Varma integraali

Määrätty integraali on yksi matemaattisen analyysin peruskäsitteistä , yksi integraalityypeistä . Määrätty integraali on luku, joka on yhtä suuri kuin erikoismuodon summien raja ( integraalisummat ) . Geometrisesti määritelty integraali ilmaisee funktion kuvaajan rajoittaman " käyräviivaisen puolisuunnikkaan " alueen . [1] Funktionaalisen analyysin kannalta määrätty integraali on additiivinen monotoninen funktionaali , joka on määritelty parijoukolle, jonka ensimmäinen komponentti on integroitava funktio tai funktionaalinen , ja toinen on alue tämän toiminnon määritysjoukossa (funktionaalinen) [2] .

Määritelmä

Olkoon funktio määritelty segmentillä . Jaetaan se osiin useilla mielivaltaisilla pisteillä: . Sitten sanomme, että segmentti on osioitu , ja jokaiselle välillä - valitsemme mielivaltaisen pisteen . $f(x)$ $[a;b]$ $[a;b]$ $a=x_{{0}}<x_{{1}}<x_{{2}}<\ldots <x_{{n}}=b$ $R$ $[a;b].$ $i$ $0$ $n-1$ $\xi _{{i}}\in [x_{{i}};x_{{i+1}}]$

Segmentinfunktion määrätty integraali on integraalisummien raja, koska osiojärjestys pyrkii nollaan, jos se on olemassa osiostaja pisteiden valinnasta, eli $f(x)$ $[a;b]$ $\lambda _{{R}}\rightarrow 0$ $R$ $\xi _{{i}}$

\int \limits _{{a}}^{{b}}f(x)dx=\lim \limits _{{\Delta x\rightarrow 0}}\sum \limits _{{i=0}}^ {{n-1}}f(\xi _{{i}})\Delta x_{{i}}

Jos määritetty raja on olemassa, funktion sanotaan olevan Riemannin integroitavissa . $f(x)$ $[a;b]$

Merkintä

$a$ - alaraja.
$b$ - yläraja.
$f(x)$ on integrandi.
${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i))$ on osittaisen segmentin pituus.
$\lambda _{{R}}=\up {\Delta x_{i}}$ on osion sijoitus, osittaisosien pituuksien maksimi.

Geometrinen tunne

Ei-negatiivisen funktion määrätty integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin x-akselin, suorien viivojen ja funktiokaavion rajoittaman kuvan pinta-ala . [yksi] $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ $x=a$ $x=b$ $f(x)$

Ominaisuudet

Jos ja ovat integroitavissa funktion väliin, niin niiden lineaarinen yhdistelmä on myös integroitavissa funktioon ja $f$ $g$ $[a,b]$ $\alpha f+\beta g$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)dx+\beta \ int \limits _{a}^{b}g(x)dx.$
Jos on funktio integroitavissa intervalliin , niin $f$ $[a,b]$ $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=-\int \limits _{b}^{a}f(x)dx.$
Jos funktio on integroitavissa pisteen ympäristöön , niin meillä on [3] $f$ $a$ $\int \limits _{a}^{a}f(x)dx=0.$
Jos funktio on Riemannin integroitavissa kohdassa , niin se on siihen rajoitettu . $f(x)$ $[a;b]$

Laskentaesimerkkejä

Seuraavassa on esimerkkejä määrällisten integraalien laskemisesta käyttäen Newton-Leibnizin kaavaa .

$\int \limits _{8}^{9}x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}{\Big |}_{8}^{9 }={\frac {729}{3}}-{\frac {512}{3}}={\frac {217}{3}}=72{,}(3)\noin 72{,}3$
$\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}=\ln x{\Big |}_{1}^{b}=\ln b$
$\int \limits _{1}^{4}{\frac {2dx}{x}}=2\ln x{\Big |}_{1}^{4}\noin 2{,}8$

Muistiinpanot

↑ 1 2 Definite integraali // Great Soviet Encyclopedia : [30 osassa] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Suuri venäläinen tietosanakirja : [35 nidettä] / ch. toim. Yu. S. Osipov . - M . : Suuri venäläinen tietosanakirja, 2004-2017.
↑ Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. Toim. 10., rev. . — M. : MTsNMO, 2019. — S. 321-323. — 564 s. - ISBN 978-5-4439-4029-8 , 978-5-4439-4030-4. Arkistoitu 16. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	NKC : ph126953

Integraalilaskenta

Main

Riemannin integraalin yleistykset

Integraalit
muunnokset

Numeerinen
integrointi

mittateoria

liittyvät aiheet

Listat integraaleista