Matriisin kvanttimekaniikka

Matriisikvanttimekaniikka ( matriisimekaniikka ) on Werner Heisenbergin , Max Bornin ja Pascual Jordanin vuonna 1925 luoma formulaatio kvanttimekaniikasta . Matriisikvanttimekaniikka oli ensimmäinen käsitteellisesti autonominen ja loogisesti johdonmukainen kvanttimekaniikan muotoilu. Hänen kuvauksensa kvanttihyppyistä korvasi Bohrin mallin elektroniradalle . Tämä tehtiin tulkitsemalla hiukkasten fysikaaliset ominaisuudet matriiseiksi , jotka kehittyvät ajan myötä. Matriisimekaniikka vastaa kvanttimekaniikan Schrödingerin aaltoformulaatiota [1] , kuten se ilmenee Diracin bra ja ket -merkinnässä .

Toisin kuin aaltoformulaatiossa, matriisimekaniikassa operaattorien spektrit (pääasiassa energiaspektrit) saadaan tikapuuoperaattoreiden puhtaasti algebrallisilla menetelmillä [2] . Näiden menetelmien perusteella Wolfgang Pauli sai vetyatomin spektrin vuonna 1926 [3] ennen aaltomekaniikan kehitystä.

Matriisimekaniikan kehittäminen

Vuonna 1925 Werner Heisenberg , Max Born ja Pascual Jordan muotoilivat matriisikvanttimekaniikan [4] .

Ilmestymisvaihe Helgolandissa

Vuonna 1925 Werner Heisenberg työskenteli Göttingenissä vedyn spektrilinjojen laskemisongelman parissa . Toukokuuhun 1925 mennessä hän yritti kuvata atomijärjestelmiä vain havainnoitavissa olevina . Heisenberg lähti 7. kesäkuuta Helgolandin siitepölyttömälle saarelle Pohjanmerellä välttääkseen akuutin heinänuhan vaikutukset . Siellä ollessaan Goethen West-East Divanin säkeiden kiipeämisen ja ulkoa opettelemisen välillä hän jatkoi spektriongelman spekulointia ja lopulta tajusi, että ei- työmatkalla olevien havaintojen olettaminen voisi ratkaista ongelman. Myöhemmin hän kirjoitti:

Kello oli noin kolme aamulla, kun laskelman lopputulos ilmestyi eteeni. Aluksi olin syvästi järkyttynyt. Olin niin innoissani, etten voinut ajatella unta. Joten lähdin talosta ja odotin auringonnousua kiven huipulla [5] .

Kolme perusartikkelia

Palattuaan Göttingeniin Heisenberg näytti Wolfgang Paulille laskelmiaan ja huomautti kerran:

Minulle se on edelleen epämääräinen ja epäselvä, mutta näyttää siltä, että elektronit eivät enää kiertää [6] .

Heinäkuun 9. päivänä Heisenberg luovutti saman paperin laskelmillaan Max Bornille ja totesi, että "hän kirjoitti hullun paperin eikä uskaltanut lähettää sitä julkaistavaksi ja että Bornin tulisi lukea se ja neuvoa häntä" ennen julkaisemista. Heisenberg lähti sitten hetkeksi jättäen Bornin analysoimaan paperia [7] .

Kirjoituksessa Heisenberg muotoili kvanttiteorian ilman selkeitä elektroniradat. Hendrik Kramers oli aiemmin laskenut spektrilinjojen suhteelliset intensiteetit Sommerfeld-mallissa tulkitsemalla kiertoradan Fourier-kertoimet intensiteeteiksi. Mutta hänen vastauksensa, kuten kaikki muutkin vanhan kvanttiteorian laskelmat, piti paikkansa vain suurille kiertoradoille .

Tehtyään yhteistyötä Kramersin [8] kanssa Heisenberg alkoi ymmärtää, että siirtymätodennäköisyydet eivät ole täysin klassisia suureita, koska Fourier-sarjan tulisi sisältää vain kvanttihyppyissä havaitut taajuudet, ei fiktiivisiä, jotka tulevat tarkan Fourier-analyysistä. klassiset kiertoradat. Hän korvasi klassisen Fourier-sarjan kertoimien matriisilla, Fourier-sarjan sumealla kvanttianalogilla. Klassisesti Fourier-kertoimet antavat emittoidun säteilyn intensiteetin, joten kvanttimekaniikassa koordinaattioperaattorin matriisielementtien suuruus oli säteilyn intensiteetti kirkkaiden viivojen spektrissä. Heisenbergin muotoilussa suuret olivat klassinen asema ja momentti, mutta nyt ne eivät olleet enää hyvin määriteltyjä. Jokaista arvoa edusti joukko Fourier-kertoimia kahdella indeksillä, jotka vastasivat alku- ja lopputilaa [9] .

Kun Born luki paperin, hän tajusi, että sanamuoto voitiin tulkita ja laajentaa matriisien systemaattiseen kieleen [10] , jota hän oli opiskellut Jacob Rosanesin [11] johdolla Breslaun yliopistossa . Born ryhtyi assistenttinsa ja entisen opiskelijansa Pascual Jordanin avulla välittömästi analysoimaan ja laajentamaan sitä, ja he lähettivät tulokset julkaistavaksi; lehti vastaanotettiin julkaistavaksi vain 60 päivää Heisenbergin [12] julkaisun jälkeen .

Kaikki kolme kirjoittajaa jättivät julkaistavaksi ennen vuoden loppua seurantapaperin [13] (lyhyt katsaus Bornin rooliin matriisimekaniikan kehittämisessä sekä keskustelu todennäköisyysamplitudien eikommutatiivisuudesta. , löytyy Jeremy Bernsteinin julkaisusta [14] . Yksityiskohtainen historiallinen ja tekninen raportti löytyy julkaisusta Mehra and Rechenberg's Historical Development of Quantum Theory, Volume 3. Formulation of Matrix Mechanics and Its Modifications 1925-1926 [15] )

Kolme perusartikkelia:

W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (vastaanotettu 29. heinäkuuta 1925). [Englanninkielinen käännös julkaisussa: BL van der Waerden, toimittaja, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (englanninkielinen nimi: Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations ).]
M. Born ja P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (vastaanotettu 27. syyskuuta 1925). [Englanninkielinen käännös julkaisussa: BL van der Waerden, toimittaja, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (englanninkielinen nimi: On Quantum Mechanics ).]
M. Born, W. Heisenberg ja P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1926 (vastaanotettu 16. marraskuuta 1925). [Englanninkielinen käännös julkaisussa: BL van der Waerden, toimittaja, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (englanninkielinen otsikko: On Quantum Mechanics II ).]

Siihen asti fyysikot käyttivät matriiseja harvoin; niiden katsottiin kuuluvan puhtaan matematiikan maailmaan. Gustav Mie käytti niitä sähködynamiikkaa käsittelevässä paperissa vuonna 1912, ja Born käytti niitä kidehilojen teoriaa koskevassa työssään vuonna 1921. Vaikka näissä tapauksissa käytettiin matriiseja, matriisien algebra kertolaskuineen ei tullut kuvaan, kuten kvanttimekaniikan matriisiformulaatiossa [16] .

Born kuitenkin oppi matriisialgebran Rosanesilta, kuten todettiin, mutta Born oppi myös Hilbertin integraaliyhtälöiden teorian ja toisen asteen muodot äärettömälle määrälle muuttujia, kuten voidaan nähdä Bornin lainauksesta Hilbertin teoksesta Grundzüge einer allgemeinen Theorie der. Linearen Integralgleichungen julkaistiin vuonna 1912 [17] [18] .

Jordan oli myös hyvin valmistautunut tähän tehtävään. Hän oli useita vuosia Richard Courantin assistenttina Göttingenissä Courantin ja David Hilbertin Matemaattisen fysiikan menetelmät I:n valmistelun aikana, joka julkaistiin vuonna 1924. Tämä kirja sisälsi onneksi monia matemaattisia työkaluja, joita tarvitaan jatkokehitykseen. kvanttimekaniikka.

Vuonna 1926 John von Neumannista tuli David Hilbertin assistentti ja hän loi termin Hilbert-avaruus kuvaamaan kvanttimekaniikan kehittämisessä käytettyä algebraa ja analyysiä [20] [21] .

Keskeisen panoksen tähän muotoiluun antoi Dirac vuonna 1925 uudelleentulkintaa/synteesiä käsittelevässä paperissaan [22] , joka keksi nykyään yleisesti käytetyn kielen ja rakenteen osoittaen täysin koko rakenteen ei-kommutatiivisen rakenteen.

Heisenbergin perustelut

Ennen matriisimekaniikan tuloa vanha kvanttiteoria kuvasi hiukkasen liikettä klassisella kiertoradalla, jolla on hyvin määritelty sijainti ja liikemäärä X ( t ), P ( t ) sillä rajoituksella, että integraali ajassa yhden jakson T aikana. liikemäärä kertaa nopeuden on oltava Planckin vakion positiivinen kerrannainen kokonaisluku

\int _{0}^{T}P\;{dX \over dt}\;dt=\int _{0}^{T}P\;dX=nh

Vaikka tämä rajoitus valitsee oikein radat, joilla on enemmän tai vähemmän oikeita energia-arvoja En , vanha kvanttimekaaninen formalismi ei kuvaillut ajasta riippuvia prosesseja, kuten säteilyn emissiota tai absorptiota.

Kun klassinen hiukkanen on heikosti kytketty säteilykenttään niin, että säteilyvaimennus voidaan jättää huomiotta, se säteilee kuviossa, joka toistaa itseään joka kierrosjakso . Emitoidun aallon muodostavat taajuudet ovat tällöin kiertoratataajuuden kerrannaisia, ja tämä heijastaa sitä tosiasiaa, että X ( t ) on jaksollinen, joten sen Fourier-esityksen taajuudet ovat vain 2π n/T.

{\displaystyle X(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi int/T}X_{n))

X n :n kertoimet ovat kompleksilukuja . Niiden, joilla on negatiiviset taajuudet, täytyy olla monimutkaisia konjugaatteja positiivisten taajuuksien kanssa, joten X ( t ) on aina todellinen,

X_{n}=X_{-n}^{*}

Toisaalta kvanttimekaaninen hiukkanen ei voi säteillä jatkuvasti, se voi lähettää vain fotoneja. Olettaen, että kvanttihiukkanen lähti kiertoradalta numero n , emittoi fotonin ja päätyi sitten kiertoradalle m , havaitsemme, että fotonien energia on yhtä suuri kuin energiatasoero E n − E m , mikä tarkoittaa, että sen taajuus on yhtä suuri ( E n − E m ) / h .

Suurille luvuille n ja m , mutta suhteellisen pienille n − m , nämä ovat klassisia taajuuksia Bohrin vastaavuusperiaatteen mukaisesti .

E_{n}-E_{m}\noin h(nm)/T

Yllä olevassa kaavassa T on joko n: n tai m :n klassinen jakso , koska niiden välinen ero on suurempaa h :ssa . Mutta pienille n ja m tai suurille n − m taajuudet eivät ole minkään yksittäisen taajuuden kokonaislukukertoja.

Koska hiukkasen emittoimat taajuudet ovat samat kuin sen liikkeen Fourier-kuvauksen taajuudet, jokin hiukkasen ajasta riippuvaisessa kuvauksessa muuttuu taajuudella ( E n − E m )/ h . Heisenberg kutsui tätä suuruutta X nm :ksi ja vaati sen vähentämistä klassisiin Fourier-kertoimiin klassisessa rajassa. Suurille arvoille n , m, mutta suhteellisen pienellä n - m , X nm on ( n - m ) - . klassisen liikkeen Fourier-kerroin kiertoradalla n . Koska X nm :n taajuus on päinvastainen kuin X mn , ehto , että X on todellinen, saa muodon

X_{nm}=X_{mn}^{*}

Määritelmän mukaan X nm : llä on vain taajuus ( E n − E m )/ h , joten sen aikakehitys on yksinkertainen:

X_{nm}(t)=e^{2\pi i(E_{n}-E_{m})t/h}X_{nm}(0)

Tämä on Heisenbergin liikeyhtälön alkuperäinen muoto.

Kun kaksi matriisia X nm ja P nm kuvaavat kahta fysikaalista suuretta, Heisenberg voisi muodostaa uuden samantyyppisen matriisin yhdistämällä termit X nk P km , jotka myös värähtelevät halutulla taajuudella. Koska kahden suuren tulon Fourier-kertoimet ovat niiden kunkin Fourier-kertoimien konvoluutioita erikseen, Fourier-sarjan vastaavuus antoi Heisenbergille mahdollisuuden johtaa sääntö, jolla matriisien tulo tulisi laskea.

{\displaystyle (XP)_{mn}=\sum _{k=0}^{\infty }X_{mk}P_{kn))

Born huomautti, että tämä on matriisin kertolaskulaki , joten paikka, liikemäärä, energia, kaikki teoriassa havaittavat suureet tulkitaan matriiseiksi. Tämän säännön mukaan tulo riippuu matriisien järjestyksestä: XP on eri kuin PX .

X-matriisi on täydellinen kuvaus kvanttimekaanisen hiukkasen liikkeestä. Koska kvanttiliikkeen taajuudet eivät ole yhteisen taajuuden kerrannaisia, matriisielementtejä ei voida tulkita tarkan klassisen liikeradan Fourier-kertoimiksi . Kuitenkin sekä matriisit X ( t ) että P ( t ) täyttävät klassiset liikeyhtälöt; katso myös Ehrenfestin lause alla.

Matriisien perusominaisuudet

Kun Werner Heisenberg, Max Born ja Pascual Jordan esittelivät matriimekaniikan vuonna 1925, sitä ei hyväksytty heti ja se oli aluksi kiistanalainen. Schrödingerin myöhempi kuvaus aaltomekaniikasta sai enemmän tukea.

Osa syynä oli se, että Heisenbergin muotoilu oli tuolloin oudolla matemaattisella kielellä, kun taas Schrödingerin muotoilu perustui tuttuihin aaltoyhtälöihin. Mutta siihen oli myös syvempi sosiologinen syy. Kvanttimekaniikka kehittyi kahdella tavalla: toista johti Einstein, joka korosti fotoneille ehdottamansa aalto-hiukkasten kaksinaisuutta, ja toista Bohr, joka korosti Bohrin löytämiä diskreettejä energiatiloja ja kvanttihyppyjä. De Broglie toisti Einsteinin teoriassa erilliset energiatilat - kvanttitila on seisovan aallon tila, ja tämä antoi Einsteinin koulun kannattajille toivoa, että kaikki kvanttimekaniikan diskreetit aspektit sisällytettäisiin jatkuvan aallon mekaniikkaan.

Toisaalta matriisimekaniikka syntyi Bohrin erillisten energiatilojen ja kvanttihyppyjen koulusta. Bohrin seuraajat eivät arvostaneet fyysisiä malleja, jotka kuvasivat elektroneja aaltoina tai millään tavalla. He keskittyivät mieluummin määriin, jotka liittyvät suoraan kokeisiin.

Atomifysiikassa spektroskopia on tarjonnut havainnointitietoa atomien siirtymistä, joita tapahtuu, kun atomit ovat vuorovaikutuksessa valokvanttien kanssa . Bohrin seuraajat vaativat, että teoriassa esiintyisi vain ne suureet, jotka periaatteessa voidaan mitata spektroskopialla. Nämä suureet sisältävät spektrilinjojen energiatasot ja intensiteetit, mutta eivät sisällä hiukkasen tarkkaa sijaintia sen Bohrin kiertoradalla. On hyvin vaikea kuvitella koetta, joka voisi määrittää, onko vetyatomin perustilassa oleva elektroni ytimestä oikealla vai vasemmalla puolella. Oli syvä vakaumus siitä, että tällaisiin kysymyksiin ei ollut vastauksia.

Matriisiformulaatio rakentui sille olettamukselle, että kaikki fyysiset havainnot esitetään matriiseilla, joiden alkiot on indeksoitu kahdella eri energiatasolla. Lopulta matriisin ominaisarvojen joukko ymmärrettiin kaikkien mahdollisten arvojen joukkona, jotka havaittavalla voi olla. Koska Heisenberg-matriisit ovat hermiittisiä , ominaisarvot ovat todellisia.

Mitattaessa havaittavaa saadaan tietty ominaisarvo, joka vastaa järjestelmän tilaa edustavaa ominaisvektoria välittömästi mittauksen jälkeen. Mittausaktio matriisimekaniikassa "romaa" järjestelmän tilan. Jos kahta havaittavaa mitataan samanaikaisesti, järjestelmän tila romahtaa näiden kahden havainnoinnin yhteiseksi ominaisvektoriksi. Koska useimmilla matriiseilla ei ole yhteisiä ominaisvektoreita, useimpia havaintoja ei voida koskaan mitata tarkasti samanaikaisesti. Tämä on epävarmuusperiaate .

Jos kahdella matriisilla on yhteiset ominaisvektorit, ne voidaan diagonalisoida samanaikaisesti. Kantaessa, jossa ne ovat molemmat diagonaalisia, niiden tulo ei riipu niiden järjestyksestä, koska diagonaalimatriisien kertolasku on yksinkertaisesti lukujen kertolasku. Epävarmuusperiaate sitä vastoin on ilmaus siitä tosiasiasta, että usein kaksi matriisia A ja B eivät aina kommutoi, eli AB − BA ei välttämättä ole yhtä suuri kuin 0. Matriisimekaniikan peruskommutaatiorelaatio,

{\displaystyle \sum _{k}(X_{nk}P_{km}-P_{nk}X_{km})={ih \over 2\pi }~\delta _{nm))

tarkoittaa, että ei ole olemassa tiloja, joilla on samanaikaisesti tietty asema ja liikemäärä .

Tämä epävarmuusperiaate pätee myös moniin muihin havainnoitavissa oleviin pareihin. Esimerkiksi energia ei myöskään kommuteeru koordinaatin kanssa, joten elektronin paikkaa ja energiaa atomissa on mahdotonta määrittää tarkasti.

Nobel-palkinto

Vuonna 1928 Albert Einstein nimitti Heisenbergin, Bornin ja Jordanin Nobelin fysiikan palkinnon saajaksi [23] . Vuoden 1932 fysiikan Nobelin palkinnon julkistamista lykättiin marraskuuhun 1933 [24] . Silloin Heisenbergille ilmoitettiin saaneensa vuoden 1932 palkinnon "kvanttimekaniikan luomisesta, jonka soveltaminen johti muun muassa vedyn allotrooppisten muotojen löytämiseen" [25] ja Erwin Schrödinger ja Paul Adrien Maurice Dirac jakoi vuoden 1933 palkinnon "atomiteorian uusien tuottavien muotojen löytämisestä" [25] .

Voidaan ihmetellä, miksi Bornille ei myönnetty palkintoa vuonna 1932 yhdessä Heisenbergin kanssa, ja Bernstein spekuloi tätä. Yksi niistä koskee Jordanin liittymistä natsipuolueeseen 1. toukokuuta 1933 ja iskusotilaiksi ryhtymistä [26] . Jordanin puoluesidonnaisuus ja Jordanin siteet Bourneen ovat saattaneet vaikuttaa Bournen mahdollisuuksiin voittaa palkinto tuolloin. Bernstein huomauttaa lisäksi, että kun Born vihdoin sai palkinnon vuonna 1954, Jordan oli vielä elossa, ja palkinto myönnettiin kvanttimekaniikan tilastollisesta tulkinnasta, joka johtuu vain Bornille [27] .

Heisenbergin tiedonanto Born of Heisenbergin vuoden 1932 palkinnolle ja siitä, että Born sai palkinnon vuonna 1954, on myös opettavainen arvioitaessa, pitäisikö Born jakaa palkinto Heisenbergin kanssa. 25. marraskuuta 1933 Born sai Heisenbergiltä kirjeen, jossa hän sanoi, että hän oli myöhässä kirjeen kanssa "huonon omantunnon" vuoksi, että hän yksin sai palkinnon "työstä, joka tehtiin Göttingenissä yhteistyössä - te, Jordan ja minä." Heisenberg jatkoi, että Bornin ja Jordanin panosta kvanttimekaniikkaan ei voida muuttaa "ulkopuolisella väärällä päätöksellä" [28] .

Vuonna 1954 Heisenberg kirjoitti Max Planckille omistetun artikkelin hänen 1900-luvun näkemyksestään. Lehdessä Heisenberg antoi tunnustusta Bornille ja Jordanille matriisimekaniikan lopullisesta matemaattisesta muotoilusta, ja sitten Heisenberg korosti, kuinka suuri heidän panoksensa oli kvanttimekaniikassa, joka "ei ole saanut asianmukaista tunnustusta yleisön silmissä" [29] . .

Matemaattinen kehitys

Kun Heisenberg esitteli X :n ja P :n matriisit , hän pystyi löytämään niiden matriisielementit erikoistapauksissa arvauksen avulla vastaavuusperiaatteen ohjaamana . Koska matriisielementit ovat klassisten kiertoratojen Fourier-kertoimien kvanttimekaanisia vastineita, yksinkertaisin tapaus on harmoninen oskillaattori , jossa klassinen koordinaatti ja liikemäärä X ( t ) ja P ( t ) ovat sinimuotoisia.

Harmoninen oskillaattori

Yksiköissä, joissa oskillaattorin massa ja taajuus ovat yhtä (katso dimensioimattomuus ), oskillaattorin energia on [30]

H={1 \over 2}(P^{2}+X^{2})~.

Tasojoukko H on myötäpäivään kiertävät kiertoradat, ja ne ovat sisäkkäisiä ympyröitä vaiheavaruudessa. Klassinen kiertorata energialla E on

X(t)={\sqrt {2E}}\cos(t),\qquad P(t)=-{\sqrt {2E}}\sin(t)~.

Vanha kvanttiteoria määrää, että P dX :n integraalin kiertoradalla, joka on vaiheavaruudessa olevan ympyrän pinta-ala, on oltava Planckin vakion kokonaislukukerrannainen . Ympyrän, jonka säde on √ 2 E , pinta-ala on 2 πE . Energiaa siis

E={nh \over 2\pi }~,

annettu luonnollisina yksiköinä , missä ħ = 1 on kokonaisluku.

X ( t ) ja P ( t ) Fourier-komponentit yksinkertaistuvat, varsinkin jos ne yhdistetään suureiksi

A(t)=X(t)+iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{-it},\quad A^{\dagger }(t)=X(t) -iP(t)={\sqrt {2E}}\,e^{it}

Molemmilla suureilla A ja A † on vain yksi taajuus, ja X ja P voidaan rekonstruoida niiden summasta ja erotuksesta.

Koska A ( t ) sisältää vain pienitaajuisen klassisen Fourier-sarjan ja matriisielementti A mn on ( m − n ) klassisen kiertoradan Fourier-kerroin, A :n matriisi on nollasta poikkeava vain diagonaalin yläpuolella olevissa kohdissa. ottaa arvot√2 E n . _ A † :n matriisi on myös nollasta poikkeava vain diagonaalin alapuolella olevissa kohdissa samoilla merkinnöillä.

Siten kohdista A ja A † voidaan kirjoittaa lausekkeita koordinaatille

{\sqrt {2}}X(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&0&\cdots \\{\sqrt {1}}&0&{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&{\sqrt {2}}&0&{\sqrt {3}}&0&\cdots \\0&0&{\sqrt {3} }&0&{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix)),

ja vauhtia

{\sqrt {2}}P(0)={\sqrt {\frac {h}{2\pi }}}\;{\begin{bmatrix}0&-i{\sqrt {1}}&0&0&0& \cdots \\i{\sqrt {1}}&0&-i{\sqrt {2}}&0&0&\cdots \\0&i{\sqrt {2}}&0&-i{\sqrt {3}}&0&\cdots \\ 0&0&i{\sqrt {3}}&0&-i{\sqrt {4}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{bmatrix)),

jotka ovat tekijään saakka harmonisen oskillaattorin Heisenberg-matriiseja. Molemmat matriisit ovat hermiittisiä , koska ne on rakennettu reaaliarvojen Fourier-kertoimista.

X ( t ) ja P ( t ) aikariippuvuuden haku on yksinkertaistettu, koska ne ovat kvantti-Fourier-kertoimia, joten niiden kehitystä ajan mittaan kuvataan lausekkeilla

X_{mn}(t)=X_{mn}(0)e^{i(E_{m}-E_{n})t},\quad P_{mn}(t)=P_{mn} (0)e^{i(E_{m}-E_{n})t}~.

Matriisien X ja P tulo ei ole hermiittinen matriisi, vaan siinä on todellisia ja kuvitteellisia osia. Reaaliosa on puolet symmetrisestä lausekkeesta XP + PX ja imaginaariosa on verrannollinen kommutaattoriin

[X,P]=(XP-PX)

Suoralla korvauksella voidaan varmistaa, että XP − PX harmonisen oskillaattorin tapauksessa on yhtä suuri kuin iħ kerrottuna yhdellä .

Samoin on helppo tarkistaa, että matriisi

H={1 \over 2}(X^{2}+P^{2})

diagonaali ominaisarvoilla E i . _

Energiansäästö

Harmonisen oskillaattorin kvanttikuvaus on tärkeä käytännön esimerkki. On helpompi löytää matriiseja kuin määrittää näiden erikoismuotojen yleiset ehdot. Tästä syystä Heisenberg tutki anharmonista oskillaattoria Hamiltonin kanssa

H={1 \over 2}P^{2}+{1 \over 2}X^{2}+\epsilon X^{3}~.

Tällöin X ja P eivät ole enää yksinkertaisia diagonaalista poikkeavia matriiseja, koska vastaavat klassiset kiertoradat puristetaan hieman ja siirretään siten, että niillä on Fourier-kertoimet jokaisella klassisella taajuudella. Matriisielementtien määrittelemiseksi Heisenberg vaati, että klassiset liikeyhtälöt noudattavat matriisiyhtälöitä:

{dX \over dt}=P\quad {dP \over dt}=-X-3\epsilon X^{2}~.

Hän huomasi, että jos tämä voitaisiin tehdä, niin H :n, jota pidetään X :n ja P :n matriisifunktiona , olisi nollaaikainen derivaatta.

{dH \over dt}=P*{dP \over dt}+(X+3\epsilon X^{2})*{dX \over dt}=0~,

missä A∗B on antikommutaattori ,

A*B={1 \over 2}(AB+BA)~

Ottaen huomioon, että kaikilla diagonaalisilla elementeillä on nollasta poikkeava taajuus; vakio H tarkoittaa, että H on diagonaali. Heisenberg ymmärsi, että tässä järjestelmässä energia voitiin täsmälleen säilyä mielivaltaisessa kvanttijärjestelmässä, mikä oli erittäin rohkaiseva merkki.

Fotonien emissio- ja absorptioprosessi näytti vaativan, että energian säilymisen laki parhaimmillaankin toimisi keskimäärin. Jos aalto, joka sisältää täsmälleen yhden fotonin, kulkee useiden atomien läpi ja yksi niistä absorboi sen, sen atomin on kerrottava muille, etteivät he enää pysty absorboimaan fotonia. Mutta jos atomit ovat kaukana toisistaan, mikään signaali ei voi saavuttaa muita atomeja ajoissa, ja ne voivat joka tapauksessa absorboida saman fotonin ja haihduttaa energiaa ympäristöön. Kun signaali saavuttaa ne, muiden atomien on palautettava se energia jollakin tavalla . Tämä paradoksi johti Bohrin, Kramersin ja Slaterin luopumaan tarkasta energiansäästöstä. Heisenbergin formalismi, joka laajennettiin sähkömagneettiseen kenttään, pyrki selvästi kiertämään tämän ongelman vihjailemalla, että teorian tulkinta sisältäisi aaltofunktion romahtamisen .

Erottautumistemppu - kanoniset kommutaatiorelaatiot

Vaatimus säilyttää klassiset liikeyhtälöt ei ole riittävän vahva ehto matriisielementtien määrittelylle. Koska Planckin vakio ei esiinny klassisissa yhtälöissä, matriiseja voidaan rakentaa monille eri arvoille ħ ja ne silti täyttävät liikeyhtälöt, mutta eri energiatasoilla.

Joten toteuttaakseen ohjelmansa Heisenbergin oli käytettävä vanhaa kvanttiehtoa energiatasojen kiinnittämiseen, sitten täytettävä matriisit klassisten yhtälöiden Fourier-kertoimilla ja muutettava sitten matriisikertoimia ja energiatasoja hieman varmistaakseen klassisten yhtälöiden toimivuuden. pidä. Tämä lähestymistapa ei sovi, koska vanhat kvanttiehdot viittaavat alueeseen, jota rajoittavat tarkat klassiset kiertoradat, jotka eivät ole uudessa formalismissa.

Mikä tärkeintä, Heisenberg löysi tavan kääntää vanha kvanttiehto yksinkertaiseksi matriisimekaniikan lauseeksi.

Tätä varten hän tutki toimintaintegraalia matriisisuureena,

\int _{0}^{T}\sum _{k}P_{mk}(t){dX_{kn} \over dt}dt\,\,{\stackrel {\scriptstyle ?}{\ noin }}\,\,J_{mn}~.

Tässä integraalissa on useita ongelmia, jotka kaikki johtuvat matriisiformalismin yhteensopimattomuudesta vanhan kiertoradan kuvan kanssa. Mitä jaksoa T tulisi käyttää? Puoliklassisesti tämän pitäisi olla joko m tai n , mutta ero vastaa järjestyksessä ħ , ja vastausta haetaan samassa tarkkuusjärjestyksessä ħ . Kvanttiehto kertoo, että J mn on 2π n diagonaalisesti, joten se tosiasia, että J on klassisesti vakio, kertoo, että diagonaalin ulkopuoliset elementit ovat nollia.

Hänen ratkaiseva löytönsä oli erottaa kvanttitila n: n suhteen . Tämä ajatus on täysin järkevä vain klassisessa rajassa, jossa n ei ole kokonaisluku vaan jatkuva toimintamuuttuja J , mutta Heisenberg teki samanlaisia manipulaatioita matriiseilla, joissa välilausekkeet ovat joskus diskreettejä eroja ja joskus derivaattoja.

Jatkossa tehdään selvyyden vuoksi klassisten muuttujien differentiointi, jonka jälkeen siirrytään vastaavuusperiaatteen ohjaamana matriisimekaniikkaan.

Klassisessa asetelmassa derivaatta on J määrittävän integraalin kokonaisderivaata J :n suhteen , joten se on täsmälleen 1.

{d \over dJ}\int _{0}^{T}PdX=1

=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}+P{d \over dJ}{dX \over dt}\right)=\int _{0}^{T}dt\left({dP \over dJ}{dX \over dt}-{dP \over dt}{dX \over dJ}\right)\,

jossa derivaatat dP/dJ ja dX/dJ tulee tulkita J :n eroiksi vastaavina aikoina läheisillä kiertoradoilla, jotka saadaan erottamalla kiertoradan liikkeen Fourier-kertoimet. (Nämä derivaatat ovat vaiheavaruudessa symplektisesti ortogonaalisia aikaderivaatoihin dP/dt ja dX/dt ).

Lopullista lauseketta tarkennetaan ottamalla käyttöön muuttuja, joka on kanonisesti konjugoitu J : hen , jota kutsutaan kulmamuuttujaksi θ : Aikaderivaata on derivaatta suhteessa θ :aan kertoimeen 2π T asti ,

{2\pi \over T}\int _{0}^{T}dt\left({dp \over dJ}{dX \over d\theta }-{dP \over d\theta }{dX \over dJ}\right)=1\,.

Siten ehdon kvanttiintegraali on Poissonin hakasulkeiden X ja P yhden jakson keskiarvo.

Samanlainen funktion PdX Fourier-sarjan erotus osoittaa, että kaikki Poissonin hakasulkeen diagonaaliset elementit ovat nolla. Kahden kanonisesti konjugoidun muuttujan, kuten X ja P , Poissonin hakasulje saa vakioarvon 1, joten tämä integraali on todellakin arvon 1 keskiarvo; joten se on 1, kuten olemme aina tienneet, koska se on loppujen lopuksi dJ/dJ. Mutta Heisenberg, Born ja Jordan, toisin kuin Dirac, eivät olleet perehtyneet Poissonin hakasulkeiden teoriaan, joten heidän kohdallaan differentiaatio arvioitiin tehokkaasti { X, P } koordinaateissa J, θ.

Poisson-sululla, toisin kuin toimintaintegraalilla, on helppo tapa muuntaa matriisimekaniikka - se vastaa yleensä kahden muuttujan tulon imaginaarista osaa, kommutaattoria .

Tämän näkemiseksi on tarkasteltava kahden matriisin A ja B (antisymmetrisoitua) tuloa sovitusrajassa , jossa matriisielementit ovat hitaasti muuttuvia indeksin funktioita, pitäen mielessä, että klassisessa tapauksessa vastaus on nolla.

Vastaavuusrajassa, kun indeksit m , n ovat suuria ja läheisiä ja k , r pieniä, diagonaalisuunnassa matriisielementtien muutosnopeus on vastaavan klassisen suuren J -derivaatan matriisielementti. Siten on mahdollista siirtää mitä tahansa matriisin elementtiä diagonaalisesti käyttämällä vastaavuutta,

A_{(m+r)(n+r)}-A_{mn}\approx r\;\left({dA \over dJ}\right)_{mn}\,

jossa oikea puoli on itse asiassa vain dA/dJ :n ( m - n ) Fourier-komponentti kiertoradalla lähellä m tähän puoliklassiseen järjestykseen asti, eikä täydellinen hyvin määritelty matriisi.

Matriisielementin puoliklassinen aikaderivaata saadaan kertoimeen i saakka kertomalla etäisyydellä diagonaalista,

ikA_{m(m+k)}\noin \left({T \over 2\pi }{dA \over dt}\right)_{m(m+k)}=\left({dA \ yli d\theta }\right)_{m(m+k)}\,.

koska kerroin A m(m+k) on puoliklassisesti m :nnen klassisen kiertoradan k' :s Fourier-kerroin .

A:n ja B :n tulon imaginaarinen osa voidaan arvioida siirtämällä matriisielementtejä siten, että se toistaa klassisen vastauksen, joka on nolla.

Sitten johtava nollasta poikkeava jäännös määräytyy kokonaan siirtymän mukaan. Koska kaikki matriisielementit ovat indekseissä, jotka ovat lyhyen matkan päässä suuren indeksin ( m, m ) paikasta, on hyödyllistä ottaa käyttöön kaksi väliaikaista merkintää: A [ r,k ] = A (m+r)(m+ k) matriiseille ja ( dA/dJ )[ r ] klassisten suureiden r:nnelle Fourier-komponentille,

(AB-BA)[0,k]=\summa _{r=-\infty }^{\infty }\left(A[0,r]B[r,k]-A[r,k ]B[0,r]\oikea)

=\sum _{r}\left(\;A[-r+k,k]+(rk){dA \over dJ}[r]\;\right)\left(\;B[0 ,kr]+r{dB \over dJ}[rk]\;\oikea)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,.

Muuttamalla ensimmäisen summan summamuuttuja arvosta r arvoon r' = k - r , matriisielementistä tulee,

\sum _{r'}(\;A[r',k]-r'{dA \over dJ}[kr']\;)\left(\;B[0,r']+( kr'){dB \over dJ}[r']\;\right)-\sum _{r}A[r,k]B[0,r]\,

ja tämä osoittaa, että pääosa (klassinen) pienenee.

Korkein kvanttiosa, jos jätetään huomiotta korkeamman asteen johdannaisten tulo loppuosasta, niin

\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r'](kr')A[r',k]-{dA \over dJ}[kr']r'B [0,r']\oikea)

niin loppupeleissä

(AB-BA)[0,k]=\sum _{r'}\left(\;{dB \over dJ}[r']i{dA \over d\theta }[kr']- {dA \over dJ}[kr']i{dB \over d\theta }[r']\right)\,

joka voidaan tunnistaa i :llä kerrottuna Poissonin hakasulkeen k: nnella klassisella Fourier-komponentilla.

Heisenbergin alkuperäinen temppu erilaistumisen kanssa laajennettiin lopulta kvanttiehdon täydelliseen puoliklassiseen johtamiseen yhteistyössä Bornin ja Jordanin kanssa. Kun he onnistuivat vahvistamaan sen

{\frac {ih}{2\pi }}\{X,P\}_{\mathrm {PB} }\qquad \qquad \longmapsto \qquad \qquad [X,P]\equiv XP-PX ={\frac {ih}{2\pi }}\,

tämä ehto korvasi ja laajensi vanhan kvantisointisäännön, jolloin matriisielementit P ja X voidaan määrittää mielivaltaisessa järjestelmässä yksinkertaisesti Hamiltonin muodon avulla.

Uuden kvantisointisäännön oletettiin olevan universaalisti totta , vaikka johtaminen vanhasta kvanttiteoriasta vaati puoliklassista päättelyä. (1940-luvulla kuitenkin arvostettiin täydellistä kvanttikäsittelyä monimutkaisemmille hakasulkeille Poissonin hakasulkeiden jatkeena Moyalen hakasulkeisiin .)

Tilavektorit ja Heisenbergin yhtälö

Normaaliin kvanttimekaniikkaan siirtymiseksi tärkein lisäys oli kvanttitilavektori , jota nyt merkitään | ψ ⟩ on vektori, johon matriisit vaikuttavat. Ilman tilavektoria ei ole selvää, mitä liikettä Heisenberg-matriisit kuvaavat, koska ne sisältävät kaikki liikkeet jossain.

Tilavektorin tulkinnan, jonka komponentit on kirjoitettu muodossa ψ m , antoi Born. Tämä tulkinta on tilastollinen: matriisia A vastaavan fyysisen suuren mittauksen tulos on satunnaismuuttuja, jonka keskiarvo on yhtä suuri kuin

\sum _{mn}\psi _{m}^{*}A_{mn}\psi _{n}~.

Vaihtoehtoisesti ja vastaavasti tilavektori antaa kvanttijärjestelmän todennäköisyysamplitudin ψ n olla energiatilassa n .

Kun tilavektori otettiin käyttöön, matriisimekaniikka voitiin kiertää mille tahansa perustalle, jossa H - matriisin ei enää tarvinnut olla diagonaalinen. Heisenbergin liikeyhtälö alkuperäisessä muodossaan sanoo, että A mn kehittyy ajassa kuten Fourier-komponentti,

A_{mn}(t)=e^{i(E_{m}-E_{n})t}A_{mn}(0)~,

joka voidaan muuntaa differentiaalimuotoon

{dA_{mn} \over dt}=i(E_{m}-E_{n})A_{mn}~,

ja tämä voidaan muotoilla todeksi mielivaltaisesti huomioimalla, että H on diagonaali diagonaaliarvojen E m kanssa,

{dA \over dt}=i(HA-AH)~.

Nyt tämä on matriisiyhtälö, joka pätee missä tahansa kannassa. Tämä on Heisenbergin liikeyhtälön moderni muoto.

Sen muodollinen ratkaisu on:

\,A(t)=e^{iHt}A(0)e^{-iHt}~.

Kaikki nämä edellä mainitun liikeyhtälön muodot sanovat saman asian, että A ( t ) on ekvivalentti A (0) :lle kantarotaatiolla unitaarimatriisin e iHt avulla , mikä on systemaattinen kuva, jonka Dirac selvitti Bra and ket -merkinnöissään . .

Päinvastoin, kiertämällä tilavektorin kantaa kullakin ajanhetkellä e iHt :lla , voidaan eliminoida matriisien riippuvuus ajasta. Matriisit ovat nyt ajasta riippumattomia, mutta tilavektori pyörii,

|\psi (t)\rangle =e^{-iHt}|\psi (0)\rangle ,\;\;\;\;{d|\psi \rangle \over dt}=-iH| \psi \rangle~.

Tämä on tilavektorin Schrödinger-yhtälö , ja tämä ajasta riippuva kantamuutos vastaa muunnosta Schrödingerin esitykseen 〈x | ψ ⟩ = ψ(x) .

Kvanttimekaniikassa Heisenbergin esityksessä tilavektori | ψ ⟩ ei muutu ajan myötä, ja havaittava A täyttää Heisenbergin liikeyhtälön ,

${\frac {dA}{dt}}={i \over \hbar }[H,A]+{\frac {\partial A}{\partial t}}~.$

Lisätermi operaattoreille, kuten

A=(X+t^{2}P)

joilla on selkeä ajallinen riippuvuus yhtenäisen evoluution ajallisen riippuvuuden lisäksi.

Heisenbergin esitys ei erota aikaa avaruudesta, joten se sopii paremmin relativistisiin teorioihin kuin Schrödingerin yhtälö. Lisäksi samankaltaisuus klassisen fysiikan kanssa on ilmeisempi: klassisen mekaniikan Hamiltonin liikeyhtälöt palautetaan korvaamalla yllä oleva kommutaattori Poisson-sululla (katso myös alla). Stone-von Neumann-lauseen mukaan Heisenbergin ja Schrödingerin esityksen tulee olla yhtenäisesti ekvivalentteja, kuten alla on kuvattu.

Lisää tuloksia

Matriisimekaniikka kehittyi nopeasti moderniksi kvanttimekaniikaksi ja antoi alustavat fysikaaliset tulokset atomien spektreistä.

Aaltomekaniikka

Jordan totesi, että kommutaatiorelaatiot varmistavat, että P toimii differentiaalioperaattorina .

Suhde operaattoreille

[a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]\,

mahdollistaa kommutaattorin P laskemisen millä tahansa X :n potenssilla , ja tämä tarkoittaa sitä

[P,X^{n}]=-in~X^{n-1}\,

mikä yhdessä lineaarisuuden kanssa tarkoittaa, että P -kommutaattori erottaa tehokkaasti minkä tahansa analyyttisen matriisifunktion X.

Olettaen, että rajat on kohtuullisesti määritelty, tämä ulottuu mielivaltaisiin funktioihin - mutta laajennusta ei tarvitse tehdä selväksi, ellei vaadita tiettyä matemaattista tarkkuutta.

$[P,f(X)]=-if'(X)\,.$

Koska X on hermiittinen matriisi, sen on oltava diagonalisoitavissa, ja P :n äärellisestä muodosta käy selväksi, että jokainen reaaliluku voi olla ominaisarvo. Tämä monimutkaistaa matematiikkaa, koska jokaiselle avaruuden pisteelle on erillinen ominaisvektori.

Kantaessa, jossa X on diagonaali, mielivaltainen tila voidaan kirjoittaa superpositioksi tilojen ominaisarvoilla x tai

|\psi \rangle =\int _{x}\psi (x)|x\rangle \,

joten ψ (x) = ⟨x | ψ ⟩ ja operaattori X kertoo jokaisen ominaisvektorin x :llä ,

X|\psi \rangle =\int _{x}x\psi (x)|x\rangle ~.

Määrittelemme lineaarisen operaattorin D , joka erottaa ψ ,

D\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}\psi '(x)|x\rangle \,

ja huomioi se

(DX-XD)|\psi \rangle =\int _{x}\left[\left(x\psi (x)\oikea)'-x\psi '(x)\oikea]|x\ range =\int _{x}\psi (x)|x\rangle =|\psi \rangle \,

niin, että operaattori − iD noudattaa samaa kommutointisuhdetta kuin P . Siten P :n ja − iD : n välisen eron on vaihdettava X :n kanssa ,

[P+iD,X]=0\,

joten se voidaan diagonalisoida samanaikaisesti X :n kanssa: sen mihin tahansa X :n ominaistilaan vaikuttava arvo on jokin x :n ominaisarvon funktio f .

Tämän funktion on oltava todellinen, koska sekä P että − iD ovat hermiittejä,

(P+iD)|x\rangle =f(x)|x\rangle \,

kiertämällä kutakin tilaa f ( x ) , eli aaltofunktion vaiheen uudelleenmäärittely : $|x\rangle$

\psi (x)\rightarrow e^{-if(x)}\psi (x)\,

ID- lausetta muutetaan seuraavasti:

iD\rightarrow iD+f(X)\,

mikä tarkoittaa, että kierretyssä kannassa P on yhtä suuri kuin − iD .

Siksi X :n ominaisarvoille on aina perusta, jossa P :n vaikutus mihin tahansa aaltofunktioon tunnetaan:

P\int _{x}\psi (x)|x\rangle =\int _{x}-i\psi '(x)|x\rangle \,

ja Hamiltonin tässä perustassa on lineaarinen differentiaalioperaattori, joka vaikuttaa tilavektorin komponentteihin,

\left[{P^{2} \over 2m}+V(X)\right]\int _{x}\psi _{x}|x\rangle =\int _{x}\left[ -{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x)\right]\psi _{x}|x\rangle

Siten tilavektorin liikeyhtälö ei ole muuta kuin hyvin tunnettu differentiaaliyhtälö

$i{\partial \over \partial t}\psi _{t}(x)=\left[-{1 \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2)) +V(x)\oikea]\psi _{t}(x)\,.$

Koska D on differentiaalioperaattori, jotta se voidaan määritellä järkevästi, jokaisen tietyn arvon läheisyydessä on oltava ominaisarvot X. Tämä olettaa, että ainoa mahdollisuus on, että X :n kaikkien ominaisarvojen avaruus koostuu kaikista reaaliluvuista ja että P on iD vaiheenkäänteiseen asti .

Tämän johtamisen ankaraksi tekeminen edellyttää järkevää keskustelua funktioiden raja-avaruudesta, ja tässä avaruudessa on olemassa Stone–von Neumann -lause : kaikki kommutaatiosuhteita noudattavat operaattorit X ja P voivat vaikuttaa aaltofunktioiden avaruuteen, kun P on erilaistumisoperaattori. Tämä tarkoittaa, että Schrödinger-edustus on aina käytettävissä.

Matriisimekaniikka on luonnollisesti helposti laajennettavissa useisiin vapausasteisiin. Jokaisella vapausasteella on erillinen operaattori X ja erillinen tehollinen differentiaalioperaattori P , ja aaltofunktio on riippumattomien työskentelymuuttujien X kaikkien mahdollisten ominaisarvojen funktio.

[X_{i},X_{j}]=0\,

[P_{i},P_{j}]=0\,

[X_{i},P_{j}]=i\delta _{ij}\,.

Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että N vuorovaikutuksessa olevan hiukkasen järjestelmää kolmessa ulottuvuudessa kuvataan yhdellä vektorilla, jonka komponentit kannassa, jossa kaikki X :t ovat diagonaaleja, on funktio 3 N - ulotteisessa avaruudessa , joka kuvaa niiden kaikkia mahdollisia paikkoja . suurempi joukko arvoja kuin vain joukko N 3D-aaltofunktiota yhdessä fyysisessä tilassa. Schrödinger päätyi itsenäisesti samaan johtopäätökseen ja osoitti lopulta oman ja Heisenbergin formalismin vastaavuuden.

Koska aaltofunktio on koko järjestelmän, ei minkään sen osan ominaisuus, kvanttimekaniikan kuvaus ei ole täysin paikallinen. Useiden kvanttihiukkasten kuvauksessa ne korreloidaan tai kietoutuvat . Tämä sotkeutuminen johtaa merkittäviin korrelaatioihin etäisten hiukkasten välillä, jotka rikkovat klassista Bellin epätasa-arvoa .

Vaikka hiukkaset voivat olla vain kahdessa koordinaatissa, 2N kompleksilukua tarvitaan aaltofunktion määrittämiseen N hiukkaselle , yksi jokaiselle yhteiselle koordinaattikonfiguraatiolle. Tämä on eksponentiaalisesti suuri luku, joten kvanttimekaniikan simulointi tietokoneella vaatii eksponentiaalisia resursseja. Käänteisesti tämä viittaa siihen, että on mahdollista löytää N -kokoisia kvanttijärjestelmiä, jotka laskevat fyysisesti vastauksia ongelmiin, joiden ratkaiseminen tavallisesti vaatisi 2N bittiä klassisesta tietokoneesta. Tämä havainto on kvanttilaskennan ytimessä .

Ehrenfestin lause

Ajasta riippumattomille operaattoreille X ja P ∂ A /∂ t = 0 yllä oleva Heisenbergin yhtälö pienenee [31] :

i\hbar {dA \over dt}=[A,H]=AH-HA

jossa hakasulkeet [*, *] tarkoittavat kommutaattoria. Hamiltonin operaattorit X ja P täyttävät yhtälöt: $p^{2}/2m+V(x)$

{dX \over dt}={P \over m},\quad {dP \over dt}=-\nabla V

jossa ensimmäinen on klassisesti nopeus ja toinen on klassisesti voima tai potentiaaligradientti . Ne toistavat Newtonin liikelakien Hamiltonin muodon . Heisenberg-kuvassa operaattorit X ja P täyttävät klassiset liikeyhtälöt. Voit ottaa yhtälön molempien puolien odotusarvon nähdäksesi, mikä on missä tahansa tilassa | ψ⟩ :

{\frac {d}{dt}}\langle X\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |X|\psi \rangle ={\frac {1}{m} }\langle \psi |P|\psi \rangle ={\frac {1}{m}}\langle P\rangle

{\frac {d}{dt}}\langle P\rangle ={\frac {d}{dt}}\langle \psi |P|\psi \rangle =\langle \psi |(-\nabla V)|\psi \rangle =-\langle \nabla V\rangle \,.

Siten operaattorien odotetut arvot missä tahansa tilassa noudattavat tarkasti Newtonin lakeja. Tämä on Ehrenfestin lause , joka on ilmeinen seuraus Heisenbergin liikeyhtälöistä, mutta se on vähemmän triviaali Schrödingerin maalauksessa, jossa Ehrenfest löysi sen.

Transformaatioteoria

Klassisessa mekaniikassa vaiheavaruuden koordinaattien kanoninen muunnos on muunnos, joka säilyttää Poissonin hakasulkeiden rakenteen. Uudet muuttujat x', p' on yhdistetty toisiinsa samoilla Poisson-suluilla kuin alkuperäiset muuttujat x, p . Ajan evoluutio on kanoninen muunnos, koska vaiheavaruus milloin tahansa on yhtä hyvä muuttujien valinta kuin faasiavaruus muinakin aikoina.

Hamiltonin virtaus on muodon kanoninen muunnos :

x\rightarrow x+dx=x+{\partial H \over \partial p}dt

p\rightarrow p+dp=p-{\partial H \over \partial x}dt~.

Koska Hamiltonin on mielivaltainen x :n ja p :n funktio , on olemassa sellaisia äärettömän pieniä kanonisia muunnoksia, jotka vastaavat jokaista klassista suuretta G , jossa G toimii Hamiltonina luoden pistevirran vaiheavaruudessa ajan lisäyksellä s ,

dx={\partial G \over \partial p}ds=\{G,X\}ds\,

dp=-{\partial G \over \partial x}ds=\{G,P\}ds\,.

Funktion A ( x , p ) yleiselle muodolle vaiheavaruudessa sen äärettömän pieni muutos jokaisessa vaiheessa ds tässä kuvauksessa on

dA={\partial A \over \partial x}dx+{\partial A \over \partial p}dp=\{A,G\}ds\,.

Suuruutta G kutsutaan kanonisen muunnoksen äärettömäksi pieneksi generaattoriksi .

Kvanttimekaniikassa on G :n analogi , joka on hermiittinen matriisi, ja liikeyhtälöt annetaan kommutaattorien avulla,

dA=i[G,A]ds\,.

Äärettömän pienet kanoniset liikkeet voidaan integroida muodollisesti samalla tavalla kuin Heisenbergin liikeyhtälöt integroitiin:

A'=U^{\dagger }AU\,

jossa U = e iGs s on mielivaltainen parametri.

Siten kvanttikanonisen muunnoksen määritelmä on mielivaltainen kannan unitaarinen muutos kaikkien tilavektorien avaruudessa. U on mielivaltainen unitaarinen matriisi, joka määrittää kompleksisen kierron vaiheavaruudessa,

U^{\dagger }=U^{-1}\,.

Nämä muunnokset jättävät aaltofunktion komponenttien absoluuttisten arvojen neliösumman invariantiksi, kun taas ne muuntavat tilat, jotka ovat toistensa kerrannaisia (mukaan lukien tilat, jotka kerrotaan imaginaariluvuilla) tiloihin, joilla on samat kertoimet.

Matriisien tulkinta on, että ne toimivat liikegeneraattoreina tilaavaruudessa .

Esimerkiksi P:n luoma liike voidaan löytää ratkaisemalla Heisenbergin liikeyhtälö käyttämällä P :tä Hamiltonin,

dX=i[X,P]ds=ds\,

dP=i[P,P]ds=0\,.

Nämä ovat matriisin X käännöksiä identiteettimatriisin kerrannaisiksi,

X\rightarrow X+sI~.

Tämä on johdannaisoperaattorin D tulkinta : e iPs = e D , eksponentiaalinen derivaattaoperaattori on siirto ( Lagrangen siirtooperaattori) .

X -operaattori luo myös käännökset P :hen . Hamiltonin generoi käännöksiä ajassa , kulmaliikemäärä generoi kierroksia fyysisessä avaruudessa ja operaattori X 2 + P 2 kierroksia vaiheavaruudessa .

Kun muunnos, kuten kierto fyysisessä avaruudessa, liikkuu Hamiltonin kanssa, tätä muutosta kutsutaan Hamiltonin symmetriaksi – kierretyissä koordinaateissa annettu Hamiltonin on sama kuin alkuperäinen Hamiltonin. Tämä tarkoittaa, että Hamiltonin muutos infinitesimaalisen symmetrian L generaattorin vaikutuksesta katoaa,

{dH \over ds}=i[L,H]=0\,.

Tästä seuraa, että myös generaattorin muutos aikakäännöksen aikana katoaa ,

{dL \over dt}=i[H,L]=0\,

joten matriisi L on ajallisesti vakio – eli se on säilynyt.

Emmy Noether löysi infinitesimaalisen symmetrian generaattoreiden ja säilymislakien välisen vastaavuuden klassista mekaniikkaa varten, jossa Poissonin hakasulkeet ovat kommutaattorit , mutta kvanttimekaaninen päättely on identtinen. Kvanttimekaniikassa mikä tahansa unitaarisen symmetrian muunnos johtaa säilymislakiin, koska jos matriisilla U on ominaisuus,

U^{-1}HU=H\,

tästä seuraa siitä

UH=HU

ja siten U :n aikaderivaata on nolla – se säilyy.

Unitaaristen matriisien ominaisarvot ovat puhtaita vaiheita, joten yhtenäisen säilyneen suuren arvo on yksikkösuuruuden kompleksiluku, ei reaaliluku. Toinen tapa ilmaista se on, että unitaarinen matriisi on eksponentti i :stä kertaa hermiittinen matriisi, joten additiivisesti säilynyt reaalisuure, vaihe, on määritelty tarkasti vain 2π :n kokonaislukukerrannaiseen asti . Vain silloin, kun unitaarinen symmetriamatriisi on osa perhettä, mielivaltaisen lähellä identiteettiä, säilyvät todelliset suureet ovat yksiarvoisia, ja silloin niiden säilymisen vaatimuksesta tulee paljon vahvempi rajoitus.

Symmetrioita, joita voidaan jatkuvasti yhdistää identiteettimatriisiin, kutsutaan jatkuviksi , ja käännökset, rotaatiot ja tehostukset ovat esimerkkejä tällaisista symmetrioista. Symmetriat, joita ei voida jatkuvasti yhdistää identiteettimatriisiin, ovat diskreettejä , ja esimerkkejä ovat spatiaalinen inversio- tai pariteettioperaatio ja varauskonjugaatio .

Matriisien tulkinta kanonisten muunnosten generaattoreina kuuluu Paul Diracille [32] . Eugene Wigner osoitti, että symmetrioiden ja matriisien välinen vastaavuus on täydellinen, jos sisältää antiunitaarisia matriiseja, jotka kuvaavat symmetrioita, joihin liittyy ajan käänteinen.

Valintasäännöt

Heisenbergille oli fysikaalisista syistä selvää, että matriisielementtien X absoluuttisten arvojen neliöt , jotka ovat värähtelyjen Fourier-kertoimia, antaisivat sähkömagneettisen säteilyn emissionopeuden.

Klassisessa suuren kiertoradan rajassa, jos varaus, jonka koordinaatti on X ( t ) ja varaus q värähtelee lähellä yhtä ja vastakkaista varausta origossa, on hetkellinen dipolimomentti qX ( t ) ja tämän ajan muutos muuttuu suoraan vektoripotentiaalin aika-avaruusmuutokseksi, joka antaa lähtevien palloaaltojen lähteen.

Atomilla säteilevän valon aallonpituus on noin 10 000 kertaa atomin säde, ja dipolimomentti on ainoa vaikutus säteilyyn, kun taas kaikki muut atomivarausjakauman yksityiskohdat voidaan jättää huomiotta.

Ottamatta huomioon vastaiskua, kussakin lähtevässä moodissa säteilevä teho on kunkin itsenäisen ajan Fourier-moodin d neliön yksittäisten panosten summa ,

P(\omega )={2 \over 3}{\omega ^{4}}|d_{i}|^{2}~.

Tässä Heisenbergin esityksessä dipolimomentin Fourier-kertoimet ovat X :n matriisielementtejä . Tämä vastaavuus antoi Heisenbergille mahdollisuuden ottaa käyttöön säännön siirtymäintensiteeteille, ajanjaksolle, jonka aikana fotoni lähtee alkutilasta i alkaen ja atomi siirtyy lopputilaan j ,

P_{ij}={2 \over 3}(E_{i}-E_{j})^{4}|X_{ij}|^{2}\,.

Tämä mahdollisti sitten tilastollisen tulkinnan matriisielementtien suuruudesta: ne antavat spektriviivojen intensiteetin, kvanttihyppyjen todennäköisyyden dipolisäteilyn emissiosta .

Koska siirtymänopeudet on annettu matriisielementeillä X , niin tapauksissa, joissa Xij on nolla , vastaava siirtymä pitäisi puuttua. Niitä on kutsuttu valintasäännöiksi , jotka olivat mysteeri ennen matriimekaniikan tuloa.

Vetyatomin mielivaltainen tila ilman spiniä on merkitty symbolilla | n_ _ ℓ,m ⟩, jossa arvo ℓ on kiertoradan kokonaiskulmaliikemäärän mitta ja m on sen z -komponentti, joka määrittää kiertoradan suunnan. Kulmamomentin pseudovektorin komponentit ovat

L_{i}=\epsilon _{ijk}X^{j}P^{k}\,

jossa tämän lausekkeen tulot eivät riipu tekijöiden järjestyksestä ja ovat todellisia, koska X :n ja P :n eri komponentit liikkuvat.

Kommutaatiorelaatiot L kaikkien kolmen koordinaattimatriisin X, Y, Z (tai minkä tahansa vektorin) kanssa voidaan löytää helposti kaavalla,

[L_{i},X_{j}]=i\epsilon _{ijk}X_{k}\,

jossa operaattori L generoi rotaatioita koordinaattimatriisien X vektorin kolmen komponentin välillä .

Tästä voidaan tarkastella kommutaattoria L z ja koordinaattimatriiseja X, Y, Z,

[L_{z},X]=iY\,

[L_{z},Y]=-iX\,

Tämä tarkoittaa, että suuret X + iY , X − iY noudattavat yksinkertaisia kommutointisääntöjä,

[L_{z},X+iY]=(X+iY)\,

[L_{z},X-iY]=-(X-iY)\,

Kuten harmonisen oskillaattorin Hamiltonin matriisielementit X + iP ja X - iP , tämä kommutointilaki merkitsee, että näillä operaattoreilla on vain joitain diagonaalista poikkeavia matriisielementtejä tiloissa, joissa on tietty m ,

L_{z}((X+iY)|m\rangle )=(X+iY)L_{z}|m\rangle +(X+iY)|m\rangle =(m+1)(X +iY)|m\rangle \,

ja matriisi ( X + iY ) kartoittaa ominaisarvon m ominaisvektorin L z ominaisarvoltaan m + 1 omaavaan ominaisvektoriin . Vastaavasti ( X − iY ) pienentää m :tä yhdellä, kun taas Z ei muuta m :n arvoa .

Joten perusteella | ℓ,m ⟩ -tiloja, joissa L 2 :lla ja L z :llä on tietyt arvot, minkä tahansa kolmen koordinaattikomponentin matriisielementit ovat nolla, paitsi jos m on sama tai muuttuu yhdellä.

Tämä rajoittaa kokonaiskulmamomentin muutosta. Mitä tahansa tilaa voidaan kiertää niin, että sen kulmaliikemäärä on mahdollisimman suuri z -suunnassa , missä m = ℓ. Kohteeseen | vaikuttavan koordinaatin matriisielementti ℓ,m ⟩ voi antaa vain m :n arvoa , joka on suurempi kuin yksi, joten jos koordinaatteja kierretään niin, että lopullinen tila on | ℓ',ℓ' ⟩, arvo ℓ' voi olla enintään yhden suurempi kuin suurin alkutilassa esiintyvä arvo ℓ. Siten ℓ' on enintään ℓ + 1.

Matriisielementit katoavat kohdassa ℓ' > ℓ + 1, ja käänteismatriisielementin määrää sen hermiitisyys, joten ne katoavat myös kohdissa ℓ' < ℓ — 1: dipolisiirtymät ovat kiellettyjä, jos liikemäärä muuttuu useammalla kuin yhdellä .

Summaussäännöt

Heisenbergin liikeyhtälö määrittelee matriisielementit P Heisenberg-kannassa, joka koostuu matriisielementeistä X .

P_{ij}=m{d \over dt}X_{ij}=im(E_{i}-E_{j})X_{ij}\,

joka muuttaa kommutointirelaation (jäljen) diagonaaliosan matriisielementtien suuruuden summasäännöksi:

\sum _{j}P_{ij}x_{ji}-X_{ij}p_{ji}=i\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij }|^{2}=i\,

Tämä antaa suhteen spektroskooppisten viivojen intensiteettien summalle siirtymissä mihin tahansa tiettyyn tilaan ja sieltä pois, vaikkakin ollakseen täysin oikein, sitoutumattomien sirontatilojen säteilyn sieppaustodennäköisyyden panokset on sisällytettävä tähän summaan:

\sum _{j}2m(E_{i}-E_{j})|X_{ij}|^{2}=1\,

Muistiinpanot

↑ Green, 2000 , s. 53.
↑ Herbert S. Green (1965). Matriisimekaniikka (P. Noordhoff Ltd, Groningen, Alankomaat) ASIN: B0006BMIP8.
↑ Pauli, W (1926). "Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik". Zeitschrift fur Physik . 36 (5): 336-363. Bibcode : 1926ZPhy...36..336P . DOI : 10.1007/BF01450175 .
↑ Green, 2000 , s. viisitoista.
↑ W. Heisenberg, "Der Teil und das Ganze", Piper, München, (1969) The Birth of Quantum Mechanics Arkistoitu 26. helmikuuta 2018 Wayback Machinessa .
↑ IQSA International Quantum Structures Association . www.vub.be. _ Haettu 13. marraskuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 20. huhtikuuta 2021. (määrätön)
↑ W. Heisenberg, Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen , Zeitschrift für Physik , 33 , 879-893, 1925 (vastaanotettu 29. heinäkuuta 1925). [Englanninkielinen käännös julkaisussa: BL van der Waerden, toimittaja, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 (englanninkielinen nimi: "Quantum-Theoretical Re-interpretation of Kinematic and Mechanical Relations")]
↑ HA Kramers ja W. Heisenberg, Über die Streuung von Strahlung durch Atome , Zeitschrift für Physik 31 , 681-708 (1925).
↑ Emilio Segrè, Röntgensäteistä kvarkeihin : Moderni fyysikot ja heidän löytönsä (WH Freeman and Company, 1980) ISBN 0-7167-1147-8 , s. 153-157.
↑ Abraham Pais, Niels Bohrin ajat fysiikassa, filosofiassa ja politiikassa (Clarendon Press, 1991) ISBN 0-19-852049-2 , s. 275-279.
↑ Max Born arkistoitu 19. lokakuuta 2012 Wayback Machinessa - Nobel-luento (1954)
↑ M. Born ja P. Jordan, Zur Quantenmechanik , Zeitschrift für Physik , 34 , 858-888, 1925 (vastaanotettu 27. syyskuuta 1925). [Englanninkielinen käännös julkaisussa: BL van der Waerden, toimittaja, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ M. Born, W. Heisenberg ja P. Jordan, Zur Quantenmechanik II , Zeitschrift für Physik , 35 , 557-615, 1925 (vastaanotettu 16. marraskuuta 1925). [Englanninkielinen käännös julkaisussa: BL van der Waerden, toimittaja, Sources of Quantum Mechanics (Dover Publications, 1968) ISBN 0-486-61881-1 ]
↑ Jeremy Bernstein Max Born ja kvanttiteoria , Am. J Phys. 73 (11) 999-1008 (2005)
↑ Mehra, osa 3 (Springer, 2001)
↑ Jammer, 1966, s. 206-207.
↑ van der Waerden, 1968, s. 51.
↑ Bornin lainaus oli Bornin ja Jordanin paperissa, toisessa artikkelissa trilogiassa, jossa käynnistettiin matriisimekaniikan muotoilu. Katso van der Waerden, 1968, s. 351.
↑ Constance Ried Courant (Springer, 1996) s. 93.
↑ John von Neumann Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , Mathematische Annalen 102 49-131 (1929)
↑ Kun von Neumann lähti Göttingenistä vuonna 1932, hänen Hilbertin matematiikkaan perustuva kirjansa kvanttimekaniikan matemaattisista perusteista julkaistiin nimellä Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik . Katso: Norman Macrae, John von Neumann: Tieteellinen nero, joka oli edelläkävijä nykyaikaisessa tietokoneessa, peliteoria, pelote ja paljon muuta (uudelleenpainos American Nuclear Mathematical Society, 1999) ja Constance Reid, Hilbert (Springer-Verlag, 1996) ISBN 0-387-94674-8 .
↑ PAM Dirac, "Kvanttimekaniikan perusyhtälöt", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character , 109 (752), 642-653 (1925), [ https://www.jstor.org/stable/94441 online] Arkistoitu 19. helmikuuta 2022 Wayback Machinessa
↑ Bernstein, 2004, s. 1004.
↑ Greenspan, 2005, s. 190.
↑ 1 2 Nobelin fysiikan palkinto ja 1933 Arkistoitu 15. heinäkuuta 2008 Wayback Machinessa - Nobel-palkinnon esityspuhe.
↑ Bernstein, 2005, s. 1004.
↑ Bernstein, 2005, s. 1006.
↑ Greenspan, 2005, s. 191.
↑ Greenspan, 2005, s. 285-286.
↑ Green, 2000 , s. 61.
↑ Quantum Mechanics, E. Abers, Pearson, toim., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
↑ Dirac, PAM Kvanttimekaniikan periaatteet . – 4. versio. - New York: Oxford University Press, 1981. - ISBN 0-19-852011-5 . Arkistoitu 15. huhtikuuta 2017 Wayback Machineen

Kirjallisuus

Green, H. Matriisin kvanttimekaniikka / Per. englannista. Ed. A. A. Sokolova. — N.: IO NFMI , 2000. — 160 s. - ISBN 5-80323-362-5 .
Bernstein, Jeremy (2005). "Max Born ja kvanttiteoria". American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 73 (11): 999-1008. DOI : 10.1119/1.2060717 . ISSN 0002-9505 .
Max Born Kvanttimekaniikan tilastollinen tulkinta . Nobel-luento - 11. joulukuuta 1954.
Greenspan, Nancy Thorndike. Tietyn maailman loppu: Max Bornin elämä ja tiede . - Peruskirjat, 2005. - 400 s. — ISBN 0738206938 .
Jammer, Max . Kvanttimekaniikan käsitteiden kehitys / Per. englannista. /Toim. L. I. Ponomareva. - M .: Nauka, 1985. - 384 s.
Mehra, Jagdish; Rechenberg, Helmut. Matriisimekaniikan muotoilu ja sen modifikaatiot, 1925-1926 . - Springer, 1982. - Voi. 3. - 342 s. — (Kvanttiteorian historiallinen kehitys). — ISBN 9780824796815 .
Kvanttimekaniikan lähteet (englanti) / Toimittaja BL van der Waerden. - Dover Publications, 2007. - Voi. 5. - 430 s. - (Tieteen klassikot). — ISBN 9780486458922 .
Aitchison, Ian JR; MacManus, David A.; Snyder, Thomas M. (2004). "Heisenbergin "maagisen" heinäkuun 1925 paperin ymmärtäminen: Uusi katsaus laskennan yksityiskohtiin. American Journal of Physics . American Association of Physics Teachers (AAPT). 72 (11): 1370-1379. arXiv : quant-ph/0404009 . DOI : 10.1119/1.1775243 . ISSN 0002-9505 .
Jordan, Thomas F. Kvanttimekaniikka yksinkertaisessa matriisimuodossa. - Wiley-Interscience. - Wiley-Interscience, 1986. - 260 s. — ISBN 9780471817512 .
Merzbacher, E. (1968). Matriisimenetelmät kvanttimekaniikassa. Olen. J Phys . 36 : 814-821. DOI : 10.1119/1.1975154 .

Linkit

Yleiskatsaus matriisimekaniikkaan
Matriisimenetelmät kvanttimekaniikassa
Heisenbergin kvanttimekaniikka (Teorian alkuperä ja historiallinen kehitys 1925-27)
Werner Heisenberg 1970 CBC-radiohaastattelu
Werner Karl Heisenberg Quantum Mechanicsin perustaja
Matrix Mechanicsista MathPagesissa