KKS- ja KAS-algebrat

KKS-algebroita (perustuu kanonisiin kommutaatiosuhteisiin ) ja KAS-algebroita ( perustuu kanonisiin antikommutaatiosuhteisiin) käytetään kvanttimekaniikan , kvanttitilastomekaniikan ja kvanttikenttäteorian matemaattisessa laitteessa kuvaamaan tilastoja ja kaikkien alkeishiukkasten havaittavia ominaisuuksia. ] bosonit ja fermionit , vastaavasti. [2] .

KKS-algebrat ja KAS-algebrat *-algebroina

Olkoon todellinen vektoriavaruus , joka on varustettu ei- degeneroituneella todellisella antisymmetrisellä bilineaarisella muodolla ( eli symplektisellä vektoriavaruudella ). unitaalinen *-algebra , jonka muodostavat elementit , joissa suhteet pätevät $V$ $(\cdot ,\cdot )$ $V$

fg-gf=i(f,g)

f^{*}=f

mitä tahansa in kutsutaan kanonisten kommutaatiorelaatioiden algebraksi (KKS-algebra) . $f,g$ $V$

Jos päinvastoin alkioiden generoima unitaali *-algebra on varustettu ei- degeneroituneella reaalisymmetrisellä bilineaarimuodolla , jossa suhteet $V$ $(\cdot ,\cdot )$ $V$

fg+gf=(f,g)

f^{*}=f

sillä all in kutsutaan kanonisten antikommutaatiorelaatioiden algebraksi (CAS-algebra) . $f, g$ $V$

CKS C*-algebra

On olemassa erillinen, mutta läheistä sukua oleva KKS-algebra, nimeltään KKS C*-algebra. Antaa olla todellinen symplektinen vektoriavaruus, jolla on ei-yksikkösymplektinen muoto . Operaattorialgebroiden teoriassa KKS-algebra over on unitaali C*-algebra , jonka muodostavat elementit , joilla on ominaisuudet $H$ $(\cdot ,\cdot )$ $H$ ${\displaystyle \{W(f):f\in H\))$

W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)

W(f)^{*}=W(-f)

Niitä kutsutaan kanonisten kommutaatiorelaatioiden Weyl-muodoksi ja erityisesti ne viittaavat siihen, että jokainen elementti on unitaarinen ja . On hyvin tunnettua, että KKS-algebra on yksinkertainen ei-erottava algebra ja ainutlaatuinen isomorfismiin asti. [3] $W(f)$ $W(0)=1$

Kun on Hilbert-avaruus , ja se annetaan sisätulon imaginaarisella osalla, KKS-algebra esitetään luotettavasti symmetrisessä Fock-avaruudessa yli käyttämällä suhdetta: $H$ $(\cdot, \cdot)$ $H$

W(f)\left(1,g,{\frac {g^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {g^{\otimes 3}}{3!}}, \ldots \right)=e^{-{\frac {1}{2}}||f||^{2}-\langle f,g\rangle }\left(1,f+g,{\frac {(f+g)^{\otimes 2}}{2!}},{\frac {(f+g)^{\otimes 3}}{3!}}),\ldots \right)

mille tahansa . Kenttäoperaattorit määritellään kullekin yhden parametrin unitaariryhmän generaattoreiksi symmetrisessä Fock-avaruudessa. Ne ovat itseliittyviä unbounded -operaattoreita , mutta muodollisesti ne kuitenkin täyttävät suhteen $f,g\in H$ $B(f)$ $f\in H$ $(W(tf))_{t\in \mathbb {R} }$

B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm {Im} \langle f,g\rangle

Koska relaatio on reaalilineaarinen, operaattorit määrittelevät KKS-algebran luvun 1 merkityksessä . $f\mapsto B(f)$ $B(f)$ $(H,2\mathrm {Im} \langle \cdot ,\cdot \rangle )$

CAS C*-algebra

Olkoon Hilbert-avaruus. Operaattorialgebroiden teoriassa CAS-algebra on elementtien generoiman kompleksisen unitaalisen *-algebran ainutlaatuinen C*-täydennys , kun otetaan huomioon suhteet. $H$ ${\näyttötyyli \{b(f),b^{*}(f):f\in H\}}$

b(f)b^{*}(g)+b^{*}(g)b(f)=\langle f,g\rangle ,\,

{\näyttötyyli b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,\,}

\lambda b^{*}(f)=b^{*}(\lambda f),\,

b(f)^{*}=b^{*}(f),\,

kaikille ,. _ Erotettavissa oleva CAS-algebra on likimäärin äärellisulotteinen C*-algebra , ja erityisessä äärettömän ulottuvuuden tapauksessa se kirjoitetaan usein muodossa . [neljä] $f,g\in H$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $H$ $H$ ${\displaystyle {M_{2^{\infty }}(\mathbb {C} )))$

Olkoon antisymmetrinen Fock-avaruus yli ja olkoon ortogonaalinen projektio antisymmetrisille vektoreille: $F_{a}(H)$ $H$ $P_a$

P_{a}:\bigoplus _{n=0}^{\infty }H^{\otimes n}\to F_{a}(H).\,

CAS-algebra on täsmälleen edustettuna relaatiolla $F_{a}(H)$

b^{*}(f)P_{a}(g_{1}\otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})=P_{a}(f\otimes g_{1} \otimes g_{2}\otimes \cdots \otimes g_{n})\,

kaikille ja . Se, että ne muodostavat C*-algebran, selittyy sillä, että luomis- ja annihilaatiooperaattorit antisymmetrisessä Fock-avaruudessa ovat rajoitettuja operaattoreita . Lisäksi kenttäoperaattorit tyydyttävät suhteen $f,g_{1},\ldots ,g_{n}\in H$ $n\in \mathbb {N}$ ${\näyttötyyli B(f):=b^{*}(f)+b(f)}$

B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm {Re} \langle f,g\rangle ,\,

antaa linkin lukuun 1 .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Segal I. Relativistisen fysiikan matemaattiset ongelmat. - M., Mir, 1968. - s. 51-52
↑ Bratteli, Ola. Operaattorialgebrat ja kvanttitilastollinen mekaniikka: v.2 / Ola Bratteli, Derek W. Robinson. - Springer, 2. painos, 1997. - ISBN 978-3-540-61443-2 .
↑ Petz, Denes. Kutsu kanonisten kommutaatiorelaatioiden algebraan . - Leuven University Press, 1990. - ISBN 978-90-6186-360-1 . Arkistoitu 15. elokuuta 2019 Wayback Machinessa
↑ Evans, David E. Kvanttisymmetriat operaattorialgebroissa / David E. Evans, Yasuyuki Kawahigashi . - Oxford University Press, 1998. - ISBN 978-0-19-851175-5 .