Casimir invariantti

Casimir-invariantti ( Casimir- operaattori ) on Lie-algebran yleisen vaippaalgebran keskipisteen merkittävä elementti . Nimetty hollantilaisen fyysikon Hendrik Casimirin mukaan . Esimerkki on kulmamomenttioperaattorin neliö , joka on kolmiulotteisen rotaatioryhmän Casimir-invariantti . Poincare-ryhmän Casimir-operaattoreilla on syvä fysikaalinen merkitys, koska niitä käytetään alkuainehiukkasten massan ja spinin käsitteiden määrittelemiseen [1] .

Määritelmä

Oletetaan, että se on -ulotteinen puoliyksinkertaisen Lie- algebra . Antaa olla mikä tahansa perusta , ja olla dual perusteella, joka on rakennettu kiinteästä invariantista bilineaarisesta muodosta (esimerkiksi Killing-muodosta ) on . Casimir-elementti on universaalin vaipanalgebran elementti , joka määritellään kaavalla $\mathfrak{g}$ $n$ ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ ${\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n))$ $\mathfrak{g}$ $\Omega$

\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.

Vaikka Casimir-elementin määritelmä viittaa tiettyyn perustan valintaan Lie-algebrassa, on helppo osoittaa, että tuloksena oleva elementti ei riipu tästä valinnasta. Lisäksi määritelmässä käytetyn bilineaarisen muodon muuttumattomuus merkitsee sitä, että Casimir-elementti kommutoidaan kaikkien algebran elementtien kanssa ja on siksi universaalin vaippaalgebran keskellä. $\Omega$ $\mathfrak{g}$ $U({\mathfrak {g}}).$

Kaikilla algebran esityksillä vektoriavaruudessa V , mahdollisesti äärettömässä ulotteisessa, on vastaava Casimir-invariantti , lineaarinen operaattori V : llä , jonka antaa $\rho$ $\mathfrak{g}$ $\rho (\Omega )$

\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).

Tämän rakenteen erikoistapauksella on tärkeä rooli differentiaaligeometriassa ja yleisanalyysissä . Jos yhdistetty Lie- ryhmä G Lie-algebralla vaikuttaa differentioituvaan monistoon M , niin elementit esitetään ensimmäisen kertaluvun differentiaalioperaattoreilla M :llä . Esitys vaikuttaa M :n tasaisten funktioiden avaruuteen . Tällaisessa tilanteessa Casimir-invariantti on G -invariantti toisen kertaluvun differentiaalioperaattori M :llä, joka on määritelty yllä olevalla kaavalla. Se (sopimuksesta riippuen, merkkiin asti) osuu yhteen Laplace-Beltrami-operaattorin kanssa Lie-ryhmän G taustalla olevan monistimen kanssa suhteessa Cartan-Killing-metriikkaan . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $\rho$

Myös yleisempiä Casimir-invariantteja voidaan määritellä. Niitä tavataan yleisesti pseudo-differentiaalioperaattoreiden ja Fredholmin teorian tutkimuksessa .

Ominaisuudet

Casimir-operaattori on Lie-algebran yleisen vaippaalgebran keskipisteen merkittävä elementti . Toisin sanoen, se on kaikkien differentiaalioperaattoreiden algebran jäsen, joka liikennöi kaikkien Lie-algebran generaattoreiden kanssa.

Universaalin verhoilualgebran keskustan riippumattomien elementtien lukumäärä on myös puoliyksinkertaisen Lie-algebran arvo . Casimir-operaattori antaa käsitteen Laplacian yleisistä puoliyksinkertaisista Lie-ryhmistä ; mutta tällainen polku osoittaa, että laplalaisen analogeja voi olla enemmän kuin yksi, arvolle >1.

Missä tahansa lie-algebran pelkistymättömässä esityksessä Schurin lemman mukaan mikä tahansa universaalin vaipanalgebran keskustan jäsen liikkuu kaiken kanssa ja on siten verrannollinen identiteettiin. Tätä suhteellisuustekijää voidaan käyttää Lie-algebran (ja siten myös sen Lie-ryhmän ) esitysten luokitteluun. Fyysinen massa ja spin ovat esimerkkejä tällaisista kertoimista, samoin kuin monet muut kvanttimekaniikassa käytetyt kvanttiluvut . Pinnallisesti topologiset kvanttiluvut edustavat poikkeusta tähän malliin; vaikka syvemmät teoriat viittaavat siihen, että nämä ovat saman ilmiön kaksi puolta.

Esimerkki: so(3)

Lie-algebra vastaa SO (3), 3-ulotteisen euklidisen avaruuden rotaatioryhmää . Se on ykkösluokan alkuluku, ja siten sillä on ainoa itsenäinen Casimir-invariantti. Kiertoryhmän Killing-muoto on vain Kronecker-symboli ja Casimir-invariantti on yksinkertaisesti tietyn algebran generaattoreiden neliöiden summa . Toisin sanoen Casimir-invariantti saadaan kaavalla ${\mathfrak {niin}}(3)$ ${\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z))$

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.

Pelkistymättömässä esityksessä Casimir-operaattorin invarianssi merkitsee sen moninkertaisuutta algebran identiteettielementille e , joten

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.

Kvanttimekaniikassa skalaariarvo viittaa kokonaiskulmaliikemäärään . Pyörimisryhmän äärellisulotteisissa matriisiarvoisissa esityksissä on aina kokonaisluku ( bosonisille esityksille ) tai puolikokonaisluku ( fermionisille esityksille ). $\ell$ $\ell$

Tietylle luvulle matriisiesitys on -ulotteinen. Joten esimerkiksi 3-ulotteinen esitys (3) vastaa ja on generaattorien antama $\ell$ ${\näyttötyyli (2\ell +1)}$ $\ell =1$

L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix)),L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0 \end{pmatrix}},L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.

Sitten Casimirin invariantti:

L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}},

alkaen klo . Samalla tavalla 2-ulotteisella esityksellä on Pauli-matriisien antama perusta , joka vastaa spin 1/2. $\ell (\ell +1)=2$ $\ell =1$

Katso myös

Harish-Chandra homomorfismi

Muistiinpanot

↑ Rumer, 2010 , s. 134.

Linkit

Humphreys, James E. Johdatus valhealgebroihin ja esitysteoriaan . — Toinen painos, tarkistettu. Graduate Texts in Mathematics, 9. - New York: Springer-Verlag, 1978. - ISBN 5-9221-0055-6 .

Kirjallisuus

Yu. B. Rumer , AI Fet Ryhmien ja kvantisoitujen kenttien teoria. - M .: Librokom, 2010. - 248 s. - ISBN 978-5-397-01392-5 .