Ryhmän isomorfismi

Ryhmä-isomorfismi on kahden ryhmän elementtien välinen vastaavuus , joka säilyttää ryhmän toiminnot. Jos kahden ryhmän välillä on isomorfismi, ryhmien sanotaan olevan isomorfisia . Ryhmäteorian näkökulmasta isomorfisilla ryhmillä on samat ominaisuudet, eikä niitä voida erottaa toisistaan.

Määritelmä

Jos annetaan kaksi ryhmää ( G , ∗) ja ( H , ). Ryhmien isomorfismi välillä ( G , ∗ ) arvoon ( H , ) on bijektiivinen homomorfismi G :stä H : ään . $\circ$ $\circ$

Toisin sanoen ryhmäisomorfismi on bijektio , joka on sellainen, että mille tahansa u :lle ja v : lle G :stä , $f:G\rightarrow H$

f(u*v)=f(u)\circ f(v)

Muistiinpanot

Kaksi ryhmää ( G , ∗) ja ( H , ) ovat isomorfisia , jos on olemassa isomorfismi toisesta toiseen. Tämä on kirjoitettu seuraavasti: $\circ$ ${\näyttötyyli (G,*)\cong (H,\circ )}$

Usein käytetään lyhyempää ja yksinkertaisempaa merkintää. Jos ryhmäoperaatiot eivät johda epäselvyyteen, ne jätetään pois:

G\cong H

(Joskus he jopa kirjoittavat vain G = H. Se, johtaako tällainen merkintä sekaannukseen ja epäselvyyteen, riippuu kontekstista. Esimerkiksi yhtäläisyysmerkin käyttö ei ole kovin sopivaa, kun kaksi ryhmää ovat saman ryhmän alaryhmiä.)

Jos H = G ja = ∗, bijektio on automorfismi . $\circ$

Ryhmä-isomorfismi voidaan määritellä kaksipuoliseksi käännettäväksi morfismiksi ryhmien luokassa .

Esimerkkejä

Kaikkien reaalilukujen ryhmä yhteenlaskettuna, , on isomorfinen kaikkien positiivisten reaalilukujen ryhmän kanssa kertolaskulla : $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$

(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\cdot )

isomorfismin kautta

f(x)=e^{x}

(katso näytteilleasettaja ).

Kokonaislukujen ryhmä (yhteenlaskemalla) on alaryhmä ja tekijäryhmä on isomorfinen kompleksilukujen ryhmän kanssa, jonka absoluuttinen arvo on 1 (kerroin): $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {R}}/{\mathbb {Z}}$ $S^{1}$

(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,+)\cong (S^{1},\cdot )

Isomorfismi saadaan lausekkeella

f(x+{\mathbb {Z}})=e^{{2\pi xi}}

mille tahansa x :lle alkaen .

\mathbb {R}

Kleinin nelinkertainen ryhmä on isomorfinen kahden kopion suoralle tulolle (katso modulo-vertailu ), ja siksi se voidaan kirjoittaa muodossa . Toinen merkintätapa on Dih 2 , koska se on kaksitahoinen ryhmä . ${\mathbb {Z}}_{2}={\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ ${\mathbb {Z}}_{2}\times {\mathbb {Z}}_{2}$

Yleistäen kaikille parittomille n :lle ryhmä Dih 2 n on isomorfinen Dih n: n ja Z 2 :n suoralle tulolle .

Joillekin ryhmille on mahdollista todistaa isomorfismi valinnan aksiooman perusteella , mutta tällainen todistus ei osoita, kuinka tietty isomorfismi rakennetaan. Esimerkkejä:

Ryhmä ( , +) on isomorfinen kaikkien kompleksilukujen ryhmän ( , +) kanssa yhteenlaskettuna. [yksi] $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Nollasta poikkeavien kompleksilukujen ryhmä on kertomalla isomorfinen edellä mainitun ryhmän S1 kanssa . $(\mathbb {C} ^{*},\cdot )$

Sykliset ryhmät

Jos ( G , ∗) on ääretön syklinen ryhmä , niin ( G , ∗) on isomorfinen kokonaislukujen kanssa (lisäyksenä). Algebrallisesta näkökulmasta tämä tarkoittaa, että kaikkien kokonaislukujen joukko (yhteenlaskettuna) on ainoa ääretön syklinen ryhmä.

Kaikki tietyn kertaluvun äärelliset sykliset ryhmät ovat isomorfisia . $(\mathbb {Z} _{n},+)$

Olkoon G syklinen ryhmä ja n ryhmän G järjestys . G on elementin muodostama ryhmä . Näytämme sen $\langle x\rangle =\{e,x,...,x^{n-1}\}$

G\cong (\mathbb {Z} _{n},+)

Määritellään

\varphi :G\rightarrow {\mathbb {Z}}_{n}=\{0,1,...,n-1\}

, niin . On selvää, että se on bijektiivinen.

\varphi (x^{a})=a

\varphi

Tällä tavalla,

\varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+\varphi (x) ^{b})

, mikä todistaa sen .

G\cong (\mathbb {Z} _{n},+)

Ominaisuudet

Isomorfismin ( G , ∗) ydin ( H , ) on aina {e G }, missä e G on ryhmän ( G , ∗) neutraali elementti. $\circ$

Jos ( G , ∗) on isomorfinen ( H , ) ja jos G on Abelin , niin H on myös Abelin. $\circ$

Jos f on isomorfismi välillä ( G , *) ja ( H , ), niin jos a kuuluu G :hen ja sen kertaluku on n , niin f(a) :lla on sama kertaluku . $\circ$

Jos ( G , ∗) on lokaalisti äärellinen ryhmä , joka on isomorfinen ( H , ), niin ( H , ) on myös paikallisesti äärellinen. $\circ$ $\circ$

Seuraukset

Määritelmästä seuraa, että mikä tahansa isomorfismi kuvaa neutraalin elementin G neutraaliksi elementiksi H , $f:G\rightarrow H$

f(e_{G})=e_{H}

mistä seuraa, että käänteiset on kartoitettu käänteisiksi,

f(u^{{-1}})=\vasen[f(u)\oikea]^{{-1}}

ja n :nnestä potenssista n :nneksi tehoksi,

f(u^{n})=\vasen[f(u)\oikea]^{n}

kaikille u : lle G :stä , ja myös että käänteiskartta on isomorfismi. $f^{{-1}}:H\rightarrow G$

Relaatio "isomorfinen" täyttää kaikki ekvivalenssirelaation aksioomit . Jos f on kahden ryhmän G ja H isomorfismi , niin kaikki G :lle pätevät ja ryhmän rakenteeseen liittyvät väitteet voidaan siirtää f :n avulla samoihin H :n väitteisiin ja päinvastoin.

Automorfismit

Isomorfismia ryhmästä ( G , ∗) itseensä kutsutaan tämän ryhmän automorfismiksi . Koska isomofismi on bijektiivinen, $f:G\rightarrow G$

f(u)*f(v)=f(u*v)

Automorfismi kartoittaa aina neutraalin elementin itselleen. Konjugaatioluokan kuva on aina konjugaatioluokka (sama tai erilainen). Elementin kuvalla on sama järjestys kuin itse elementillä.

Kahden automorfismin koostumus on jälleen automorfismi, ja tämä operaatio G:n kaikkien automorfismien joukolla , jota merkitään Aut( G ), muodostaa ryhmän, G : n automorfismiryhmän .

Kaikille Abelin ryhmille on olemassa ainakin automorfismi, joka vie ryhmän elementit käänteisiksi. Kuitenkin ryhmissä, joissa kaikki alkiot ovat yhtä suuret kuin niiden käänteiset, tämä automorfismi on triviaali, esimerkiksi Kleinin nelinkertaisryhmässä (tässä ryhmässä kaikki ryhmän kolmen ei-neutraalin elementin permutaatiot ovat automorfismeja, joten isomorfismiryhmä on isomorfinen S3 : lle ja Dih3 : lle ).

Alkuluvun p :ssä Z p yksi ei-neutraali alkio voidaan korvata toisella, jolloin muut alkiot vastaavat muutoksia. Automorfismiryhmä on isomorfinen Z p − 1 :n kanssa . Esimerkiksi kun n = 7, Z 7 :n kaikkien elementtien kertominen 3:lla (mod 7) on automorfismiryhmässä luokkaa 6 automorfismia, koska 3 6 ≡ 1 (mod 7) ja 1:n pienemmät potenssit eivät sitä tee. Siten tämä automorfismi muodostaa Z6: n . Tällä ominaisuudella on vielä yksi automorfismi - Z 7 :n kaikkien elementtien kertominen 5:llä (moduuli 7). Siten nämä kaksi automorfismia vastaavat Z6:n elementtejä 1 ja 5 , tässä järjestyksessä tai päinvastoin.

Automorfismiryhmä Z6 on isomorfinen Z2:n kanssa, koska vain nämä kaksi elementtiä 1 ja 5 muodostavat Z6 : n .

Automorfismiryhmän Z 2 × Z 2 × Z 2 = Dih 2 × Z 2 järjestys on 168, joka voidaan esittää seuraavasti. Kaikilla 7 ei-neutraalilla elementillä on sama rooli, joten voimme valita, kumpi esittää roolia (1,0,0). Mikä tahansa jäljellä olevista kuudesta voidaan valita rooliin (0,1,0). Nämä kaksi määrittelevät, mikä vastaa (1,1,0). (0,0,1) voimme valita neljästä, ja tämä valinta määrittää loput elementit. Siten saamme 7 × 6 × 4 = 168 automorfismia. Ne vastaavat Fano-tason automorfismeja , joiden 7 pistettä vastaavat 7 ei-neutraalia elementtiä. Kolmea pistettä yhdistävät suorat vastaavat ryhmäoperaatiota: a , b ja c suoralla tarkoittavat a + b = c , a + c = b ja b + c = a . Katso myös Täydellinen lineaarinen ryhmä äärellisen kentän yli .

Abelin ryhmissä kaikkia automorfismeja triviaalia lukuun ottamatta kutsutaan ulkoisiksi automorfismeiksi .

Ei-abelilaisilla ryhmillä on ei-triviaaleja sisäisiä automorfismeja ja mahdollisesti ulkoisia automorfismeja.

Muistiinpanot

↑ Tuhka. Valinnan aksiooman seuraus // Australian Mathematical Societyn lehti. - 1973. - T. 19 . - S. 306-308 .

Linkit

Herstein, IN Algebran aiheet. - 2 painos. - Wiley, 1975. - ISBN 0-471-01090-1 ..