Toisen asteen yhtälö

Neliöyhtälö on toisen asteen algebrallinen yhtälö, jolla on yleinen muoto

ax^{2}+bx+c=0,\;a\neq 0,

missä on tuntematon, ja kertoimet , ja ovat todellisia tai kompleksilukuja . $x$ $a$ $b$ $c$

Yhtälön juuri on sen muuttujan arvo,joka muuttaa neliötrinomin nollaksi ja toisen asteen yhtälön oikeaan numeeriseen yhtälöön. Tätä arvoa kutsutaan myös itse polynomin juureksi . $ax^{2}+bx+c=0$ $x$ $ax^{2}+bx+c.$

Toisen yhtälön elementeillä on omat nimensä [1] :

$a$ kutsutaan ensimmäiseksi eli johtavaksi kertoimeksi,
$b$ kutsutaan toiseksi keskimääräiseksi kertoimeksi tai kertoimeksi $x$ ,
$c$ kutsutaan vapaajäseneksi .

Kutsutaan pelkistetty toisen asteen yhtälö, jonka johtava kerroin on yhtä suuri [1] . Tällainen yhtälö voidaan saada jakamalla koko lauseke johtavalla kertoimella: $a$

x^{2}+px+q=0,\quad p={\frac {b}{a)),\quad q={\frac {c}{a)).

Toisen yhtälön sanotaan olevan täydellinen, jos kaikki sen kertoimet ovat nollasta poikkeavia.

Tällaista toisen asteen yhtälöä kutsutaan epätäydelliseksi , jos vähintään yksi kertoimista korkeinta lukuun ottamatta (joko toinen kerroin tai vapaa termi) on nolla.

Neliöyhtälö on ratkaistavissa radikaaleilla eli sen juuret voidaan ilmaista kertoimilla yleisellä tavalla.

Historiallista tietoa toisen asteen yhtälöistä

Muinainen Babylon

Jo toisella vuosituhannella eKr. babylonialaiset osasivat ratkaista toisen asteen yhtälöitä [1] . Heidän ratkaisunsa muinaisessa Babylonissa liittyi läheisesti käytännön tehtäviin, pääasiassa kuten maapalstojen pinta-alan mittaamiseen, sotilaallisiin tarpeisiin liittyviin maatöihin; tämän tiedon olemassaolo johtuu myös matematiikan ja tähtitieteen kehittymisestä yleensä. Menetelmät sekä täydellisten että epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi tunnettiin. Tässä on esimerkkejä toisen asteen yhtälöistä, jotka on ratkaistu muinaisessa Babylonissa käyttämällä nykyaikaista algebrallista merkintää:

x^{2}+x={\frac {3}{4}};\ x^{2}-x=14{\frac {1}{2}}.

Säännöt toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi ovat monella tapaa samankaltaisia kuin nykyajan, mutta perusteluja, joilla nämä säännöt saatiin, ei ole tallennettu babylonialaisiin teksteihin.

Intia

Neliöyhtälöiden avulla ratkaistuja ongelmia löytyy tähtitieteen tutkielmasta "Aryabhattiam", jonka intialainen tähtitieteilijä ja matemaatikko Aryabhata kirjoitti vuonna 499 jKr. Yksi ensimmäisistä tunnetuista toisen asteen yhtälön juurten kaavan johdoista kuuluu intialaiselle tiedemiehelle Brahmaguptalle (noin 598) [1] ; Brahmagupta hahmotteli yleisen säännön kanoniseen muotoon pelkistetyn toisen asteen yhtälön ratkaisemiseksi: lisäksi oletettiin, että kaikki kertoimet siinä paitsi voivat olla negatiivisia. Tiedemiehen muotoilema sääntö on olennaisesti yhteensopiva nykyajan kanssa. $ax^{2}+bx=c;$ $a,$

Toisen yhtälön juuret reaalilukujen joukossa

Minä tapa. Yleinen kaava juurien laskemiseen käyttämällä erotinta

Neliöyhtälön diskriminantti on määrä . $ax^{2}+bx+c=0$ $D=b^{2}-4ac$

Kunto	$D>0$	$D = 0$	$D<0$
Juurien lukumäärä	kaksi juuria	Yksi moninkertaisuuden 2 juuri (toisin sanoen kaksi yhtä suurta juuria)	Ei oikeita juuria
Kaava	$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$ (yksi)	$x=-{\frac {b}{2a))$	—

Kaavan johtaminen

Kaava (1) voidaan saada seuraavasti:

ax^{2}+bx+c=0

ax^{2}+bx=-c

Kerro jokainen osa ja lisää :

4a

b^{2}

4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}=-4ac+b^{2}

(2ax+b)^{2}=-4ac+b^{2}

2ax+b=\pm {\sqrt {-4ac+b^{2}}}

2ax=-b\pm {\sqrt {-4ac+b^{2))}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.

Tapauskaava on kaavan (1) erikoistapaus: $D = 0$

x={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {0}}}{2a}}=-{\ frac {b}{2a}}.

Tässä tapauksessa todellisten juurien puuttuminen seuraa myös kaavasta (1), koska negatiivisen luvun neliöjuuri ei kuulu reaalilukujen joukkoon. $D<0$

Tämä menetelmä on yleinen, mutta ei ainoa.

II tapa. Parillisella kertoimella b olevan toisen asteen yhtälön juuret

For yhtälöt , eli parillinen , missä $ax^{2}+2kx+c=0$ $b$

k={\frac {1}{2}}b,

kaavan (1) sijasta juurien löytämiseksi on mahdollista käyttää yksinkertaisempia lausekkeita [1] .

Huomaa: alla annetut kaavat voidaan saada korvaamalla lauseke b = 2 k vakiokaavoilla yksinkertaisilla muunnoksilla.

Syrjivä		Juuret
vähentämätön	vähennetty	D > 0	vähentämätön	vähennetty
helpompi laskea neljäsosaa syrjinnästä: ${\frac {D}{4}}=k^{2}-ac$ Kaikki tarvittavat ominaisuudet säilyvät.	${\frac {D}{4}}=k^{2}-c$ .		$x_{1,2}={\frac {-k\pm {\sqrt {k^{2}-ac}}}{a}}.$	$x_{1,2}=-k\pm {\sqrt {k^{2}-c))$
		D = 0	$x={\frac {-k}{a}}$	$x=-k$

III tapa. Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisussa harjoitellaan erityistä lähestymistapaa. Kolme mahdollista tilannetta tarkastellaan.

b = 0c = 0

b = 0; c≠0

b≠0; c = 0

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}&=0,\\x^{2}&=0,\\x&=0.\end{alignedat))

(muunnosprosessi on kuvattu erityisesti yksityiskohtaisesti; käytännössä voit siirtyä välittömästi viimeiseen yhtälöön)

{\begin{aligned}ax^{2}+c&=0,\\ax^{2}&=-c,\\x^{2}&=-{\frac {c}{a} },\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {-{\frac {c}{a)))).\end{tasattu))

Jos , niin yhtälöllä on kaksi reaalijuurta ja jos , niin yhtälöllä ei ole todellisia juuria .

-{\frac {c}{a}}>0

-{\frac {c}{a}}<0;

{\begin{aligned}ax^{2}+bx&=0,\\x(ax+b)&=0,\end{aligned))

$x=0$ tai $ax+b=0,$ $x_{1}=0,\quad x_{2}=-{\frac {b}{a)).$

Tällaisella yhtälöllä on oltava kaksi reaalijuurta .

IV tapa. Osittaiskerroinsuhteiden käyttö

On olemassa erityistapauksia toisen asteen yhtälöistä, joissa kertoimet ovat suhteessa toisiinsa, mikä tekee niiden ratkaisemisesta paljon helpompaa.

Neliöyhtälön juuret, jossa johtavan kertoimen ja vapaan termin summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin

Jos neliöyhtälössä ensimmäisen kertoimen ja vapaan termin summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin: , niin sen juuret ovat myös luku, joka on vastakkainen vapaan termin ja korkeimman kertoimen suhteen ( ). $ax^{2}+bx+c=0$ $a+c=b$ $-yksi$ $-{\frac {c}{a}}$

Todiste

Menetelmä 1. Selvitä ensin, onko tällaisella yhtälöllä todella kaksi juuria (mukaan lukien kaksi yhtäläistä):

D=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c^{2 }=(ac)^{2}

Kyllä, tämä on totta, koska kaikille kertoimien todellisille arvoille ja siten erottaja on ei-negatiivinen. Siten, jos , niin yhtälöllä on kaksi juuria, jos , niin sillä on vain yksi juuri. Etsi nämä juuret: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\not=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-(a+c)\pm {\sqrt {(ac)^{2 }}}}{2a}}={\frac {-ac\pm |ac|}{2a}}={\frac {-ac\pm a\mp c}{2a}}

x_{1}={\frac {-ac-a+c}{2a}}={\frac {-2a}{2a}}=-1;

x_{2}={\frac {-a-c+ac}{2a}}={\frac {-2c}{2a}}=-{\frac {c}{a}}.

Erityisesti, jos , niin juuri on yksi: $a=c$ $-yksi.$

Menetelmä 2.

Käytämme neliöyhtälön juurien geometrista mallia: katsomme niitä paraabelin ja abskissa-akselin leikkauspisteinä. Mikä tahansa paraabeli, riippumatta sen määrittelevästä lausekkeesta, on kuvio, joka on symmetrinen suoran suhteen . Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa siihen nähden kohtisuorassa olevan suoran segmentti, jonka paraabeli katkaisee, jaetaan symmetria-akselilla puoliksi. Yllä oleva pätee erityisesti x-akseliin. Siten mille tahansa paraabelille yksi seuraavista yhtälöistä on tosi: (jos ) tai (jos vastakkaisen merkityksen epäyhtälö on tosi). Käyttämällä moduulin geometrista merkitystä ilmaisevaa identiteettiä ja hyväksymällä myös sen (tämä voidaan todistaa korvaamalla yhtälö neliötrinomiin: , joten -1 on tällaisen yhtälön juuri) saadaan seuraava yhtälö: Jos otamme huomioon, että ero tapauksessa, kun lisäämme moduulin, se on aina positiivinen, ja kun vähennämme sen on negatiivinen, mikä osoittaa näiden tapausten identiteetin, ja lisäksi muistaen yhtäläisyyden , avaamme moduulin : . Toisessa tapauksessa, kun olemme tehneet samanlaisia muunnoksia, pääsemme samaan tulokseen jne. $y=ax^{2}+bx+c$ $x=-{\frac {b}{2a))$ $-{\frac {b}{2a}}+\rho (x_{1};-{\frac {b}{2a}})=x_{2}$ $x_{1}<x_{2}$ $-{\frac {b}{2a}}-\rho (-{\frac {b}{2a}};x_{1})=x_{2}$ $\rho (a;b)=|ab|$ $x_{1}=-1$ $a\cpiste (-1)^{2}+b\cpiste (-1)+c=(a+c)-b=0$ $-{\frac {b}{2a}}\pm |-{\frac {b}{2a}}-(-1)|=x_{2}.$ $ba=c$ $x_{2}=-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b}{2a}}+1=-{\frac {2b-2a}{2a}}=-{\frac {ba }{a}}=-{\frac {c}{a}}$

Tästä seuraa, että ennen minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemista on suositeltavaa tarkistaa mahdollisuus soveltaa tätä lausetta siihen: vertaa johtavan kertoimen ja vapaan termin summaa toiseen kertoimeen. Neliöyhtälön juuret, jonka kaikkien kertoimien summa on nolla

Jos toisen asteen yhtälössä sen kaikkien kertoimien summa on nolla ( ), niin tällaisen yhtälön juuret ovat myös vapaan termin suhde johtavaan kertoimeen ( ). $a+b+c=0$ $yksi$ ${\frac {c}{a))$

Todiste

Menetelmä 1. Ensinnäkin todetaan, että tasa-arvosta seuraa, että Asetetaan juurien lukumäärä: $a+b+c=0$ $b=-(a+c)$

D=b^{2}-4ac=(-(a+c))^{2}-4ac=a^{2}+2ac+c^{2}-4ac=a^{2}-2ac+c ^{2}=(ac)^{2}.

Kaikille kertoimien arvoille yhtälöllä on vähintään yksi juuri: todellakin kaikille kertoimien arvoille , joten erottaja on ei-negatiivinen. Huomaa, että jos , yhtälöllä on kaksi juuria, mutta jos , niin vain yksi. Etsi nämä juuret: $(ac)^{2}\geqslant 0$ $a\not=c$ $a=c$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {a+c\pm {\sqrt {(ac)^{2}}} }{2a}}={\frac {a+c\pm |ac|}{2a}}={\frac {a+c\pm a\mp c}{2a}};

x_{1}={\frac {a+c+ac}{2a}}={\frac {2a}{2a}}=1;

x_{2}={\frac {a+c-a+c}{2a}}={\frac {2c}{2a}}={\frac {c}{a}},

Q.E.D.

Erityisesti jos , yhtälöllä on vain yksi juuri, joka on numero .

a=c

yksi

Menetelmä 2. Käyttämällä edellä olevaa toisen asteen yhtälön juuren määritelmää, huomaamme korvaamalla, että luku 1 on sellainen tarkasteltavassa tapauksessa: - oikea yhtälö, joten yksikkö on tämän tyyppisten toisen asteen yhtälöiden juuri. Lisäksi Vieta-lauseen mukaan löydämme toisen juuren: tämän lauseen mukaan yhtälön juurien tulo on yhtä suuri kuin luku, joka on yhtä suuri kuin vapaan termin suhde johtavaan kertoimeen - jne. $a\cdot 1^{2}+b\cdot 1+c=0$ $x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}\Rightarrow x_{2}={\frac {c}{ax_{1}}}={\frac {c}{a\cdot 1}}={\frac {c}{a}}$

Tästä seuraa, että ennen yhtälön ratkaisemista standardimenetelmillä, on suositeltavaa tarkistaa tämän lauseen soveltuvuus siihen, eli laskea yhteen kaikki annetun yhtälön kertoimet ja selvittää, onko tämä summa nolla.

V tapa. Neliötrinomin hajottaminen lineaarisiin tekijöihin

Jos muodon trinomi voidaan jotenkin esittää lineaaristen tekijöiden tulona , niin voit löytää yhtälön juuret - ne ovat ja todellakin, koska osoitettujen lineaariyhtälöiden ratkaisemisen jälkeen saamme yllä olevan. Neliötrinomi ei aina hajoa lineaarisiin tekijöihin, joilla on reaalikertoimet: tämä on mahdollista, jos sitä vastaavalla yhtälöllä on todelliset juuret. $ax^{2}+bx+c~(a\not =0)$ $(kx+m)(lx+n)=0$ $ax^{2}+bx+c=0$ $-{\frac {m}{k))$ $-{\frac {n}{l}}$ $(kx+m)(lx+n)=0\Longleftrightarrow {\biggl [}{\begin{array}{lcl}kx+m=0,\\lx+n=0,\end{array} }$

Joitakin erikoistapauksia harkitaan.

Summan (eron) neliön kaavan käyttäminen

Jos neliötrinomin muoto on , voit jakaa sen lineaarisiin tekijöihin soveltamalla siihen yllä olevaa kaavaa ja löytää siksi juuret: $(ax)^{2}+2abx+b^{2}$

{\näyttötyyli (ax)^{2}+2abx+b^{2}=(ax+b)^{2},}

{\näyttötyyli (ax+b)^{2}=0,}

x=-{\frac {b}{a}}.

Valinta summan (eron) täysneliöstä

Nimettyä kaavaa käytetään myös menetelmällä nimeltä "summan (eron) täyden neliön valinta". Suhteessa annettuun toisen asteen yhtälöön aiemmin esitellyllä merkinnällä tämä tarkoittaa seuraavaa:

lisää ja vähennä sama luku: .
$x^{2}+px+({\frac {p}{2}})^{2}-({\frac {p}{2}})^{2}+q=0;$
käytä kaavaa tuloksena olevaan lausekkeeseen, siirrä alaosa ja vapaa termi oikealle:
$(x^{2}+2{\frac {p}{2}}x+({\frac {p}{2}})^{2})+(-({\frac {p}{ 2}})^{2}+q)=0,$
$(x+{\frac {p}{2}})^{2}={\frac {p^{2}}{4}}-q;$
ota neliöjuuri yhtälön vasemmalta ja oikealta puolelta ja ilmaise muuttuja:
$x+{\frac {p}{2}}=\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q)),$
$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt ({\frac {p^{2}}{4}}-q}}).$

Huomaa: tämä kaava on yhteneväinen "Pennetyn toisen asteen yhtälön juuret" -osiossa ehdotetun kaavan kanssa, joka puolestaan voidaan saada yleisestä kaavasta (1) korvaamalla yhtälö a = 1 . Tämä tosiasia ei ole pelkkä sattuma: kuvatulla menetelmällä, kun on kuitenkin tehty joitakin lisäperusteluja, on mahdollista johtaa yleinen kaava sekä todistaa erottimen ominaisuudet.

VI tapa. Vietan suorien ja käänteisten lauseiden käyttäminen

Vietan suora lause (katso alla ) ja sen käänteislause antavat meille mahdollisuuden ratkaista annetut toisen asteen yhtälöt suullisesti turvautumatta laskelmiin kaavan (1) avulla.

Käänteisen lauseen mukaan mikä tahansa lukupari (luku) , joka on ratkaisu yhtälöjärjestelmään $x_{1},x_{2}$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-p,\\x_{1}x_{2}=q,\end{cases))

ovat yhtälön juuret .

x^{2}+px+q=0

Suora lause auttaa sinua valitsemaan sanallisesti numerot, jotka täyttävät nämä yhtälöt. Sen avulla voit määrittää juurien merkit tuntematta itse juuria. Voit tehdä tämän noudattamalla sääntöä:

1) jos vapaa termi on negatiivinen, niin juurilla on eri merkki, ja juurien suurin itseisarvo on yhtälön toisen kertoimen etumerkin vastainen merkki; 2) jos vapaa termi on positiivinen, niin molemmilla juurilla on sama etumerkki, ja tämä on toisen kertoimen päinvastainen merkki.

7. tapa. Siirtotapa

Pohjimmiltaan "kiertymismenetelmä" on yksinkertaisesti Vietan lauseen muunnos .

"Kierto"-menetelmä on sellaisen yhtälön pelkistys, jota ei voida pelkistää niin, että kaikki kertoimet pysyvät kokonaislukuina, pelkistetyksi yhtälöksi kokonaislukukertoimilla:

1) kerro molemmat osat johtavalla kertoimella:

ax^{2}+bx+c=0\quad \cdot a,

{\näyttötyyli (ax)^{2}+b(ax)+ac=0;}

2) vaihda

y=ax\colon

y^{2}+by+ac=0.

Seuraavaksi ratkaisemme yhtälön y :lle yllä kuvatulla menetelmällä ja löydämme x = y / a .

Kuten näette, "siirto"-menetelmässä seniorikerroin vain " siirretään " vapaalle termille.

Geometrinen tunne

Toisen asteen funktion kuvaaja on paraabeli . Neliöyhtälön ratkaisut (juuret) ovat paraabelin ja abskissa-akselin leikkauspisteiden abskissoja . Jos neliöfunktion kuvaama paraabeli ei leikkaa x-akselia, yhtälöllä ei ole todellisia juuria. Jos paraabeli leikkaa x-akselin yhdessä pisteessä (paraabelin kärjessä), yhtälöllä on yksi reaalijuuri (yhtälöllä sanotaan myös olevan kaksi yhteneväistä juuria). Jos paraabeli leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä, yhtälöllä on kaksi todellista juuria (katso kuva oikealla).

Jos kerroin on positiivinen, paraabelin haarat suunnataan ylöspäin ja päinvastoin. Jos kerroin on positiivinen (positiiviselle , negatiiviselle, päinvastoin), niin paraabelin kärki sijaitsee vasemmalla puolitasolla ja päinvastoin. $a$ $b$ $a$

Graafinen tapa ratkaista toisen asteen yhtälöitä

Yllä kuvatun yleisen menetelmän lisäksi on olemassa ns. graafinen menetelmä . Yleisesti ottaen tämä menetelmä muodon rationaalisen yhtälön ratkaisemiseksi on seuraava: yhdessä koordinaattijärjestelmässä funktioiden kuvaajat ja ja etsi näiden kaavioiden yhteisten pisteiden abskissat; löydetyt luvut ovat yhtälön juuria. $f(x)=g(x)$ $y=f(x)$ $y=g(x)$

On vain viisi päätapaa toisen asteen yhtälöiden graafiseen ratkaisemiseen. Menetelmä I

Neliöyhtälön ratkaisemiseksi tällä tavalla muodostetaan funktiograafi ja löydetään sellaisen kuvaajan ja akselin leikkauspisteiden abskissat . $ax^{2}+bx+c=0$ $y=ax^{2}+bx+c$ $x$

Menetelmä II

Saman yhtälön ratkaisemiseksi tällä tavalla se muunnetaan toisen asteen funktion ja lineaarisen funktion muotoon ja piirretään samaan koordinaatistoon , jolloin löydetään niiden leikkauspisteiden abskissa. $ax^{2}=-bx-c$ $y=kirves^{2}$ $y=-bx-c$

Menetelmä III

Tämän menetelmän ratkaisu sisältää alkuperäisen yhtälön muuntamisen muotoon käyttämällä menetelmää, jossa erotetaan summan (eron) täysi neliö ja sitten muotoon . Sen jälkeen rakennetaan funktiograafi (se on asteikkoyksiköillä etumerkistä riippuen oikealle tai vasemmalle siirretty funktiograafi) ja x -akselin suuntainen suora. Yhtälön juuret ovat paraabelin ja suoran leikkauspisteiden abskissat. $a(x+l)^{2}+m=0$ $a(x+l)^{2}=-m$ $y=a(x+l)^{2}$ $y=kirves^{2}$ $|l|$ $y=-m$

Menetelmä IV

Neliöyhtälö muunnetaan muotoon , muodostetaan funktion kuvaaja (se on funktion kaavio, joka on siirretty asteikkoyksiköillä ylöspäin, jos tämä kerroin on positiivinen, tai alaspäin, jos se on negatiivinen), ja etsi funktion abskissat. niiden yhteiset kohdat. $ax^{2}+c=-bx$ $y=ax^{2}+c$ $y=kirves^{2}$ $c$ $y=-bx$

Way V

Neliöyhtälö muunnetaan erikoismuotoon:

{\frac {ax^{2}}{x}}+{\frac {bx}{x}}+{\frac {c}{x}}={\frac {0}{x}});

ax+b+{\frac {c}{x}}=0;

sitten

ax+b=-{\frac {c}{x}}.

Tehtyään muunnoksia he rakentavat lineaarisen funktion ja käänteisen suhteellisuuden kuvaajia , löytävät näiden kuvaajien leikkauspisteiden abskissat. Tällä menetelmällä on käyttöraja: jos , menetelmää ei käytetä. $y=kirves+b$ $y=-{\frac {c}{x}};\ (c\not =0)$ $c = 0$

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen kompassilla ja suoraviivalla

Yllä kuvatuilla graafisen ratkaisun menetelmillä on merkittäviä haittoja: ne ovat melko työläitä, kun taas käyrien - paraabelien ja hyperbolien - muodostamisen tarkkuus on alhainen. Nämä ongelmat eivät liity jäljempänä ehdotettuun menetelmään, joka sisältää suhteellisen tarkempia rakenteita kompassin ja viivaimen avulla.

Tällaisen päätöksen tekemiseksi sinun on suoritettava seuraava toimintosarja.

Muodosta Oxy-koordinaatistossa ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä, joka leikkaa y-akselin pisteessä C(0;1). $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {a+c}{2a)))$
Kolme muuta tapausta on mahdollista:
- ympyrän säteen pituus ylittää x-akseliin nähden kohtisuoran pituuden, joka jätetään pois pisteestä S: tässä tapauksessa ympyrä leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä ja yhtälöllä on kaksi reaalijuurta näiden pisteiden abskissat;
- säde on yhtä suuri kuin kohtisuora: yksi piste ja yksi monikertaisyyden 2 reaalijuuri;
- säde on pienempi kuin kohtisuora: joukossa ei ole juuria . $\mathbb {R}$

Todiste

Tarkasteltavana oleva menetelmä sisältää ympyrän rakentamisen, joka leikkaa y-akselin pisteissä (pisteissä), joiden abskissat ovat ratkaistavan yhtälön juuret (tai juuret). Miten tällainen ympyrä pitäisi rakentaa? Oletetaan, että se on jo rakennettu. Ympyrä määritellään yksilöllisesti määrittämällä sen kolme pistettä. Olkoon, jos on kaksi juuria, nämä ovat pisteitä , joissa luonnollisesti ovat toisen asteen yhtälön todelliset juuret (korostamme: jos ne ovat olemassa ). Etsi tällaisen ympyrän keskipisteen koordinaatit. Tätä varten todistamme, että tämä ympyrä kulkee pisteen läpi . Todellakin, sekanttilauseen mukaan yhtäläisyys pätee hyväksytyssä merkinnässä (katso kuva). Muuntamalla tätä lauseketta saadaan segmentin OD arvo, joka määrittää pisteen D halutun ordinaatin: (viimeisessä muunnoksessa käytettiin Vieta-lausetta (katso alla samanniminen kappale)). Jos on vain yksi juuri, eli abskissa-akseli on sellaisen ympyrän tangentti ja ympyrä leikkaa y-akselin pisteessä, jonka ordinaatt on 1, niin se varmasti leikkaa sen pisteessä yllä olevan kanssa ordinaatta (etenkin jos 1=c/a, tässä voi olla yhteneviä pisteitä), mikä todistetaan samalla tavalla käyttämällä sekantti- ja tangenttilausetta, joka on sekanttilauseen erikoistapaus. Ensimmäisessä tapauksessa ( ), tangenttipiste, y-akselin piste ordinaatilla 1 ja sen sama piste ordinaatilla määrittävät . Jos c/a ja 1 ovat yhteensopivia pisteitä ja juuria on kaksi, tämä piste ja leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa ovat määrääviä. Siinä tapauksessa, että (1=c/a) ja on vain yksi juuri, ilmoitetut tiedot riittävät todisteeksi, koska sellaisia voi olla vain yksi - sen keskipiste on tangenttien segmenttien muodostaman neliön kärki. ja kohtisuorat, ja säde on tämän neliön sivu, joka on 1. Olkoon S ympyrän keskipiste, jolla on kaksi yhteistä pistettä x-akselin kanssa. Etsitään sen koordinaatit: tätä varten laskemme kohtisuorat koordinaattiakseleille tästä pisteestä. Näiden kohtisuorien päät ovat janojen AB ja CD keskipisteet - onhan kolmiot ASB ja CSD tasakylkisiä , koska niissä AS=BS=CS=DS yhden ympyrän säteinä, joten niissä olevat korkeudet piirretään emäkset ovat myös mediaaneja. Etsi nimettyjen segmenttien keskipisteiden koordinaatit. Koska paraabeli on symmetrinen suhteessa linjaan , niin tämän linjan piste samalla abskissalla on janan AB keskipiste. Siksi pisteen S abskissa on yhtä suuri kuin tämä luku. Jos yhtälöllä on yksi juuri, niin x-akseli on ympyrän tangentti, joten sen säde on ominaisuutensa mukaan kohtisuorassa akseliin nähden, joten tässä tapauksessa ilmoitettu numero on keskuksen abskissa. Löydämme sen ordinaatin seuraavasti: . Kolmannessa mahdollisessa tapauksessa, kun c\a=1 (ja siten a=c), niin . $A(x_{1};0),B(x_{2};0),C(0;1)$ $x_{1},x_{2}$ $D(0;{\frac {c}{a}})$ $OA\cdot OB=OC\cdot OD$ $OD={\frac {OA\cdot OB}{OC}}={\frac {x_{1}x_{2}}{1}}={\frac {c}{a}}$ ${\frac {c}{a}}\not =1$ ${\frac {c}{a))$ $x=-{\frac {b}{2a))$ ${\frac {CD}{2}}={\frac {OC+(OC+CD)}{2}}={\frac {OC+OD}{2}}={\frac {1+{\frac { c}{a}}}{2}}={\frac {a+c}{2a}}$ ${\frac {c}{a}}=1={\frac {2a}{2a}}={\frac {a+c}{2a}}$

Olemme siis löytäneet rakentamiseen tarvittavat tiedot. Itse asiassa, jos rakennamme ympyrän, jonka keskipiste on pisteen läpi kulkevassa pisteessä , niin se tapauksissa, joissa yhtälöllä on todelliset juuret, leikkaa x-akselin pisteissä, joiden abskissat ovat nämä juuret. Lisäksi, jos säteen pituus on suurempi kuin Ox-akselin kohtisuoran pituus, yhtälöllä on kaksi juuria (olettaen päinvastaista, saamme ristiriidan edellä todistetun kanssa), jos pituudet ovat yhtä suuret, sitten yksi (samasta syystä), jos säteen pituus on pienempi kuin kohtisuoran pituus, niin ympyrällä ei ole yhteisiä pisteitä x-akselin kanssa, joten yhtälöllä ei ole todellisia juuria (se on myös todistettu ristiriitaisesti: jos juuria on, niin A:n, B:n, C:n kautta kulkeva ympyrä osuu yhteen annetun ympyrän kanssa ja leikkaa siten akselin, mutta se ei saa ylittää abskissa-akselia ehdon perusteella, mikä tarkoittaa, että olettamus on virheellinen) . $S(-{\frac {b}{2a));{\frac {c+a}{2a)))$ $C(0;1)$

Neliöyhtälön juuret kompleksilukujen joukossa

Yhtälö todellisilla kertoimilla

Todellisilla kertoimilla varustetulla toisen asteen yhtälöllä on aina, kun otetaan huomioon monikertaisuus , kaksi kompleksista juuria , kuten algebran peruslauseessa todetaan . Tässä tapauksessa ei-negatiivisen erottimen tapauksessa juuret ovat todellisia, ja negatiivisen tapauksessa ne ovat monimutkaisia konjugaattia : $a~b~c$

kun yhtälöllä on kaksi todellista juuria: $D>0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}});$
kun - yksi moninkertaisuuden 2 juuri (toisin sanoen kaksi identtistä juurta): $D = 0$ $x=-{\frac {b}{2a));$
at ovat kaksi monimutkaista konjugaattijuurta , jotka ilmaistaan samalla kaavalla kuin positiiviselle erottajalle. Se voidaan myös kirjoittaa uudelleen siten, että se ei sisällä negatiivista radikaalilauseketta seuraavasti: $D<0$ $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}} {2a}}.$

Yhtälö kompleksikertoimilla

Monimutkaisessa tapauksessa toisen asteen yhtälö ratkaistaan käyttämällä samaa kaavaa (1) ja sen edellä mainittuja muunnelmia, mutta vain kaksi tapausta on erotettavissa: nolladiskriminantti (yksi kaksoisjuuri) ja nollasta poikkeava (kaksi yksikkökerroinjuurta).

Vähennetyn toisen asteen yhtälön juuret

Toissijaista yhtälöä, jonka muoto on yksi, kutsutaan pelkistetyksi . Tässä tapauksessa juurien (1) kaava yksinkertaistetaan $x^{2}+px+q=0,$ $a$

x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.

Mnemoniset säännöt:

" Itkuhälyttimestä ":

"Miinus" kirjoitamme ensin,
Sen viereen p puoliksi,
"Plus-miinus" on radikaalin merkki,
Lapsuudesta meille tuttu.
No, juuren alla, ystäväni,
kaikki ei tule tyhjäksi:
p puoliksi ja neliö
Miinus kaunis [2] q .

" Itkuhälyttimestä " (toinen versio):

p , käänteisellä merkillä,
jaamme sen kahteen,
ja erottelemme sen siististi juuresta
miinus-plus-merkillä.
Ja juuren alla on erittäin kätevä
Puoli p neliö
Miinus q - ja tässä ovat ratkaisut,
Eli yhtälön juuret.

" Baby Monitorista " (kolmas versio, joka perustuu Moskovan iltojen motiiviin ):

Löytääksesi x puoleen p ,
Älä unohda otettua miinuksella,
Lisää radikaali plus miinuksella,
Siististi, ei jotenkin.
Ja sen alapuolella on puolen p neliö ,
Sinä, vähennä q :lla ja lopussa,
Siellä on annettu kaava,
Sinun päättelysi on kruunu.
Siellä on annettu kaava,
Sinun päättelysi on kruunu.

Vietan lause

Kaava pelkistetylle toisen asteen yhtälölle

Annetun toisen asteen yhtälön juurten summa on yhtä suuri kuin miinusmerkkinen kerroin ja juurien tulo on yhtä suuri kuin vapaa termi $x^{2}+px+q=0$ $s$ $q\colon$

x_{1}+x_{2}=-p,\quad x_{1}x_{2}=q.

Sen avulla annetut yhtälöt voidaan ratkaista suullisesti:

Esimerkki

x^{2}-8x+12=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=8,\\x_{1}x_{2}=12,\end{cases))

x_{1}=2,\neliö x_{2}=6.

Pelkistymättömälle toisen asteen yhtälölle

Yleisessä tapauksessa, eli pelkistymättömälle toisen asteen yhtälölle $ax^{2}+bx+c=0\colon$

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a,\\x_{1}x_{2}=c/a.\end{cases))

Käytännössä (noudattamalla "siirtomenetelmää" ) käytetään Vieta-lauseen muunnelmaa juurten laskemiseen:

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-b/a&\mid \cdot a,\\x_{1}x_{2}=c/a&\mid \cdot a^{ 2};\end{cases}}

{\begin{cases}(ax_{1})+(ax_{2})=-b,\\(ax_{1})(ax_{2})=ac,\end{cases))

jonka avulla voit löytää sanallisesti kirves 1 , kirves 2 ja sieltä - itse juuret:

Esimerkkejä

8x^{2}+2x-1=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=-2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=8\cdot (-1),\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=2,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {1}{4)).

8x^{2}-2x-3=0,

{\begin{cases}8x_{1}+8x_{2}=2,\\8x_{1}\cdot 8x_{2}=-24,\end{cases))

8x_{1}=-4,\quad 8x_{2}=6,

x_{1}=-{\tfrac {1}{2)),\quad x_{2}={\tfrac {3}{4)).

Mutta joidenkin ei-pelkistettyjen yhtälöiden juuret voidaan arvata sanallisesti jopa tavallisella Vieta-lauseella:

Esimerkki

5x^{2}-26x+5=0,

{\begin{cases}x_{1}+x_{2}={\tfrac {26}{5}}=5+{\tfrac {1}{5)),\\x_{1}x_ {2}=1,\loppu{tapaukset}}

x_{1}={\tfrac {1}{5)),\quad x_{2}=5.

Neliön trinomin faktorointi ja tästä seuraavat lauseet

Jos neliötrinomin molemmat juuret tunnetaan, sitä voidaan laajentaa kaavalla

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})

(2) Todiste

Tämän väitteen todistamiseksi käytämme Vietan lausetta. Tämän lauseen mukaan neliöyhtälön juuret ja muodostavat suhteita sen kertoimiin: . Korvaa nämä suhteet neliötrinomissa: $x_{1}$ $x_{2}$ $ax^{2}+bx+c=0$ $x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a)),\ x_{1}x_{2}={\frac {c}{a))$

{\begin{alignedat}{2}ax^{2}+bx+c&=a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a} })=a(x^{2}-(x_{1}+x_{2})x+x_{1}x_{2})=\\&=a(x^{2}-x_{1} x-x_{2}x+x_{1}x_{2})=a(x(x-x_{1})-x_{2}(x-x_{1}))\\&=a(x -x_{1})(x-x_{2}).\end{alignedat}}

Nolladiskriminantin tapauksessa tästä suhteesta tulee yksi summan tai erotuksen neliön kaavan muunnelmista .

Kaavalla (2) on kaksi tärkeää seurausta: Seuraus 1 Jos neliötrinomi jaetaan lineaarisiin tekijöihin, joilla on todelliset kertoimet, niin sillä on todelliset juuret. Todiste

Anna . Sitten, kun kirjoitetaan tämä laajennus uudelleen, saamme: $ax^{2}+bx+c=(kx+m)(nx+l)$

(kx+m)(nx+l)=k(x+{\frac {m}{k)))n(x+{\frac {l}{n)))=kn(x-(-{\frac { m}{k))))(x-(-{\frac {l}{n))))

Vertaamalla saatua lauseketta kaavaan (2), huomaamme, että tällaisen trinomin juuret ovat ja . Koska kertoimet ovat todellisia, niin niiden suhteiden vastaiset luvut ovat myös joukon elementtejä . $-{\frac {m}{k))$ $-{\frac {l}{n}}$ $\mathbb {R}$

Seuraus 2 Jos neliötrinomilla ei ole todellisia juuria, sitä ei voida hajottaa lineaarisiin tekijöihin, joilla on todelliset kertoimet. Todiste

Todellakin, jos oletamme päinvastaista (että tällainen trinomi voidaan hajottaa lineaarisiin tekijöihin), niin sen juuret ovat seurauksen 1 mukaan joukossa , mikä on ristiriidassa ehdon kanssa, ja siksi oletuksemme on väärä, ja tällainen trinomi ei voida hajottaa lineaarisiin tekijöihin. $\mathbb {R}$

Neliöyhtälöt

Algebrallinen

Muodon yhtälö on yhtälö, joka pelkistyy neliölliseen. $a\cdot f^{2}(x)+b\cdot f(x)+c=0$

Yleisessä tapauksessa se ratkaistaan korvaamalla missä E on funktion f arvojen joukko , minkä jälkeen ratkaistaan toisen asteen yhtälö . $f(x)=t,~t\in E(f),$ $a\cdot t^{2}+b\cdot t+c=0$

Ratkaisessasi voit myös tehdä ilman korvaamista ratkaisemalla kahden yhtälön joukon:

f(x)={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

f(x)={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\cdot a\cdot c))}{2a))

Esimerkiksi jos , yhtälöstä tulee: $f(x)=x^{2}$

ax^{4}+bx^{2}+c=0.

Tällaista 4. asteen yhtälöä kutsutaan bikvadraattiseksi [3] [1] .

Vaihtamalla

y=x+{\dfrac {k}{x}}

yhtälö pelkistetään toisen asteen yhtälöksi

ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+kbx+k^{2}a=0,

tunnetaan käänteis- tai yleistettynä symmetrisenä yhtälönä [1] .

Differentiaalit

Lineaarinen homogeeninen differentiaaliyhtälö, jossa on toisen asteen vakiokertoimet

y''+py'+qy=0

substituutio pelkistyy tunnusomaiseen toisen asteen yhtälöön: $y=e^{kx}$

k^{2}+pk+q=0

Jos tämän yhtälön ja ratkaisut eivät ole yhtä suuria keskenään, niin yleisellä ratkaisulla on muoto: $k_{1}$ $k_{2}$

y=Ae^{k_{1}x}+Be^{k_{2}x}

, missä ja ovat mielivaltaisia vakioita.

A

B

Monimutkaisille juurille yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa uudelleen käyttämällä Eulerin kaavaa : $k_{1,2}=k_{r}\pm k_{i}i$

y=e^{k_{r}x}\left(A\cos {k_{i}x}+B\sin {k_{i}x}\right)=Ce^{k_{r}x }\cos(k_{i}x+\varphi ),

missä A , B , C , φ ovat mitä tahansa vakioita. Jos ominaisyhtälön ratkaisut ovat samat , kirjoitetaan yleinen ratkaisu seuraavasti: $k_{1}=k_{2}=k$

y=kirves^{kx}+Be^{kx}

Tämän tyyppisiä yhtälöitä esiintyy usein monissa matematiikan ja fysiikan ongelmissa, esimerkiksi värähtelyteoriassa tai vaihtovirtapiirien teoriassa .

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 4 5 6 7 Nuoren matemaatikon tietosanakirja, 1985 .
↑ toinen vaihtoehto - "valitettava"
↑ Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. – 1988.

Kirjallisuus

toisen asteen yhtälö; Neliötrinomi // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogiikka , 1985. - S. 133 -136. — 352 s.

Linkit

Weisstein, Eric W. Quadratic Equation (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Kaavan johtaminen täydellisen toisen asteen yhtälön juurille. Ratkaisu pelkistetyistä toisen asteen yhtälöistä ja yhtälöistä parillisella toisella kertoimella. Arkistoitu kopio 28. tammikuuta 2016 Wayback Machine / Open Lesson Festival of Pedagogical Ideas.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 12124598x J9U : 987007552898205171 LCCN : sh85044517

Algebralliset yhtälöt
Lineaarinen yhtälö Toisen asteen yhtälö kuutio yhtälö Neljännen asteen yhtälö Viidennen asteen yhtälö Kuudennen asteen yhtälö Seitsemännen asteen yhtälö