Integrointi osien mukaan

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13. huhtikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Integrointi osien mukaan on yksi tapa löytää integraali . Menetelmän ydin on seuraava: jos integrandi voidaan esittää kahden jatkuvan ja tasaisen funktion tulona (joista kumpikin voi olla sekä alkeisfunktio että koostumus ), niin seuraavat yhtälöt ovat tosia

määrittelemättömälle integraalille

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

tai toisessa merkinnässä

\int u\,v'dx=u\,v-\int v\,u'dx

määrätylle integraalille

\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v \,du

Oletetaan, että integraalin löytäminen on helpompaa kuin . Muuten menetelmän soveltaminen ei ole perusteltua. $\int v\,du$ $\int u\,dv$

Haetaan kaavoja

Epämääräiselle integraalille

Toimii ja ovat sileitä , joten erottelu on mahdollista : $\textstyle {\mathit {u}}$ $\textstyle {\mathit {v}}$

d(u\,v)=v\,du+u\,dv

Nämä funktiot ovat myös jatkuvia, joten voit ottaa yhtälön molempien puolten integraalin:

\int d(u\,v)=\int v\,du+\int u\,dv

Integraation toiminta on erilaistumisen käänteinen :

u\,v=\int v\,du+\int u\,dv

Muutosten jälkeen:

\int u\,dv=u\,v-\int v\,du

Ei kuitenkaan pidä unohtaa, että tätä yhtäläisyyttä tarkoitetaan joukkojen tasa-arvon merkityksessä, eli karkeasti sanottuna integroinnin aikana esiintyvään vakioon asti .

Tyypillinen virhe "menettää" vakio käsiteltäessä määrittelemätöntä integraalia havainnollistetaan seuraavalla hienostuneella esimerkillä :

\int {\frac {dx}{x}}={\frac {1}{x}}\cdot x-\int {\frac {-1}{x^{2}}}\cdot xdx=1+ \int {\frac {dx}{x}}

Tästä johtuu "seuraus": , joka on ilmeisen väärä. $0=1$

Tarkkaa integraalia varten

Yleensä se on samanlainen kuin määrittelemättömän integraalin tapaus:

d(u\,v)=v\,du+u\,dv

\int \limits _{a}^{b}d(u\,v)=\int \limits _{a}^{b}v\,du+\int \limits _{a}^{b}u\ ,dv

\int \limits _{a}^{b}u\,dv=u\,v\,{\bigg |}_{a}^{b}-\int \limits _{a}^{b}v \,du

Nämä kaavat ovat voimassa, jos kukin funktioista on jatkuvasti differentioitavissa integrointialueella. $u$ $v$

Taulukkointegrointi osittain

Yllä olevan kaavan pääprosessi voidaan tiivistää taulukkoon.

Harkitse esimerkiksi integraalia

\int x^{3}\cos x\,dx\quad

ja ota

\quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.

Aloitamme funktion ja sen johdannaisten listaamisen sarakkeeseen D , kunnes saadaan 0. Tämän jälkeen luetellaan funktio ja sen myöhemmät antideriivataatit sarakkeeseen I , kunnes sarakkeen I koko on sama kuin sarakkeessa D . Tulos näyttää tältä: ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3))$ ${\displaystyle u^{(i)))$ $v^{(n)}=\cos x$ $v^{(ni)}$

#i _	Merkki	D: johdannaiset u ( i )	I: integraalit v ( n − i )
0	+	$x^{3}$	$\cos x$
yksi	−	$3x^{2}$	$\sin x$
2	+	$6x$	$-\cos x$
3	−	$6$	$-\sin x$
neljä	+	$0$	$\cos x$

Sarakkeiden D ja I rivin i arvojen tulo yhdessä niitä vastaavan etumerkin kanssa antaa vastaavat integraalit vaiheessa i toistuvien osien integroinnin vaiheiden aikana. Vaihe i = 0 kuljettaa alkuperäisen integraalin. jotta täydellinen tulos vaiheessa i > 0, i -s integraali on lisättävä sarakkeen D j : nnen arvon edellisiin tuloihin ( 0 ≤ j < i ) ja sarakkeen I arvon ( j + 1) -: nneen arvon . (eli kerro sarakkeen D 1. arvo sarakkeen I 2. arvoon, sarakkeen D 2. arvo sarakkeen I 3. arvoon jne...) unohtamatta j -merkkiä. Prosessi päättyy, kun integraalin sisältävä tulo saa arvon 0 ( esimerkissämme i = 4 ). Lopputulos on seuraava: (sisältäen eri merkit kussakin segmentissä):

\aliviiva {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\alijaviiva {(-1)(3x^{2})(-\cos x) } _{j=1}+\aliviiva {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\aliviiva {(-1)(6)(\cos x)} _{ j=3}+\aliviiva {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.

Lopulta:

\underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\ sin x-6\cos x+C.

Esimerkkejä

$\int x\cos x\,dx=\int x\,d(\sin x)=x\sin x-\int \sin x\,dx=x\sin x+\cos x+C$
$\int e^{x}\,x\,dx=\int x\,d(e^{x}\,)=x\,e^{x}-\int e^{x}\ ,dx=x\,e^{x}-e^{x}+C$
Joskus tätä menetelmää käytetään useammin kuin kerran:

\int x^{2}\sin x\,dx=\int x^{2}\,d(-\cos x)=-x^{2}\cos x-\int -2x\cos x\, dx=

=-x^{2}\cos x+\int 2x\,d(\sin x)=-x^{2}\cos x+2x\sin x-\int 2\sin x\,dx=-x^ {2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C

Tätä menetelmää käytetään myös perusfunktioiden integraalien etsimiseen :

\int \ln x\,dx=x\ln x-\int {\frac {1}{x}}x\,dx=x\ln x-x+C

\int \operaattorinnimi {arctg}\,x\,dx=x\,\operaattorinnimi {arctg}\,x-\int {\frac {x}{1+x^{2))}\,dx=x\ ,\operaattorin nimi {arctg}\,x-{\frac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C

Joissakin tapauksissa integrointi osien mukaan ei anna suoraa vastausta:

I_{1}=\int e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}\,dx=

=\int e^{{\alpha x}}\,d{\Big (}-{\frac {1}{\beta }}\cos {\beta x}{\Big )}=-{\frac { 1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^{{\alpha x} }\,\cos {\beta x}\,dx=-{\frac {1}{\beta }}\,e^({\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}

I_{2}=\int e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}\,dx=

=\int e^{{\alpha x}}\,d{\Big (}{\frac {1}{\beta }}\sin {\beta x}{\Big )}={\frac {1} {\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\int e^({\alpha x}}\ ,\sin {\beta x}\,dx={\frac {1}{\beta }}\,e^({\alpha x}}\,\sin {\beta x}-{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}

Siten yksi integraali ilmaistaan toisella:

{\begin{cases}I_{1}=-{\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\cos {\beta x}+{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{2}\\I_{2}={\frac {1}{\beta }}\,e^{{\alpha x}}\,\sin {\beta x} -{\frac {\alpha }{\beta }}\,I_{1}\end{cases}}

Ratkaisemalla tuloksena olevan järjestelmän saamme:

I_{1}={\frac {e^{{\alpha x}}}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\Big (}\alpha \sin {\beta x}- \beta \cos {\beta x}{\Big )}+C

I_{2}={\frac {e^{{\alpha x))}{\alpha ^{2}+\beta ^{2))}{\Big (}\alpha \cos {\beta x}+ \beta \sin {\beta x}{\Big )}+C

Moniulotteinen tapaus

Useiden muuttujien funktioille on olemassa yleistys osien integrointikaavasta. Tässä tapauksessa välin sijasta tarkastellaan osajoukkoa ja derivaatan sijasta osittaista derivaatta . $\mathbb {R} ^{n}$

Antaa olla avoin rajattu osajoukko paloittain tasaisella rajalla . Jos ja ovat sileitä toimintojasulkeminen , sitten $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\osittainen \Omega$ $u$ $v$ $\Omega$

\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial x_{i))}v\,dx=\int _({\partial \Omega ))uvn_{i}\,d\sigma - \int _{\Omega }u{\frac {\partial v}{\partial x_{i))}\,dx

jossa on ulompi normaali , ja sen i-koordinaatti, i 1: stä n: iin, on toimenpide . ${\vec {n}}$ $\osittainen \Omega$ $n_{i}$ $\sigma$ $\osittainen \Omega$

Katso myös

Integraali
Riemannin integraali
Legendan muunnos
Integrointimenetelmät
Diskreetti Abel-muunnos on summien osien integroinnin analogi.

Kirjallisuus

Maslov A.P., Belous E.A. Aihe 5.2 // Matematiikka insinööreille (2. vuosi) .
Timofeev AF Toimintojen integrointi. - M.-Len.: OGIZ , Gostekhizdat , 1948. - S. 37-42.

Katso myös Calculus#Bibliography .

Linkit

Matematiikka kirjeenvaihto-opiskelijoille eikä vain . Haettu 11. toukokuuta 2011. (määrätön)
SZTU-kanava osoitteessa youtube.com . Haettu 11. toukokuuta 2011. (määrätön)

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)