Implisiittinen pinta

Implisiittinen pinta on yhtälön määrittelemä pinta euklidisessa avaruudessa

F(x,y,z)=0.

Implisiittipinta on kolmen muuttujan funktion nollien joukko . Termi implisiitti tarkoittaa tässä sitä, että yhtälöä ei ole ratkaistu millekään muuttujalle x , y tai z .

Funktion kuvaaja kuvataan yleensä yhtälöllä ja tällaista esitystä kutsutaan eksplisiittiseksi . Kolmas tärkeä tapa kuvata pintaa on parametrinen esitys , jossa pintapisteiden x- , y- ja z - koordinaatit esitetään kolmella funktiolla riippuen yleisistä parametreista . Yleensä pinnan esityksen muuttaminen tehdään yksinkertaisesti vain, jos on annettu eksplisiittinen esitys . Sitten kaksi muuta esitystä ovat (implisiittinen) ja (parametrinen). $z=f(x,y)$ ${\näyttötyyli (x(s,t),y(s,t),z(s,t))}$ ${\näyttötyyli x(s,t)\,,y(s,t)\,,z(s,t)}$ $s,t$ $z=f(x,y)$ $zf(x,y)=0$ ${\näyttötyyli (s,t,f(s,t))}$

Esimerkkejä :

kone $x+2y-3z+1=0.$
pallo $x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0.$
torus ${\näyttötyyli (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2} +y^{2})=0.}$
Suvun 2 pinta : (katso kuva). $2y(y^{2}-3x^{2})(1-z^{2})+(x^{2}+y^{2})^{2}-(9z^{2 }-1)(1-z^{2})=0$
Kierroksen pinta (katso kuvalasi ). $x^{2}+y^{2}-(\ln(z+3.2))^{2}-0{,}02=0$

Tasolle, pallolle ja torukselle on olemassa yksinkertainen parametrinen esitys, mikä ei pidä paikkaansa neljännessä esimerkissä.

Implisiittisen funktion teoreema kuvaa olosuhteet, joissa yhtälö voidaan ratkaista (ainakin implisiittisesti) x :lle , y :lle tai z :lle . Mutta yleisessä tapauksessa yksiselitteistä ratkaisua ei ehkä ole olemassa. Tämä lause on avain pinnan tärkeiden geometristen ominaisuuksien, kuten tangenttitasojen , pintanormaalien , kaarevuuden laskemiseen (katso alla). Näillä pinnoilla on kuitenkin merkittävä haittapuoli - niiden visualisointi on vaikeaa. $F(x,y,z)=0$

Jos on polynomi luvuissa x , y ja z , pinnan sanotaan olevan algebrallinen . Esimerkki 5 ei ole algebrallinen pinta. $F(x,y,z)$

Huolimatta visualisoinnin vaikeudesta, implisiittiset pinnat tarjoavat suhteellisen yksinkertaisia tekniikoita niiden teoreettiseen tuottamiseen (esim. Steiner-pinta ) ja kiinnostavia pintoja käytännön tarkoituksiin (katso alla).

Kaavat

Seuraavien sopimusten mukaan implisiittistä pintaa edustaa yhtälö , jossa funktio täyttää tarvittavat differentiaatioehdot. Alla merkitään funktion osittaiset derivaatat muodossa . $F(x,y,z)=0$ $F$ $F$ $F_{x},F_{y},F_{z},F_{xx},\ldots$

Tangenttitaso ja normaalivektori

Pisteen sanotaan olevan säännöllinen silloin ja vain jos funktion gradientti pisteessä ei ole yhtä suuri kuin nollavektori , mikä tarkoittaa ${\näyttötyyli (x_{0},y_{0},z_{0})}$ $F$ ${\näyttötyyli (x_{0},y_{0},z_{0})}$ $(0,0,0)$

{\näyttötyyli (F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z} (x_{0},y_{0},z_{0}))\neq (0,0,0)}

Jos pinnan piste ei ole säännöllinen, sitä kutsutaan singulaariksi (käytetään myös termiä singulaaripiste ). ${\näyttötyyli (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Tangenttitason yhtälö säännöllisessä pisteessä $(x_{0},y_{0},z_{0})$

F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0},z_{0 })(y-y_{0})+F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0,

ja normaalivektoriyhtälö

\mathbf {n} (x_{0},y_{0},z_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{y }(x_{0},y_{0},z_{0}),F_{z}(x_{0},y_{0},z_{0}))^{T}.

Normaali kaarevuus

Kaavojen helpottamiseksi alla olevan kaavan argumentit on jätetty pois. Sitten $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\kappa _{n}={\frac {\mathbf {v} ^{\top }H_{F}\mathbf {v} }{\|\operaattorin nimi {grad} F\|}}

on pinnan normaali kaarevuus säännöllisessä pisteessä yksikkötangentin suuntavektorille . on funktion (toisten derivaattojen matriisi) Hessinen. $\mathbf {v}$ $H_{F}$ $F$

Tämän kaavan todistus perustuu (kuten implisiittisen käyrän tapauksessa) implisiittiseen funktiolauseeseen ja parametrisen pinnan normaalikaarevuuden kaavaan .

Implisiittisten pintojen sovellukset

Kuten implisiittisten käyrien tapauksessa, on helppo luoda halutun muotoisia implisiittisiä pintoja käyttämällä yksinkertaisten primitiivien algebrallisia operaatioita (lisäys, kertolasku).

Kahden pistevarauksen ekvipotentiaalipinta

Pistevaraus pisteessä muodostaa potentiaalin pisteessä (fysikaaliset vakiot jätetty pois) $q_{i}$ $\mathbf {p} _{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ $\mathbf {p} =(x,y,z)$

F_{i}(x,y,z)={\frac {q_{i}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{i}\|}}.

Potentiaaliarvon ekvipotentiaalipinta on implisiittinen pinta , joka on pisteen keskipisteenä oleva pallo . $c$ $F_{i}(x,y,z)-c=0$ ${\mathbf p}_{i}$

Neljän pisteen varauksen potentiaali lasketaan kaavalla

F(x,y,z)={\frac {q_{1}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{1}\|}}+{\frac {q_{ 2}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{2}\|}}+{\frac {q_{3}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _ {3}\|}}+{\frac {q_{4}}{\|\mathbf {p} -\mathbf {p} _{4}\|}}.

Kuvassa neljä varausta ovat suuruusluokkaa 1 ja sijaitsevat pisteissä . Esitetty pinta on ekvipotentiaalipinta (implisiittinen pinta) . $(\pm 1,\pm 1,0)$ $F(x,y,z)-2{,}8=0$

Etäisyyksien vakiotulon pinta

Cassini-ovaali voidaan määritellä joukoksi pisteitä, joille kahden tietyn pisteen etäisyyksien tulo on vakio (toisin kuin ellipsi, jonka etäisyyksien summa on vakio). Samoin implisiittiset pinnat voidaan määritellä vakiotuloksi etäisyyksistä joistakin kiinteistä pisteistä.

Metamorfoosikuvassa vasen yläpinta muodostetaan tämän säännön mukaan. Tämä pinta on funktion tasopinta , jossa $F(x,y,z)-1{,}1=0$

{\begin{aligned}F(x,y,z)={}&{\Big (}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2 ))}\cdot {\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}+z^{2))}\\&\qquad \cdot {\sqrt {x^{2}+( y-1)^{2}+z^{2))}\cdot {\sqrt {x^{2}+(y+1)^{2}+z^{2))}{\Big )} \end{aligned}}

Implisiittisten pintojen metamorfoosit

Toista yksinkertaista menetelmää uusien implisiittisten pintojen luomiseksi kutsutaan implisiittiseksi pinnan metamorfoosiksi :

Kahdelle implisiittiselle pinnalle (kuvassa tämä on etäisyyksien ja toruksen vakiotulon pinta) uudet pinnat määritellään parametrilla : $F_{1}(x,y,z)=0,F_{2}(x,y,z)=0$ $\mu \in [0,1]$

F(x,y,z)=\mu F_{1}(x,y,z)+(1-\mu )F_{2}(x,y,z)=0

Kuvassa on pinnat parametriarvoineen . $\mu =0,\,0{,}33,\,0{,}66,\,1$

Joidenkin implisiittisten pintojen tasainen approksimaatio

$\Pi$ -pintoja [1] voidaan käyttää approksimoimaan mitä tahansa tasaista ja rajattua objektia :ssa , jonka pinnan määrittää polynomi, joka on yhtä suuri kuin muiden polynomien tulo. Toisin sanoen voimme luoda minkä tahansa sileän objektin yhdellä algebrallisella pinnalla. Merkitään polynomit muodossa . Sitten approksimoiva objekti määräytyy polynomin avulla $R^{3}$ $f_{i}\in \mathbb {R} [x_{1},\ldots ,x_{n}](i=1,\ldots ,k)$

F(x,y,z)=\prod _{i}f_{i}(x,y,z)-r

[yksi]

jossa määrittää sekoitusparametrin, joka ohjaa approksimaatiovirhettä. $r\in \mathbb {R}$

Samoin kuin implisiittisten käyrien tasainen approksimaatio, yhtälö

F(x,y,z)=F_{1}(x,y,z)\cdot F_{2}(x,y,z)\cdot F_{3}(x,y,z)- r=0

edustaa sopiville parametreille tasaisia approksimaatioita kolmesta leikkaavasta torista yhtälöiden avulla $c$

{\begin{aligned}F_{1}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}- 4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0,\\[3pt]F_{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+ R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+z^{2})=0,\\[3pt]F_{3}=(x ^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-a^{2})^{2}-4R^{2}(y^{2}+z^{2 })=0.\end{tasattu}}

(Kuvassa parametrit ovat yhtä suuret ) $R=1,\,a=0{,}2,\,r=0{,}01.$

Implisiittisten pintojen visualisointi

Implisiittisten pintojen hahmontamiseen on useita algoritmeja [3] , mukaan lukien " marching kuutiot " -algoritmi [4] . Itse asiassa on olemassa kaksi ideaa implisiittisten pintojen renderöimiseen - toinen luo monikulmioiden verkoston, jotka sitten piirretään (katso pinnan kolmiomittaus ), ja toinen perustuu säteen jäljitykseen , kun säteiden leikkauspisteet pinta määritetään [5] .

Katso myös

implisiittinen käyrä

Muistiinpanot

↑ 12. Raposo , Gomes, 2019 .
↑ POV-Ray ( englanniksi: The Persistence of Vision Ray-Tracer ) käyttää käänteistä säteen jäljitystä luodakseen 3D-fotorealistisia kuvia. POV-Rayn kohtaus on kuvattu SDL:llä ( Eng. Scene Description Language ) - tulkitulla ohjelmointikielellä C-kaltaisella syntaksilla. SDL:n avulla käyttäjä määrittää kameran sijainnin, valonlähteet, kohteiden sijainnin ja niiden ominaisuudet, ilmakehän vaikutukset jne. Katso artikkeli Tieteelliset kuvat POV-Rayssa Arkistoitu 20. joulukuuta 2019 Wayback Machinella
↑ Bloomenthal, Bajaj, Wyvill, 1997 .
↑ Stephenson, 2004 .
↑ Haines, Akenine-Moller, 2019 .

Kirjallisuus

Adriano N. Raposo, Abel JP Gomes. Pi-pinnat: implisiittisten pintojen tuotteet kohti 3D-objektien konstruktiivista koostumusta // Journal of WSCG. - 2019. - arXiv : 1906.06751 . (Kansainvälinen konferenssi Keski-Euroopassa tietokonegrafiikasta, visualisoinnista ja tietokonenäöstä)

Pääosissa Jules Bloomenthal, Chandrajit Bajaj, Brian Wyvill. Implisiittisten pintojen esittely . - Morgan Kaufmann, 1997. - ISBN 978-1-55860-233-5 .
Ian Stephenson. Tuotannon renderöinti: suunnittelu ja toteutus . - Springer Science & Business Media, 2004. - ISBN 978-1-85233-821-3 .
Eric Haines, Tomas Akenine-Moller. Ray Tracing Gems. - Springer, 2019. - ISBN 978-1-4842-4427-2 .
Gomes A., Voiculescu I., Jorge J., Wyvill B., Galbraith C. Implisiittiset käyrät ja pinnat: Mathematics, Data Structures and Algorithms . — Lontoo: Springer-Verlag, 2009. — ISBN 978-1-84882-405-8 .
Thorpe JA Elementary Aiheet differentiaaligeometriassa. - New York: Springer-Verlag, 1979. - (Matematiikan perustutkintotekstit). — ISBN 0-387-90357-7 .
- Thorp J. Differentiaaligeometrian alkuluvut. - "Mir", 1982. - (Nykyaikainen matematiikka. Alkukurssit).

Linkit

Sultanow: Implizite Flächen Arkistoitu 19. tammikuuta 2021 Wayback Machinessa
Hartmann: Geometry and Algorithms for PCT AIDED DESIGN Arkistoitu 30. lokakuuta 2017 Wayback Machinessa
GEOMVIEW Arkistoitu 11. heinäkuuta 2000 Wayback Machinessa
K3Dsurf: 3D-pintageneraattori, arkistoitu 10. marraskuuta 2020 Wayback Machinessa
SURF: Visualisierung algebraischer Flächen Arkistoitu 8. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa