Matematiikka ottelu

Matemaattinen yhteensattuma on tilanne, jossa kaksi lauseketta antavat lähes samat arvot, vaikka tätä sattumaa ei voida millään tavalla selittää teoreettisesti. Esimerkiksi pyöreälle numerolle 1000 on affiniteetti ilmaistuna potenssina 2 ja potenssina 10: . Joitakin matemaattisia vastaavuuksia käytetään suunnittelussa , kun yhtä lauseketta käytetään toisen likimääräisenä. $2^{10}=1024\noin 1000=10^{3}$

Johdanto

Matemaattinen sattuma yhdistetään usein kokonaislukuihin , ja yllättävät ("satunnaiset") esimerkit heijastavat sitä tosiasiaa, että joissain yhteyksissä esiintyvät reaaliluvut osoittautuvat joidenkin standardien mukaan pienten kokonaislukujen "läheisiksi" likiarvoiksi tai kymmenen potenssiksi. , tai yleisemmin rationaalinen luku , jolla on pieni nimittäjä . Toisenlainen matemaattinen vastaavuus, kuten kokonaisluvut, jotka täyttävät samanaikaisesti useita näennäisesti toisiinsa liittymättömiä kriteerejä, tai mittayksikköihin liittyvät osumat. Puhtaasti matemaattisten yhteensattumien luokassa joillakin yksinkertaisilla tuloksilla on syvä matemaattinen perusta, kun taas toiset näyttävät "sinistä".

Kun otetaan huomioon lukematon määrä tapoja muodostaa matemaattisia lausekkeita käyttämällä äärellistä määrää symboleja, käytettyjen symbolien lukumäärän ja approksimaatiotarkkuuden yhteensovittaminen voi olla ilmeisin tapa saada matemaattinen vastaavuus. Standardia ei kuitenkaan ole, ja pienten lukujen vahva laki on sellainen argumentti, johon turvautuu, kun ei ole muodollista matemaattista ymmärrystä. Jonkin verran esteettistä matemaattista järkeä tarvitaan päättämään matemaattisen sattuman merkityksestä, onko kyseessä poikkeuksellinen tapahtuma vai tärkeä matemaattinen tosiasia (esimerkiksi Ramanujanin vakio alla vakiosta, joka ilmestyi painettuna muutama vuosi sitten tieteellinen aprillipila [1] ). Yhteenvetona voidaan todeta, että näitä yhteensattumia pidetään uteliaisuuksiensa vuoksi tai matematiikan ystävien rohkaisuna alkeellisella tasolla.

Muutamia esimerkkejä

Rational Approximations

Joskus yksinkertaiset rationaaliset approksimaatiot ovat poikkeuksellisen lähellä mielenkiintoisia irrationaalisia arvoja. Tosiasia voidaan selittää irrationaalisten arvojen esittämisellä jatkuvina murto -osina , mutta miksi nämä uskomattomat yhteensattumat tapahtuvat, jää usein epäselväksi.

Usein käytetään rationaalista approksimaatiota (jatkoluvuilla) eri lukujen logaritmien suhteeseen, mikä antaa näiden lukujen potenssien (likimääräisen) yhteensattuvuuden [2] .

Muutamia osumia numerolla : $\pi$

luvun ensimmäinen konvergentti , [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, tunnettu Arkhimedesen ajoista lähtien [3] ja antaa tarkkuuden noin 0,04 %. Kolmas konvergentti, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929… Zu Chongzhin [4] löytämä on oikea kuuden desimaalin tarkkuudella [3] . Tämä suuri tarkkuus johtuu siitä, että jatkuvan jakeen seuraavalla termillä on epätavallisen suuri arvo: = [3; 7, 15, 1, 292, …] [5] ; $\pi$ $\pi$
sattuma, johon myös kultaleikkaus φ osallistuu, saadaan kaavalla . Tämä suhde liittyy Keplerin kolmioon ; Jotkut tutkijat uskovat, että tämä yhteensattuma löytyy Gizan pyramideista , mutta on erittäin epätodennäköistä, että se on tahallinen [6] ; $\pi$ $\pi \noin 4/{\sqrt {\varphi }}=3,1446\dots$
on kuuden yhdeksän sarja, joka alkaa luvun desimaaliesityksen 762. paikasta . Satunnaisesti valitulle normaaliluvulle minkä tahansa valitun kuuden numeron sekvenssin (esimerkiksi 658020) todennäköisyys on harvinainen desimaalimuodossa, vain 0,08 %. On olemassa oletus, joka on normaali luku, mutta tätä ei ole todistettu; $\pi$ $\pi$
${\frac {5}{6}}\pi \approx \varphi ^{2}$ ; oikein 0,002 prosentin tarkkuudella.

Numerot vastaavat $e$ :

numerosarja "1828" toistetaan kahdesti lähellä luvun desimaalimuodon alkua = 2,7 1828 1828…. [7] ; $e$
numeron ensimmäisten 500 tuhannen merkin joukossa on numerosarja "99 999 999" [8] . $e$

Sattumaa käytetään myös laajalti , oikein 2,4 %:n tarkkuudella. Rational approksimaatio , tai osuu yhteen 0,3 %:n tarkkuudella. Tätä yhteensattumaa käytetään teknisissä laskelmissa arvioimaan kaksinkertainen teho 3 desibelinä (todellinen arvo on 3,0103 dB - puolitehopiste ) tai muuntaa kibitavuja kilotavuiksi [9] [10] . Sama vastaavuus voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon (poista yhteinen tekijä , jolloin suhteellinen virhe pysyy samana, 2,4%), joka vastaa rationaalista approksimaatiota tai (myös 0,3 %). Tätä vastaavuutta käytetään esimerkiksi kameroiden suljinaikojen asettamiseen kahden (128, 256, 512) tehon likimääräisenä suljinajan järjestyksessä 125, 250, 500 ja niin edelleen [2] . $2^{10}=1024\noin 1000=10^{3}$ $\textstyle {\frac {\log 10}{\log 2}}\approx 3{,}3219\approx {\frac {10}{3}}$ $2\noin 10^{3/10}$ $128=2^{7}\noin 5^{3}=125$ $2^3$ $\textstyle {\frac {\log 5}{\log 2))\approx 2.3219\approx {\frac {7}{3))$ $2\noin 5^{3/7}$

Yhteensopivuus musiikin intervallien kanssa

Coincidence , jota käytetään yleensä musiikissa viritettäessä 7 yhtäläisen temperamenttiasteikon puolisäveltä luonnollisen asteikon puhtaaksi kvintiksi : , joka osuu yhteen 0,1 %:n tarkkuudella. Täydellinen viides on Pythagoraan järjestelmän perusta ja musiikin yleisin järjestelmä. Tuloksena olevasta approksimaatiosta seuraa, että kvintien ympyrä päättyy seitsemän oktaavia alun yläpuolelle [2] . $2^{19}\noin 3^{12}$ ${\frac {\log 3}{\log 2}}\approx 1,5849\dots \approx {\frac {19}{12}}$ $2^{7/12}\noin 3/2;$ ${\displaystyle {(3/2)}^{12}\noin 2^{7))$

Ottelun tuloksena on rationaalinen versio 12-TET-nauhasta, kuten Johann Kirnberger totesi . ${\sqrt[{12}]{2}}{\sqrt[{7}]{5}}=1,33333319\ldots \noin {\frac {4}{3}}$

Sattuma johtaa rationaaliseen versioon 1/4 pilkun keskisävyluonnosta . ${\sqrt[{8}]{5}}{\sqrt[{3}]{35}}=4,00000559\ldots \noin 4$

Ottelu johtaa hyvin pieneen väliin (noin millisentti ). ${\sqrt[{9}]{0.6}}{\sqrt[{28}]{4.9}}=0,99999999754\ldots \noin 1$ $2^{9}3^{-28}5^{37}7^{-18}$

Vastaavuus potenssilla 2 johtaa kolmeen suureen tertsiin, jotka muodostavat oktaavin, . Tätä ja muita vastaavia approksimaatioita musiikissa kutsutaan kuoleiksi . ${(5/4)}^{3}\noin {2/1}$

Numeeriset lausekkeet

Ilmaisuja voimavaroilla : $\pi$

$\pi ^{2}\noin 10$ noin 1,3 %:n tarkkuudella [11] Tämä voidaan ymmärtää zeta-funktion kaavan [12] avulla, tätä yhteensattumaa käytettiin diojen sääntöjen kehittämisessä, kun asteikko alkaa kirjaimella ; $\zeta (2)=\pi ^{2}/6$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$
$\pi ^{2}\noin 227/23$ tarkkuus 0,0004 % [11] ;
$\pi ^{3}\noin 31$ tarkkuus 0,02 %;
${\sqrt[{5}]{\pi ^{3}+1}}\noin 2$ tarkkuus 0,004 %;
$\pi \approx \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}$ tai [13] 8 desimaalin tarkkuudella [14] ; $22\pi ^{4}\noin 2143$

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22))}=3,1415926525\dots

;

{\sqrt[{5}]{306}}=3,14155\pisteet

;

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18))}=3,1415924\dots

;

{\sqrt[{7}]{\frac {21142}{7))}=3,14159\pisteet

;

Jotkut uskottavat yhteydet on tehty erittäin tarkasti, mutta silti sattumia. Esimerkki on:

\int _{0}^{\infty }\cos(2x)\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{n))\right) \mathrm {d} x\approx {\frac {\pi }{8}}

Tämän lausekkeen kaksi puolta eroavat toisistaan vain 42. desimaalilla [15] .

Ilmaisuja, joilla on voima ja : $\pi$ $e$

${\displaystyle \pi ^{4}+\pi ^{5}\noin e^{6))$ , 0,000 005 %:n tarkkuudella [13] ;
${\displaystyle {\sqrt[{4}]{3^{3}e^{\pi ))))$ hyvin lähellä 5:tä, noin 0,008 %:n tarkkuus;
${3}^{\frac {\pi +e}{4}}$ hyvin lähellä 5:tä, tarkkuus noin 0,000 538 % [16] ;
$e^{\pi }-\pi \noin 19,99909998$ hyvin lähellä 20 [17] , tämä vastaa [13] ; $(\pi +20)^{i}=-0,9999999992\ldots -i\cdot 0,000039\ldots \noin -1$
$\pi ^{3^{2}}/e^{2^{3}}=9,9998\ldots \noin 10$ [13] .

Lausekkeet , ja 163:lla: $\pi$ $e$

${163}\cdot (\pi -e)\noin 69$ tarkkuudella 0,0005 %] [13] ;
${\frac {163}{\ln 163}}\noin 2^{5}$ tarkkuudella 0,000004 %] [13] ;
Ramanujanin vakio :, tarkkuus , jonka Charles Hermite löysi vuonna 1859 [18] , ei ole selittämätön satunnainen matemaattinen yhteensattuma, koska se on seurausta siitä, että 163 on Hegnerin luku . $e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx (2^{6}\cdot 10005)^{3}+744$ $2,9\cdot 10^{-28}\%$

Lauseke logaritmeilla:

$\ln 2\approx \left({\frac {2}{5}}\right)^{\frac {2}{5}}$ (tarkkuus 0,00024 %).

Kun keskustellaan syntymäpäiväparadoksista , esiin tulee luku , joka on "hauska" yhtä suuri kuin 4 numeroa [19] . $\lambda ={\frac {1}{365}}{23 \choose 2}={\frac {253}{365}}$ $\ln(2)$

Numeerisia yhteensattumia fyysisessä maailmassa

Kuusi viikkoa pitkä

Sekuntien määrä kuudessa viikossa eli 42 päivässä on täsmälleen 10! ( faktoriaalinen ) sekuntia (alkaen , ja ). Monet ovat huomanneet tämän yhteensattuman, erityisesti numero 42 on merkittävä Douglas Adamsin romaanissa Liftasin opas galaksiin . $24=4!$ $42=6\cdot 7$ $60^{2}=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

Valon nopeus

Valon nopeus (määritelmän mukaan) on täsmälleen 299 792 458 m/s, hyvin lähellä 300 000 000 m/s. Tämä on puhtaasti sattumaa, koska metri määriteltiin alun perin 1/10 000 000:ksi maan navan ja päiväntasaajan välisestä etäisyydestä merenpinnan tasolla, maan ympärysmitta oli noin 2/15 valosekuntia [20] .

Gravitaatiokiihtyvyys

Koska vapaan pudotuksen kiihtyvyyden numeerinen arvo ei ole vakio, vaan leveys- ja pituusasteesta riippuvainen pinnalla on välillä 9,74 ja 9,87, mikä on melko lähellä arvoa 10. Tämä tarkoittaa, että Newtonin toisen lain seurauksena paino nousee. kilon massa Maan pinnalla vastaa noin 10 newtonia voimakohteeseen kohdistettuna [21] .

Tämä yhteensattuma liittyy itse asiassa edellä mainittuun neliön yhteensattumiseen luvun 10 kanssa. Yksi mittarin varhaisista määritelmistä on heilurin pituus, jonka värähtelyjakso on kaksi sekuntia. Koska täyden värähtelyn jakso on likimäärin annettu alla olevalla kaavalla, algebrallisten laskelmien jälkeen saadaan, että gravitaatiovakio on yhtä suuri kuin neliö [22] $\pi$ $\pi$

{\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g))))

Kun Maan ympärysmitan todettiin olevan hyvin lähellä 40 000 000 metriä, mittarin määritelmää muutettiin vastaamaan tätä tosiasiaa, koska se oli objektiivisempi standardi (gravitaatiovakio maan pinnalla ei ole vakio). Tämä johti mittarin pituuden kasvuun hieman alle 1 %, mikä jäi kokeellisten mittausvirheiden rajoihin.

Toinen yhteensattuma on se, että g:n arvo , joka on noin 9,8 m/s 2 , on yhtä suuri kuin 1,03 valovuotta /vuosi 2 , mikä on lähellä yhtä. Tämä yhteensattuma johtuu siitä, että g on lähellä 10:tä SI-yksiköissä . (m /s 2 ), kuten edellä mainittiin, sekä tosiasiat, että sekuntien lukumäärä vuodessa on lähellä numeerista arvoa c /10, missä c on valon nopeus m/s.

Rydbergin vakio

Rydbergin vakio kertaa valon nopeus ja taajuudella ilmaistuna on lähellä Hz:ää: [20] ${\frac {\pi ^{2}}{3}}\times 10^{15}$

{\underline {3,2898}}41960364(17)\times 10^{15}

Hz [23] .

=R_{\infty }c

{\underline {3,2898}}68133696\ldots ={\frac {\pi ^{2}}{3}}

Hienorakennevakio

Hienorakennevakio on lähellä arvoa ja sen oletettiin olevan täsmälleen yhtä suuri kuin . $\alpha$ ${\frac {1}{137}}$ ${\frac {1}{137}}$

\alpha ={\frac {1}{137.035999074\dots }}

Vaikka tämä vastaavuus ei ole niin tiukka kuin jotkin yllä olevista, on huomattava, että kyseessä on dimensioton vakio , joten tämä vastaavuus ei liity käytettyyn yksikköön. $\alpha$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Gardner, 2001 , s. 674–694.
↑ 1 2 3 Schroeder, 2008 , s. 26–28.
↑ 1 2 Beckmann, 1971 , s. 101, 170.
↑ Mikami, 1913 , s. 135.
↑ Weisstein, 2003 , s. 2232.
↑ Herz-Fischler, 2000 , s. 67.
↑ Vuonna 1828 syntyi Leo Tolstoi, jonka avulla voit muistaa luvun e 10 merkin tarkkuudella.
↑ Luku e - 1 miljoonaa numeroa . NASA. Käyttöpäivä: 14. helmikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 2. heinäkuuta 2017. (määrätön)
↑ Beucher, 2008 , s. 195.
↑ Ayob, 2008 , s. 278.
↑ 1 2 Frank Rubin, The Contest Center - Pi Arkistoitu 8. lokakuuta 2017 Wayback Machinessa .
↑ Miksi on niin lähellä 10? $\pi ^{2}$ Arkistoitu 9. elokuuta 2017, Wayback Machine (Why so close to 10?), Noam Elkies $\pi ^{2}$
↑ 1 2 3 4 5 6 Weisstein, Eric W. Almost Integer (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Ramanujanin mukaan : Quarterly Journal of Mathematics , XLV, 1914, pp. 350-372. Ramanujan väittää, että tämä "utelias approksimaatio" on "saadu empiirisesti" eikä sillä ole mitään yhteyttä paperissa kehitettyyn teoriaan. $\pi$
↑ Arkistoitu kopio (linkki ei saatavilla) . Haettu 25. helmikuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 20. heinäkuuta 2011. (määrätön)
↑ Joseph Clarke, 2015)
↑ Conway, Sloane, Plough, 1988
↑ Barrow, 2002 .
↑ Arratia, Goldstein, Gordon, 1990 , s. 403–434.
↑ 1 2 Michon, Gérard P. Numeeriset yhteensattumat ihmisen tekemissä numeroissa . Matemaattiset ihmeet . Haettu 29. huhtikuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 22. lokakuuta 2017. (määrätön)
↑ Leduc, 2003 , s. 25.
↑ Mitä tekemistä Pi:llä on painovoiman kanssa? . Langallinen (8. maaliskuuta 2013). Haettu 15. lokakuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 10. marraskuuta 2017. (määrätön)
↑ NIST .

Kirjallisuus

Martin Gardner. Kuusi sensaatiomaista löytöä // The Colossal Book of Mathematics . - New York: W. W. Norton & Company, 2001. - s . 674-694 . - ISBN 0-393-02023-1 .
Yoshio Mikami. Matematiikan kehitys Kiinassa ja Japanissa. - BG Teubner, 1913. - S. 135.
Petr Beckmann. Piin historia. - Macmillan, 1971. - S. 101, 170. - ISBN 978-0-312-38185-1 .
Roger Herz-Fischler. Suuren pyramidin muoto. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - S. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Ottmar Beucher. Matlab ja Simulink. - Pearson Education, 2008. - S. 195. - ISBN 978-3-8273-7340-3 .
K. Ayob. Digitaaliset suodattimet laitteistossa: Käytännön opas laiteohjelmistosuunnittelijoille. - Trafford Publishing, 2008. - S. 278. - ISBN 978-1-4251-4246-9 .
Manfred Robert Schroeder. Numeroteoria tieteessä ja viestinnässä. – 2. - Springer, 2008. - S. 26–28. - ISBN 978-3-540-85297-1 .
John D Barrow. Luonnon vakiot . - Lontoo: Jonathan Cape, 2002. - ISBN 0-224-06135-6 .
Richard Arratia, Larry Goldstein, Louis Gordon. Poissonin approksimaatio ja Chen-Steinin menetelmä // Tilastotiede . - 1990. - V. 5 , no. 4 . — S. 403–434 . - doi : 10.1214/ss/1177012015 . — .
Charles Smith. Perintömme suuressa pyramidissa. - Kessinger Publishing, 2004. - S. 39. - ISBN 1-4179-7429-X .
Steven A. Leduc. Cracking the AP Physics B&C Exam, 2004–2005 painos. - Princeton Review Publishing, 2003. - S. 25. - ISBN 0-375-76387-2 .
Rydbergin vakio ajat c hertseinä . Fysikaaliset perusvakiot . NIST. Haettu: 25. heinäkuuta 2011. (määrätön)
Randall Munroe. Mitä jos?. - 2014. - ISBN 9781848549562 .
Roger Herz-Fischler. Suuren pyramidin muoto. - Wilfrid Laurier University Press, 2000. - S. 67. - ISBN 978-0-889-20324-2 .
Eric W. Weisstein. CRC:n tiivis matematiikan tietosanakirja. - CRC Press, 2003. - P. 2232. - ISBN 978-1-58488-347-0 .

Linkit

V. Levshin. Hajautettujen tieteiden maisteri. - Moskova: Lastenkirjallisuus, 1970. - S. 256.
Hardy, G.H. - Matemaatikon anteeksipyyntö . – New York: Cambridge University Press, 1993, ( ISBN 0-521-42706-1 )
Weisstein, Eric W. Almost Integer (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Useita matemaattisia yhteensattumia futilitycloset.comin "Tiede ja matematiikka" -osiossa
Press, WH, näennäisesti merkittäviä matemaattisia yhteensattumia on helppo luoda