Normaali operaattori

Normaalioperaattori on lineaarisesti rajoittunut operaattori Hilbert- avaruudessa , joka kommutoi konjugaattansa kanssa : . Normaalioperaattoreiden erikoistapauksia ovat itsenäiset operaattorit : ja unitaarioperaattorit : . Normaalioperaattoreille spektrilause pätee . $N^* N = NN^*$ $A = A^*$ $U^{-1} = U^*$

Laajennukset

Lisäainehajoaminen. , missä ovat permutaatioiden itseliittyvät operaattorit , $N = X + i Y$ $X,Y$

X = \frac{1}{2} (N + N^*), \quad Y = \frac{1}{2i}(N - N^*).

Multiplikatiivinen (polaarinen) laajennus . , jossa on positiivinen itseadjoint-operaattori , on unitaarinen operaattori . Operaattoritjaliikennöivät sekä keskenään että minkä tahansa lineaarioperaattorin kanssa, joka liikennöi samanaikaisestija. $N=RU=UR$ $R = \sqrt{N^* N}$ $U$ $R$ $U$ $N$ $N^{*}$

Additiivinen laajennus on samanlainen kuin kompleksiluvun lauseke sen reaali- ja imaginaariosien suhteen: , ja kertova laajennus on samanlainen kuin eksponentiaalisessa muodossa: [1] $z$ $z = x + iy$ $z = re^{i\varphi}.$

Ominaisuudet

Jos operaattori on normaali, niin myös operaattorit , ja käänteisoperaattori (jos sellainen on) ovat normaaleja. [2] $N$ $N^{*}$ $\alpha N + \beta I, \, \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ $N^{-1}$
Lineaarinen jatkuva operaattori Hilbert-avaruudessa on normaali silloin ja vain jos kullekin . $N$ $H$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x\in H$
$\mbox{Ker}\, N = \mbox{Ker}\,N^* = \mbox{Im}\, N^{\perp}$ . Tässä on ydin ja operaattorin kuva . _ $\mbox{Ker}\, N$ $\mbox{Im}\, N$ $N$
Jos joillekin ja , niin . $N x = \alpha x$ $x \ in H$ $\alpha \in \mathbb{C}$ $N^* x = \bar \alpha x$
Normaalioperaattorin eri ominaisarvoja vastaavat ominaisavaruudet ovat ortogonaalisia . [3]
Muuttuvuuslause. Olkoon lineaarisia jatkuvia operaattoreita ja antakoot operaattorit ja olla normaaleja. Jos , niin . Erityisesti, jos operaattori liikkuu normaalin operaattorin kanssa , se liikkuu konjugaatin kanssa . [neljä] $M, N, T$ $M$ $N$ $MT = TN$ $M^* T = TN^*$ $T$ $N$ $N^{*}$
$\| N \| = \up \{ |(Nx,x)| \kaksoispiste x \in H, \, \| x \| \le 1 \}$ [5]
Normaali operaattori on itseadjungoitu silloin ja vain jos sen spektri on reaaliakselilla . Normaali operaattori on unitaarinen silloin ja vain jos sen spektri on yksikköympyrässä . [6]
Samanlaiset normaalioperaattorit ovat unitaarisesti ekvivalentteja, eli jos , missä ovat normaalioperaattorit ja operaattori on käännettävä , niin , missä on unitaarinen operaattori . [7] $M = TNT^{-1}$ $M, N$ $T$ $M = UNU^{-1}$ $U$
$\| N^m\| = \| N \|^m$ , siksi normaalioperaattorin spektrisäde on sama kuin sen normi . [2]

Spektrilause

Mikä tahansa normaalioperaattori vastaa projektiooperaattorien perhettä , jotka ovat suorakulmion additiivinen ja kertova funktio, niin että $N$ $\{E(\delta)\}$

N = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} z E(dx dy), \quad N^* = \int\limits_{-\ infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \bar z E(dx dy),

ja yleisesti ottaen

q(N, N^*) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} q(z, \bar z) E(dx dy) ,

jossa on mielivaltainen polynomi ja ; mille tahansa kiinteälle suorakulmiolle operaattori on joidenkin operaattorien ja [8] polynomijonojen raja . $q(z, \bar z)$ $z = x + iy$ $\bar z = x - iy$ $\delta$ $E(\delta)$ $N$ $N^{*}$

Normaalioperaattoreiden spektrihajotelman perusteella funktioille muodostetaan funktionaalinen laskenta.

f(N) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(z) E(dx dy).

[9]

Äärillisulotteisen avaruuden tapaus

Äärillisulotteisessa unitaariavaruudessa ortonormaalissa perustassa normaalioperaattori vastaa normaalimatriisia . Normaalilla operaattorilla on myös seuraavat ominaisuudet.

Lineaarinen operaattori on normaali silloin ja vain jos sillä on ortonormaali ominaisvektorijärjestelmä .
Normaalille operaattorille kukin operaattoreista ja esitetään polynomina toisesta operaattorista; Lisäksi nämä kaksi polynomia määritetään määrittämällä operaattorin ominaisarvot . $N$ $N$ $N^{*}$ $N$
Jos on invariantti aliavaruus operaattorin alla , niin sen ortogonaalinen komplementti on myös invariantti aliavaruus . $S$ $N$ $S^{\perp}$ $N$
Matriisi on normaali silloin ja vain jos se on unitaarisesti samanlainen kuin diagonaalimatriisi , eli missä on unitaarinen matriisi , on diagonaalimatriisi . [kymmenen] $N$ $N = UDU^{-1},$ $U$ $D$

Rajoittamaton määrä käyttäjiä

Normaalin operaattorin käsite on yleistetty rajoittamattomiin operaattoreihin. Lineaarista operaattoria (ei välttämättä rajoittunutta ) Hilbert-avaruudessa kutsutaan normaaliksi, jos sen toimialue on tiheä , se on suljettu ja täyttää ehdon . Normaalille käyttäjälle , mille tahansa . Myös joitain muita normaalioperaattorin ominaisuuksia yleistetään, mukaan lukien spektrilause . [yksitoista] $N$ $H$ $D(N)$ $H$ $N^* N = NN^*$ $D(N^*) = D(N)$ $\| N x \| = \| N^*x\|$ $x \in D(N)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 110.
↑ 1 2 Sobolev, 1982 .
↑ Rudin, 1975 , s. 12.12.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.16.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.25.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.26.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.36.
↑ Riess, Sökefalvi-Nagy, 1979 , s. 309.
↑ Rudin, 1975 , s. 12.24.
↑ Gantmakher, 1966 , luku 9, § 10.
↑ Rudin, 1975 , luku 13.

Kirjallisuus

Sobolev V.I. Normaali operaattori // Matemaattinen tietosanakirja : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
Riess F. , Sökefilvi-Nagy B. Luennot funktionaalisesta analyysistä. - M .: Mir, 1979. - 592 s.
Rudin W. Funktionaalinen analyysi. - M .: Mir, 1975.
Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - Toim. 2., lisä .. - M . : Nauka, Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1966.