Hajanaiset sarjat

Matematiikassa kahden joukon sanotaan olevan disjointteja tai disjointteja , jos niillä ei ole yhteisiä elementtejä. Vastaavasti disjunktijoukot ovat joukkoja, joiden leikkauspiste on tyhjä joukko [1] . Esimerkiksi {1, 2, 3} ja {4, 5, 6} ovat disjunktoituja joukkoja, kun taas {1, 2, 3} ja {3, 4, 5} eivät ole.

Yleistykset

Yllä oleva disjunktijoukkojen määritelmä voidaan laajentaa mihin tahansa joukkojen perheeseen . Joukkoperhe on pareittain disjunktiivinen (alkiot ovat pareittain disjunktoituja ), jos kahdella joukolla perheessä ei ole yhteisiä alkioita [1] . Esimerkiksi joukko joukkoja { {1}, {2}, {3}, ... } on pareittain disjunktoitu.

Kahden joukon sanotaan olevan melkein hajallaan , jos niiden leikkauspiste on jossain mielessä pieni. Esimerkiksi kahta ääretöntä joukkoa , joiden leikkauspiste on äärellinen joukko, voidaan pitää lähes disjunkteina [2] .

Topologiassa on erilaisia ​​merkintöjä erotetuille joukoille , joilla on tiukemmat ehdot kuin ei leikkauskohtaa. Esimerkiksi kahden joukon sanotaan olevan erotettavissa, kun niillä on erillisiä sulkuja tai erillisiä lähialueita . Vastaavasti metriavaruudessa positiivisesti erotetut joukot ovat joukkoja, joita erottaa nollasta poikkeava etäisyys [3] .

Esimerkkejä

Ylitykset

Joukkojen tai joukkoperheiden disjunktio voidaan ilmaista leikkauspisteinä .

Kaksi joukkoa A ja B ovat disjunkteja silloin ja vain, jos niiden leikkauspiste on tyhjä joukko [1] . Tästä määritelmästä seuraa, että mikä tahansa joukko on disjunktiivinen tyhjän joukon kanssa, ja tyhjä joukko on ainoa joukko, joka on disjunktiivinen itselleen [4] .

Joukkoperhe F on pareittain disjunktiivinen, jos minkä tahansa perheen kahden joukon leikkauspiste on tyhjä [ 1] . Jos perheessä on useampi kuin yksi joukko, tästä seuraa, että perheen kaikkien joukkojen leikkauspiste on tyhjä. Yksittäinen perhe on kuitenkin määritelmän mukaan "parittain epäyhtenäinen" ja sillä voi ilmeisesti olla ei-tyhjä leikkauspiste. Lisäksi joukkojen perheellä voi olla tyhjä leikkauspiste, mutta se ei saa olla pareittain hajallaan [5] . Esimerkiksi kolmella joukolla { {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} } on tyhjä leikkauspiste, mutta ne eivät ole pareittain hajallaan. Itse asiassa tässä sarjassa ei ole kahta erillistä joukkoa. Myös tyhjä joukkojen perhe on pareittain disjunktoitu [6] .

Helly-perhe  on joukkojärjestelmä, jossa vain alaperheet, joiden leikkauspiste on tyhjä, ovat pareittain erillisiä. Esimerkiksi suljetut välit todellisella akselilla muodostavat Helly-perheen - jos suljetuilla väleillä on tyhjä leikkauspiste ja se on minimaalinen (eli millään alaperheellä ei ole tyhjää leikkauspistettä), sen on oltava pareittain disjunktoitu [7] .

Erilliset liitokset ja väliseinät

Joukon X osio on mikä tahansa joukko keskenään hajautuneita joukkoja, joiden liitto on yhtä suuri kuin X [8] . Mitä tahansa osiota voidaan kuvata vastaavasti ekvivalenssirelaatiolla , binäärirelaatiolla , joka määrittää kuuluuko kaksi alkiota samaan joukkoon hajotuksessa vai ei [8] . Disjoint-joukkojärjestelmät [9] ja osion tarkentaminen [10] ovat kaksi tietotekniikan tekniikkaa, joilla voidaan käsitellä tehokkaasti objektijoukon osioita, vastaavasti yhdistämisoperaatiossa, joka yhdistää kaksi joukkoa, ja tarkennusoperaatiossa, joka jakaa yhden sarjan kahdeksi..

Erillinen liitto voi tarkoittaa kahta asiaa. Yksinkertaisimmassa tapauksessa tämä voi tarkoittaa disjunktiivisten joukkojen liittoa [11] . Mutta jos kaksi tai useampi joukko ei ole disjunktoituja, niiden disjunktiliitto voidaan muodostaa modifioimalla joukkoja [12] [13] . Esimerkiksi kaksi joukkoa voidaan erottaa korvaamalla elementit järjestetyillä elementipareilla ja indeksillä, joka määrittää, kuuluuko elementti ensimmäiseen vai toiseen joukkoon [14] . Samaa tekniikkaa voidaan soveltaa perheisiin, joissa on enemmän kuin kaksi sarjaa [15] .

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 Halmos, 1960 , s. viisitoista.
  2. ↑ Halbeisen, 2011 , s. 184.
  3. ↑ Copson, 1988 , s. 62.
  4. ↑ Oberste-Vorth, Mouzakitis, Lawrence, 2012 , s. 59.
  5. ↑ Smith, Eggen, St. Andrew, 2010 , s. 95.
  6. ↑ Katso vastaukset kysymykseen ″Onko tyhjä joukkojen perhe pareittain disjunktiivinen?″ Arkistoitu 20. lokakuuta 2020 Wayback Machinessa
  7. ↑ Bollobás, 1986 , s. 82.
  8. ↑ 1 2 Halmos, 1960 , s. 28.
  9. ↑ Cormen, Leiserson, Rivest, Stein, 2001 , s. 498–524.
  10. ↑ Paige, Tarjan, 1987 , s. 973–989.
  11. ↑ Ferland, 2008 , s. 45.
  12. ↑ Arbib, Kfoury, Moll, 1981 , s. 9.
  13. ↑ Vavilovin kirjassa disjunktiivinen liitto ymmärretään vain ensimmäisessä merkityksessä. Liitosta toisessa merkityksessä käytetään termiä vapaa liitto , vapaa summa tai joukkojen yhteistulo .
  14. ↑ Monin ja Hinchey, 2003 , s. 21.
  15. ↑ Lee, 2010 , s. 64.

Kirjallisuus

Linkit