Luokka isomorfismi

Kategorian isomorfismi on kategorioiden välinen suhde, joka säilyttää objektien ja morfismien rakenteen: kategoriat ja ovat isomorfisia, jos funktioita on ja jotka ovat käänteisiä toisilleen, eli (identiteettifunktiontori päällä ) ja [1] . Näillä kahdella isomorfisella kategorialla on kaikki ominaisuudet, jotka määritellään vain kategoriateorian kannalta; kaikkiin käytännön tarkoituksiin ne ovat identtisiä, ja ne eroavat vain objekti- ja morfismimerkinnöistä. $C$ $D$ $F\colon C\to D$ $G\colon D\to C$ $FG=1_{D}$ $D$ $GF=1_{C}$

Kategorian isomorfismi on erittäin vahva ehto, joka harvoin täyttyy; tässä suhteessa käytetään useammin luokkaekvivalenssin käsitettä , jolle sen ei edellytetä olevan yhtä suuri kuin , vaan vain luonnollisesti isomorfinen ja samalla tavoin luonnollisesti isomorfinen . $FG$ ${\näyttötyyli 1_{D}}$ ${\näyttötyyli 1_{D}}$ $GF$ $1_{C}$

Funktori luo kategorioiden isomorfismin silloin ja vain, jos se on bijektiivinen objekteissa ja morfismijoukossa [1] ; Tämän kriteerin ansiosta on mahdollista todistaa kategorioiden isomorfismi rakentamatta käänteistä funktiota . $F\colon C\to D$ $G$

Esimerkkejä

Äärillisen ryhmän , kentän ja ryhmäalgebran osalta ryhmän lineaaristen esitysten luokka on isomorfinen ryhmän vasemmanpuoleisten moduulien luokan kanssa . Isomorfismi voidaan kuvata seuraavasti: jos ryhmän esitys on annettu , jossa on vektoriavaruus yli , on sen -lineaaristen automorfismien ryhmä ja on ryhmien homomorfismi , käännetään vasemmalle -moduulille seuraavasti: $G$ $k$ $kg$ $k$ $G$ $kg$ $\rho \colon G\to \mathbf {GL} (V)$ $V$ $k$ $\mathbf {GL} (V)$ $k$ $\rho$ $V$ $kg$

\left(\sum _{g\in G}a_{g}g\right)v=\sum _{g\in G}a_{g}\rho (g)(v)

mille tahansa elementille . Päinvastoin, jos vasen -moduuli on annettu , niin on -vektoriavaruus, ja kertominen ryhmäelementillä johtaa moduulin -lineaariseen automorfismiin (koska olemme käännettävissä ), joka kuvaa ryhmähomomorfismia . $v$ $V$ $\sum a_{g},g\in kG$ $kg$ $M$ $M$ $k$ $g$ $G$ $k$ $M$ $g$ $kg$ $G\to \mathbf {GL} (M)$

Mitä tahansa rengasta voidaan pitää esilisäyskategoriana , jossa on yksi esine. Kaikkien tästä kategoriasta Abelin ryhmien luokkaan kuuluvien additiivisten funktionaalisten funktioiden luokka on isomorfinen renkaan yläpuolella olevien vasen moduulien luokan kanssa.

Kategorian automorfismi syntyy Boolen algebroiden teoriassa: Boolen algebroiden luokka on isomorfinen Boolen renkaiden luokan kanssa . Annettu Boolen algebra käännetään Boolen renkaaksi käyttämällä symmetristä eroa yhteenlaskuna ja loogista kertolaskua kertolaskuna. Päinvastoin, jos Boolen rengas on annettu , voimme määritellä liitosoperaation muodossa ja leikkausoperaation kertolaskuksi. Molemmat määritelmät voidaan laajentaa morfismeihin funktoreiden saamiseksi, ja nämä funktorit ovat keskenään käänteisiä. $B$ $\maa$ $R$ $a\lor b=a+b+ab$

Jos on luokka, jonka alkuobjekti on , niin "yläpuolella" ( ) olevien objektien luokka on isomorfinen . Kaksinkertaisesti , jos on terminaaliobjekti , funktionaaliluokka ( ) on isomorfinen . $C$ $s$ $s{\downarrow }C$ $C$ $t$ $C$ $C{\downarrow }t$ $C$

Muistiinpanot

↑ 1 2 McLane, 2004 , s. 25.

Kirjallisuus

McLane S. Luku 1. Kategoriat, funktionaaliset ja luonnolliset muunnokset // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .