin supermerkkijonojen tiivistysominaisuuksia, orbifoldeissa ja muuten // ICTP Ser. Teoria. Phys.. - 1988. - Voi. 4. - s. 67-126.
• Givental, Alexander. Ekvivariantti Gromov-Wittenin invariantit // Kansainväliset matematiikan tutkimustiedotteet. - 1996. - Voi. 1996, nro 13 . - s. 613-663. - doi : 10.1155/S1073792896000414 .
• Givental, Alexander. Peiliteoreema torisille täydellisille leikkauspisteille // Topologinen kenttäteoria, primitiiviset muodot ja niihin liittyvät aiheet. - 1998. - s. 141-175. - doi : 10.1007/978-1-4612-0705-4_5 .
• Greene, Brian. Elegantti universumi: Superstrings, Hidden Dimensions ja Quest for Ultimate Theory. - Random House, 2000. - ISBN 978-0-9650888-0-0 .
• Greene, Brian; Plesser, Ronen. Kaksinaisuus Calabi–Yau-moduuliavaruudessa // Nuclear Physics B. - 1990. - Voi. 338, nro 1 . — s. 15–37. - doi : 10.1016/0550-3213(90)90622-K . - .
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, toim. Peilin symmetria . - American Mathematical Society, 2003. - ISBN 0-8218-2955-6 . Arkistoitu 19. syyskuuta 2006 Wayback Machinessa
• Hori, Kentaro; Vafa, Cumrun. Peilin symmetria. - 2000. - arXiv : hep-th/0002222 .
• Kikkawa, Keiji; Yamasaki, Masami. Casimir-efektit supermerkkijonoteorioissa // Physics Letters B. - 1984. - Voi. 149, nro 4 . - s. 357-360. - doi : 10.1016/0370-2693(84)90423-4 . - .
• Kontsevich, Maxim. Rationaalisten käyrien luettelo Torus-toimintojen kautta  // Käyrien moduli-avaruus. – 1995a. - s. 335-368.
• Kontsevich, Maxim. Peilisymmetrian homologinen algebra // Proceedings of the International Congress of Mathematicians. - s. 120-139. - . - arXiv : alg-geom/9411018 .
• Lerche, Wolfgang; Vafa, Cumrun; Warner, Nicholas. Kiraaliset renkaat superkonformaalisissa teorioissa // Nuclear Physics B. - 1989. - Voi. 324, nro 2 . - s. 427-474. - doi : 10.1016/0550-3213(89)90474-4 . - .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Joo, Shing Tung. Peiliperiaate, I // Asian Journal of Math. - 1997. - Voi. 1. - P. 729-763. - . - arXiv : alg-geom/9712011 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Joo, Shing Tung. Peiliperiaate, II // Asian Journal of Math. – 1999a. — Voi. 3. - s. 109-146. - . - arXiv : math/9905006 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Joo, Shing Tung. Peiliperiaate, III // Asian Journal of Math. – 1999b. — Voi. 3. - P. 771-800. - . - arXiv : math/9912038 .
• Lian, Bong; Liu, Kefeng; Joo, Shing Tung. Peiliperiaate, III // Differentiaaligeometrian selvityksiä. - 2000. - Voi. 3. - s. 475-496. - . - arXiv : math/9912038 .
• McLane S. Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M .: Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

• Moore, Gregory. Mikä on... Brane?  // AMS:n ilmoitukset. - 2005. - Voi. 52. - s. 214.
• Sakai, Norisuke; Senda, Ikuo. Toruksessa tiivistetyn kielen tyhjiöenergiat // Teoreettisen fysiikan edistyminen. - 1986. - Voi. 75, nro 3 . — s. 692–705. - doi : 10.1143/PTP.75.692 . - .
• Strominger, Andrew; Yau, Shing-Tung; Zaslow, Eric. Peilisymmetria on T-duality // Nuclear Physics B. - 1996. - Voi. 479, nro 1 . - s. 243-259. - doi : 10.1016/0550-3213(96)00434-8 . — . - arXiv : hep-th/9606040 .
• Vafa, Cumrun. Topologiset peilit ja kvanttirenkaat // Esseitä peilien monimutkaisista. - 1992. - s. 96-119. - . - arXiv : hep-th/9111017 .
• Witten, Edward. Kaksiulotteisen painovoiman topologisen vaiheen rakenteesta // Nuclear Physics B. - 1990. - Voi. 340, nro 2-3 . - s. 281-332. - doi : 10.1016/0550-3213(90)90449-N . - .
• Witten, Edward. Peilisarjat ja topologinen kenttäteoria // Essays on peilisarja. - 1992. - s. 121-160.
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. Sisäavaruuden muoto: kieliteoria ja maailmankaikkeuden piilotettujen ulottuvuuksien geometria. - Peruskirjat, 2010. - ISBN 978-0-465-02023-2 .
• Zaslow, Eric. Peilin symmetria. - Kirjassa Gowers, Timothy. Princeton Companion to Mathematics.. - 2008. - ISBN 978-0-691-11880-2 .
• Zwiebach, Barton. Ensimmäinen kieliteorian kurssi. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .

Lue lisää

Suosittu

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. Sisäavaruuden muoto: kieliteoria ja maailmankaikkeuden piilotettujen ulottuvuuksien geometria. - Peruskirjat, 2010. - ISBN 978-0-465-02023-2 .
• Zaslow, Eric. Fysmatiikka. - 2005. - arXiv : fysiikka / 0506153 .
• Zaslow, Eric. Peilin symmetria. - Kirjassa Gowers, Timothy. Princeton Companion to Mathematics.. - 2008. - ISBN 978-0-691-11880-2 .

Oppikirjallisuus

• Aspinwall, Paul; Bridgeland, Tom; Craw, Alastair; Douglas, Michael; Gross, Mark; Kapustin, Anton; Moore, Gregory; Segal, Graeme; Szendroi, Balazs; Wilson, PMH, toim. Dirichlet Branes ja Mirror Symmetry. - American Mathematical Society, 2009. - ISBN 978-0-8218-3848-8 .
• Cox, David; Katz, Sheldon. Peilisymmetria ja algebrallinen geometria. - American Mathematical Society, 1999. - ISBN 978-0-8218-2127-5 .
• Hori, Kentaro; Katz, Sheldon; Klemm, Albrecht; Pandharipande, Rahul; Thomas, Richard; Vafa, Cumrun; Vakil, Ravi; Zaslow, Eric, toim. Peilin symmetria . - American Mathematical Society, 2003. - ISBN 0-8218-2955-6 . Arkistoitu 19. syyskuuta 2006 Wayback Machinessa

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)