Determinantti

Lineaarisen algebran determinantti ( determinantti ) on skalaariarvo , joka kuvaa moniulotteisen euklidisen avaruuden orientoitua "laajenemista" tai "pakkausta" matriisimuunnoksen jälkeen; on järkevää vain neliömatriiseille . Matriisin determinantin standardimerkintä on , , [1] . $A$ $\det(A)$ $|A|$ $\Delta (A)$

Kommutatiivisen renkaan yli määritetyn neliömatriisin determinantti on renkaan elementti . Tämä arvo määrittää monia matriisin ominaisuuksia , erityisesti matriisi on käännettävä , jos ja vain jos sen determinantti on renkaan käännettävä elementti . Jos on kenttä , matriisin determinantti on nolla silloin ja vain jos matriisin järjestys on pienempi kuin , eli kun matriisin rivi- ja sarakejärjestelmät ovat lineaarisesti riippuvaisia . $A$ $n\ kertaa n$ $R$ $R$ $A$ $R$ $R$ $A$ $A$ $n$ $A$

Historia

Determinanttien teoria syntyi lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisuongelman yhteydessä .

Muinaisen kiinalaisen oppikirjan " Matematiikka yhdeksässä kirjassa " [2] kirjoittajat pääsivät lähelle determinantin käsitettä .

Euroopassa 2×2-matriisien determinantit löytyvät Cardanosta 1500-luvulla. Korkeammille ulottuvuuksille determinantin määritelmän antoi Leibniz vuonna 1693. Ensimmäinen julkaisu on Kramer . Determinanttien teorian loivat Vandermonde , Laplace , Cauchy ja Jacobi . Termin "determinantti" sen nykyisessä merkityksessä esitteli O. Cauchy (1815), vaikka aiemmin (1801) K. Gauss kutsui neliöllisen muodon erottajaa "determinantiksi".

Japanilainen matemaatikko Seki Takakazu otti itsenäisesti käyttöön determinantit vuonna 1683 [3] .

Määritelmät

Permutaatioiden kautta

Kokoiselle neliömatriisille sen determinantti lasketaan kaavalla: $A=(a_{ij})$ $n\ kertaa n$ $\det A$

\det A=\sum _{\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}(-1)^{N(\alpha _{1}, \alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}\cdot a_{1\alpha _{1}}a_{2\alpha _{2}}\dots a_{n\alpha _{n }}

jossa summaus suoritetaan kaikissa lukujen permutaatioissa ja tarkoittaa permutaatiossa olevien inversioiden määrää . ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n))$ $1,2,\pisteet ,n$ $N(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n))$

Siten determinantti sisältää termejä, joita kutsutaan myös "determinantin termeiksi". $n!$

Vastaava kaava:

\det A=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_ {n}}\cdot a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}

jossa kerroin - Levi-Civita-symboli - on yhtä suuri: $\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n))$

0, jos kaikki indeksit eivät ole erillisiä,

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

1, jos kaikki indeksit ovat erilaisia ja substituutio on parillinen,

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

{\begin{pmatrix}1&2&\pisteet &n\\i_{1}&i_{2}&\pisteet &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

−1, jos kaikki indeksit ovat erilaisia ja substituutio on pariton.

{\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n))

{\begin{pmatrix}1&2&\pisteet &n\\i_{1}&i_{2}&\pisteet &i_{n}\end{pmatrix}}\in S_{n}

Aksiomaattinen rakenne (ominaisuuspohjainen määritelmä)

Determinantin käsite voidaan ottaa käyttöön sen ominaisuuksien perusteella. Nimittäin todellisen matriisin determinantti on funktio , jolla on seuraavat kolme ominaisuutta [4] : $\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\rightarrow \mathbb {R}$

$\det(A)$ on matriisin rivien (sarakkeiden) vinosymmetrinen funktio . $A$
$\det(A)$ on matriisin rivien (sarakkeiden) monilineaarinen funktio . $A$
$\det(E)=1$ , missä on identiteettimatriisi . $E$ $n\ kertaa n$

Matriisideterminantin arvo

Ensimmäisen kertaluvun matriisissa determinantin arvo on yhtä suuri kuin tämän matriisin ainoa elementti:

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}\end{vmatrix}}=a_{11}

Matriisit 2 x 2

Matriisille determinantti lasketaan seuraavasti: $2\ kertaa 2$

\Delta ={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc

Tätä matriisia A voidaan pitää lineaarisena kartoitusmatriisina , joka muuntaa yksikköneliön suunnikkaaksi, jonka kärjet (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) ja ( c , d ) ovat .

Determinantin itseisarvo on yhtä suuri kuin tämän suuntaviivan pinta-ala ja heijastaa siten tekijää, jolla alueet skaalataan A -muunnoksessa . $|ad-bc|$

Merkillisen determinantin arvo ( suunnikaisen suunnattu alue ) kertoo skaalaustekijän lisäksi myös, suorittaako muunnos A heijastuksen.

Matriisit 3 x 3

Matriisideterminantti voidaan laskea kaavalla: $3 kertaa 3$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\ end{vmatrix}}=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-a_{12}{\begin{vmatrix }a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}+a_{13}{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31} &a_{32}\end{vmatrix}}=

=a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{ 31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}

Kolmannen asteen determinantin laskennan helpottamiseksi voit käyttää Sarrus- sääntöä tai kolmiosääntöä.

Vektoreista koostuvan matriisin determinantti on yhtä suuri kuin niiden sekatulo oikeassa suorakulmaisessa koordinaatistossa ja, kuten kaksiulotteisessa tapauksessa, on suuntaissärmiön suunnattu tilavuus, joka ulottuu . $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$

N × N matriisia

Yleensä korkeamman asteen matriiseille (ylempi kertaluku 2) determinantti voidaan laskea käyttämällä seuraavaa rekursiivista kaavaa: $n\ kertaa n$

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}

, jossa on lisämolli elementille . Tätä kaavaa kutsutaan rivin laajentamiseksi .

{\bar {M}}_{j}^{1}

a_{1j}

On helppo todistaa, että matriisideterminantti ei muutu transponoinnin aikana (toisin sanoen samanlainen laajennus ensimmäisessä sarakkeessa on myös voimassa, eli se antaa saman tuloksen kuin ensimmäisen rivin laajennus):

\Delta =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}

Todiste

Anna . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1}^{i}$

Todistakaamme tämä induktiolla. Voidaan nähdä, että tämä pätee matriisiin: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2\ kertaa 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=\Delta _{2}

Oletetaan, että järjestysmatriisille - totta. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1}{\bar {M}}_{1} ^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}(-1)^{i+1}a_{i1 }{\bar {M}}_{1}^{i}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}( -1)^{i+1}a_{i1}\sum _{j=2}^{n}(-1)^{j}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{ i1}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{i=2}^{n}\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{i1}a_{1j}{\bar {M}}_{1j}^{i1}

{\Delta _{n}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1} =a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}(-1)^ {1+j}a_{1j}\summa _{i=2}^{n}(-1)^{i}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}=

=a_{11}{\bar {M}}_{1}^{1}+\sum _{j=2}^{n}\sum _{i=2}^{n}(-1)^ {i+j+1}a_{1j}a_{i1}{\bar {M}}_{j1}^{1i}={\tilde {\Delta _{n}}}

■

Samanlainen laajennus mille tahansa riville (sarakkeelle) on myös voimassa:

\Delta =\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}

Todiste

Anna . ${\tilde {\Delta }}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j}^{i}$

Todistakaamme tämä induktiolla. Voidaan nähdä, että tämä pätee matriisiin: ${\tilde {\Delta ))=\Delta$ $2\ kertaa 2$

{\tilde {\Delta _{2}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=-a_{21}a_{12}+a_{22}a_{11}=\Delta _{2}

Oletetaan, että järjestysmatriisille - totta. $n-1$ ${\tilde {\Delta ))_{n-1}=\Delta _{n-1}$

{\tilde {\Delta _{n}}}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}{\bar {M}}_{j} ^{i}=\summa _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\left(\sum _{k<j}(-1)^{1+ k}a_{1k}{\bar {M}}_{jk}^{i1}+\sum _{k>j}(-1)^{k}a_{1k}{\bar {M}}_ {jk}^{i1}\oikea)

Keräämme kertoimet : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{ 0}}+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ij_{0}}a_{1k_{0}}-a_{ik_{0}}a_{1j_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{i+j_{0}}a_{ij_{0}}(-1)^{k_{0}}a_{1k_{0} }+(-1)^{i+k_{0}}a_{ik_{0}}(-1)^{j_{0}+1}a_{1j_{0}}=(-1)^{i +j_{0}+k_{0}+1}(a_{ik_{0}}a_{1j_{0}}-a_{ij_{0}}a_{1k_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\tilde {\Delta _{n))}=\sum _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M} }_{jk}^{1i}

\Delta =\summa _{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}{\bar {M}}_{j}^{1}=\summa _{j =1}^{n}(-1)^{1+j}a_{1j}\left(\sum _{k<j}(-1)^{i+k-1}a_{ik}{\ palkki {M}}_{jk}^{1i}+\sum _{k>j}(-1)^{i+k-2}a_{ik}{\bar {M}}_{jk}^ {1i}\oikea)

Keräämme kertoimet : ${\bar {M}}_{j_{0}k_{0}}^{i\,\,1}$

j_{0}>k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-1}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-2}a_{ij_{0}}=( -1)^{j_{0}+i+k_{0}}(a_{1j_{0}}a_{ik_{0}}-a_{1k_{0}}a_{ij_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

j_{0}<k_{0}\colon \;(-1)^{1+j_{0}}a_{1j_{0}}(-1)^{i+k_{0}-2}a_{ ik_{0}}+(-1)^{1+k_{0}}a_{1k_{0}}(-1)^{i+j_{0}-1}a_{ij_{0}}=( -1)^{k_{0}+i+j_{0}}(a_{1k_{0}}a_{ij_{0}}-a_{1j_{0}}a_{ik_{0}})=

=(-1)^{i+j_{0}+k_{0}+1}M_{j_{0}k_{0}}^{1\,\,i}

{\Delta _{n}}=\summa _{j\neq k}(-1)^{i+j+k+1}M_{jk}^{1i}{\bar {M}}_{jk }^{1i}={\tilde {\Delta _{n))}

■

Yllä olevien kaavojen yleistys on determinantin laajennus Laplacen mukaan (Laplacen lause ), joka mahdollistaa determinantin laskemisen mille tahansa riville (sarakkeelle): $k$

\Delta =\sum _{1\leqslant j_{1}<\ldots <j_{k}\leqslant n}(-1)^{i_{1}+\ldots +i_{k}+j_{ 1}+\lpisteet +j_{k}}M_{j_{1}\lpisteet j_{k}}^{i_{1}\lpisteet i_{k}}{\bar {M}}_{j_{1} \ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{k}}

Vaihtoehtoiset laskentamenetelmät

Dodgsonin kondensaatiomenetelmä , joka perustuu rekursiiviseen kaavaan:

{\displaystyle \Delta ={\frac {{\bar {M}}_{1}^{1}{\bar {M}}_{k}^{k}-{\bar {M}}_{ 1}^{k}{\bar {M}}_{k}^{1}}{{\bar {M}}_{1,k}^{1,k))))

Determinanttien perusominaisuudet

Seuraavat ominaisuudet kuvastavat determinanttien teorian päätuloksia, joiden soveltaminen ylittää paljon tämän teorian rajat:

$\det E=1$ (Identiteettimatriisin determinantti on 1);
$\det cA=c^{n}\det A$ (Determinantti on homogeeninen potenssifunktio koon matriisien avaruudessa ); $n$ $n\ kertaa n$
$\det A^{T}=\det A$ (Matriisin determinantti ei muutu, kun se transponoidaan);
$\det(AB)=\det A\cdot \det B$ (Matriisien tulon determinantti on yhtä suuri kuin niiden determinanttien tulo, ja ne ovat saman luokan neliömatriiseja); $A$ $B$
${\displaystyle \det A^{-1}=(\det A)^{-1))$ , ja matriisi on käännettävä silloin ja vain jos sen determinantti on käänteinen ; $A$ $\det A$
Yhtälölle on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain jos (tai sen on oltava ei-triviaali nollajakaja, jos se ei ole integraalirengas). $AX=0$ $\detA=0$ $\det A$ $R$

Determinantti matriisin rivien (sarakkeiden) funktiona

Determinanttien teoriaa tutkittaessa on hyödyllistä pitää mielessä, että tämä teoria perustuu K.F.:n kehittämään matriisien rivien ja sarakkeiden manipulointitekniikkaan . Gaussin (Gaussin muunnokset). Näiden muunnosten olemus rajoittuu lineaarisiin operaatioihin riveillä (sarakkeilla) ja niiden permutaatiolla. Nämä muunnokset heijastuvat determinantissa melko yksinkertaisella tavalla, ja niitä tutkiessa on kätevää "osioida" alkuperäinen matriisi riveiksi (tai sarakkeiksi) ja pitää determinanttia rivien (sarakkeiden) yli määritellynä funktiona. Lisäksi kirjaimet osoittavat matriisin rivejä (sarakkeita) . ${\hat {A}}_{i}$ $A$

1. Determinantti on matriisin rivien (sarakkeiden) monilineaarinen funktio . Multilineaarisuus tarkoittaa, että funktio on lineaarinen jokaisessa argumentissa ja jäljellä olevien argumenttien kiinteillä arvoilla:

\det({\hat {A}}_{1},\ldots ,\alpha {\hat {A}}_{i}+\beta {\hat {A'}}_{i}, \ldots ,{\hat {A}}_{n})=\alpha \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{n})+\beta \det({\hat {A}}_{1},\ldots ,{\hat {A'}}_{i},\ldots , {\hattu {A}}_{n})

2. Determinantti on matriisin rivien (sarakkeiden) vinosymmetrinen funktio, eli kun matriisin kaksi riviä (saraketta) vaihdetaan, sen determinantti kerrotaan −1:llä:

\det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots )=-\det(\ldots ,{\hat {A}}_{j},\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots )

3. Jos matriisin kaksi riviä (saraketta) ovat samat, niin sen determinantti on nolla:

{\hat {A}}_{i}={\hat {A}}_{j}\Longrightarrow \det(\ldots ,{\hat {A}}_{i},\ldots ,{ \hat {A}}_{j},\ldots )=0

Kommentti. Ominaisuudet 1-3 ovat determinantin pääominaisuudet rivien (sarakkeiden) funktiona, ne on helppo todistaa suoraan määritelmästä. Ominaisuus 2 (vinosymmetria) on looginen seuraus ominaisuuksista 1 ja 3. Ominaisuus 3 on looginen seuraus ominaisuudesta 2 , jos renkaan alkio 2 (eli 1 + 1) ei ole sama kuin nolla eikä ole nollan jakaja. Ominaisuudet 1 ja 3 tarkoittavat myös seuraavia ominaisuuksia: $R$

4. Determinantin minkä tahansa rivin (sarakkeen) alkioiden yhteinen tekijä voidaan ottaa pois determinantin merkistä (omaisuuden 1 seuraus). 5. Jos vähintään yksi matriisin rivi (sarake) on nolla, niin determinantti on yhtä suuri kuin nolla (ominaisuuden 4 seuraus). 6. Jos matriisin kaksi (tai useampia) riviä (saraketta) ovat lineaarisesti riippuvaisia, niin sen determinantti on nolla (ominaisuuksien 1 ja 3 seuraus). 7. Kun johonkin riviin (sarakkeeseen) lisätään muiden rivien (sarakkeiden) lineaarinen yhdistelmä , determinantti ei muutu (ominaisuuksien 1 ja 6 seurauksena).

Olennaista on se, että determinantti on universaali täysarvoisena monilineaarisena vinosymmetrisenä funktiona, jonka argumentit ovat äärellisulotteisen vektoriavaruuden (tai -moduulin , jolla on äärellinen kanta) elementtejä. Seuraavat $V$ $R$ $V$

Lause. Antaa olla vapaa -luokan arvomoduuli ( -ulotteinen vektoriavaruus yli , jos on kenttä). Olkoon -arvoinen funktio ominaisuuksilla 1-3. Sitten valittaessa avaruuden perustaa on vakio , joka koskee kaikkia arvoja :

V

R

n

n

R

R

\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})

R

V^{n}

{\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))

V

c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})

{\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))

\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})

jossa on vektorin koordinaattien sarake suhteessa kantaan . ${\hat {X}}_{i}$ $X_{i}$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))$

Todiste

Laajennetaan vektoreita perusteen mukaan : . Sitten seuraavat sarakkeet vastaavat niitä: . ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))$ ${\displaystyle E_{1},E_{2},\dots ,E_{n))$ ${\displaystyle X_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}E_{j))$ ${\hat {X}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}x_{ij}{\hat {E}}_{j}$

Johtuen funktion multilineaarisuudesta $\varphi$ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\varphi (\sum _{i_{1}=1}^{n}x_{1i_{1)) E_{i_{1}},\summa _{i_{2}=1}^{n}x_{2i_{2}}E_{i_{2}},\pisteet ,\sum _{i_{n}= 1}^{n}x_{ni_{n}}E_{i_{n}})=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}=1}^{n} \varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})\cdot x_{1i_{1}}x_{2i_{2}}\dots x_{ ni_{n}}$

Ominaisuuden 3 perusteella, jos niiden joukossa on yhteneviä indeksejä, niin ${\displaystyle i_{1},i_{2},\dots ,i_{n))$

\varphi (E_{i_{1)),E_{i_{2)),\dots ,E_{i_{n)))=0

Muuten vinosymmetrian (ominaisuus 2) vuoksi saamme:

\varphi (E_{i_{1}},E_{i_{2}},\dots ,E_{i_{n}})=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{ n}}\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})

Siten missä . ■ $\varphi (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X} }_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})$

Yksi determinantin universaalisuuden tärkeimmistä seurauksista on seuraava lause determinantin multiplikatiivisuudesta.

Lause. Antaa olla matriisi koon . Sitten mille tahansa matriisille koko .

A

n\ kertaa n

\det(AX)=\det A\cdot \det X

X

n\ kertaa n

Todiste

Tarkastellaan vinossa-symmetristä monilineaarista muotoa sarakeavaruudessa . Todistetun lauseen mukaan tämä muoto on yhtä suuri kuin , jossa . ■ $R^{n}$ $\varphi ({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})=\det(A {\hattu {X}}_{1},A{\hattu {X}}_{2},\pisteet ,A{\hattu {X}}_{n})=\det(AX)$ $c_{0}\det({\hat {X}}_{1},{\hat {X}}_{2},\dots ,{\hat {X}}_{n})= c_{0}\det X$ $c_{0}=\varphi (E_{1},E_{2},\dots ,E_{n})=\det({\hat {A}}_{1},{\hat {A }}_{2},\dots ,{\hat {A}}_{n})=\det A$

Determinantti ja suunnattu tilavuus

Antaa olla kolme vektoria avaruudessa . Ne luovat suuntaissärmiön, jonka kärjet sijaitsevat pisteissä, joissa on sädevektorit . Tämä laatikko voi olla degeneroitunut, jos vektorit ovat samassa tasossa (ne sijaitsevat samassa tasossa, ovat lineaarisesti riippuvaisia). ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {0}},{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}} ,{\vec {c}}+{\vec {a}},{\vec {b}}+{\vec {c}},{\vec {a}}+{\vec {b}}+{ \vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Suunnattu tilavuusfunktio määritellään näiden vektoreiden generoiman laatikon tilavuudeksi, ja se otetaan "+"-merkillä, jos vektoreiden kolmoisosa on suunnattu positiivisesti, ja "-"-merkillä, jos se on negatiivisesti suunnattu. Funktio on monilineaarinen ja vinosymmetrinen. Omaisuus 3 on ilmeisen tyytyväinen. Tämän funktion monilineaarisuuden todistamiseksi riittää, kun todistetaan sen lineaarisuus suhteessa vektoriin . Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, arvo on nolla vektorista riippumatta ja siksi siitä lineaarisesti riippuvainen. Jos vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia, merkitään yksikön vektorilla, joka on normaali vektoritasoon nähden , niin että . Sitten suuntaissärmiön suunnattu tilavuus on yhtä suuri kuin vektoreihin rakennetun ja vektorista riippumattoman kannan pinta-alan tulo ja vektorin normaaliin kantaan projektion algebrallinen arvo , joka on yhtä suuri skalaarituloon ja on vektorista lineaarisesti riippuvainen suure . Lineaarisuus suhteessa kohtaan ja lineaarisuus muiden argumenttien suhteen todistetaan samalla tavalla. ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ $\vec a$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\vec {n}}$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ ${\rm {Vol}}({\vec {n}},{\vec {b}},{\vec {c}})>0$ ${\vec {b)),{\vec {c}}$ $\vec a$ $\vec a$ $\langle {\vec {a)),{\vec {n}}\rangle$ $\vec a$ $\vec a$

Soveltamalla lausetta determinantin universaalisuudesta vinosymmetrisenä monilineaarisena funktiona saadaan, että valittaessa avaruuden ortonormaali kanta $({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})$ $\mathbb {R} ^{3}$

{\rm {Vol}}({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})={\rm {Vol}}({\vec {e} }_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3})\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1} \\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1 }&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}

missä ovat vektorien koordinaatit valitussa kannassa. $a_{i},b_{i},c_{i}$ $({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))$

Siten vektorien kerroinmatriisin determinantilla suhteessa ortonormaaliin kantaan on merkitys näille vektoreille rakennetun suuntaissärmiön orientoituneen tilavuuden merkityksessä.

Kaikki edellä mainittu siirretään ilman merkittäviä muutoksia mielivaltaiseen tilaan. $\mathbb {R} ^{n}$

Determinantin rivin/sarakkeen hajottaminen ja matriisin inversio

Rivi/sarake-jakokaavat mahdollistavat determinanttien laskemisen pelkistämisen rekursiiviseksi proseduuriksi, joka käyttää alemman kertaluvun determinanttien laskentaa. Näiden kaavojen johtamiseksi ryhmittelemme ja summaamme matriisin determinantin kaavaan yhtäläisyyden huomioon ottaen kaikki nollasta poikkeavat termit, jotka sisältävät elementin . Tämä summa on: $C=(c_{ij})$ $\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n}=\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}$ $c_{nn}$

c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}n }c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\sum _{i_{1},\dots i_{n-1}=1}^{ n-1}\varepsilon _{i_{1}\dots i_{n-1}}c_{1i_{1}}\dots c_{n-1,i_{n-1}}=c_{nn}\det C_{n}^{n}

missä on matriisi, joka saadaan poistamalla rivi numerolla ja sarake numerolla . ${\displaystyle C_{i}^{j))$ $C$ $i$ $j$

Koska mielivaltainen elementti voidaan siirtää matriisin oikeaan alakulmaan muuttamalla vastaava sarake oikealle ja permutoimalla vastaava rivi alas matriisin oikeaan alakulmaan, ja sen lisämatriisi säilyttää muotonsa, kaikkien ehtojen summa determinantin laajennuksessa, joka sisältää , on yhtä suuri $c_{ij}$ ${\näyttötyyli (nj)}$ $(ni)$ $c_{ij}$

(-1)^{(ni)}(-1)^{(nj)}c_{ij}\det C_{i}^{j}=(-1)^{i+j}c_{ ij}\det C_{i}^{j}=c_{ij}A_{i}^{j}

Suuruutta kutsutaan matriisielementin algebralliseksi komplementiksi . $A_{i}^{j}=(-1)^{i+j}\det C_{i}^{j}$ $c_{ij}$

Ottaen huomioon, että jokainen nollasta poikkeavan kertoimen determinantin laajennustermi sisältää täsmälleen yhden elementin i:nnestä rivistä, voimme laajentaa determinanttia tämän rivin ehdoilla:

\det C=\sum _{j=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j}

— Kaava i:nnen rivin determinantin laajentamiseksi

Samoin, koska jokainen nollasta poikkeavan kertoimen determinantin laajennustermi sisältää täsmälleen yhden elementin j:nnestä sarakkeesta, voimme laajentaa determinanttia tämän sarakkeen ehdoilla:

\det C=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}A_{i}^{j}

— j:nnen sarakkeen determinantin laajennuskaava

Jos matriisin k:nnen rivin alkiot kopioidaan i:nnelle riville, sen determinantiksi tulee nolla, ja i:nnen rivin determinantin laajentamiskaavan mukaan saadaan: $C$

{\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}c_{kj}A_{i}^{j))

— Kaava i:nnen rivin determinantin "väärälle" laajennukselle ( ).

i\neq k

Samoin sarakkeille:

{\displaystyle 0=\sum _{j=1}^{n}c_{ik}A_{i}^{j))

— j:nnen sarakkeen determinantin "väärän" laajennuksen kaava ( )

j\ne k

Saadut kaavat on hyödyllistä kirjoittaa matriisimuotoon. Esitetään matriisi algebrallisten lisäysten matriisin elementteihin : . Sitten saatujen kaavojen mukaan $C$ $A=(A_{i}^{j})$

CA^{T}=A^{T}C=(\det C)\cdot E

Seuraus 1 (Matriisien käänteisyyden kriteeri). Neliömatriisi on käännettävä silloin ja vain, jos se on renkaan käännettävä elementti , ja . $C$ $\det C$ $R$ ${\displaystyle C^{-1}=(\det C)^{-1}\cdot A^{T))$

Seuraus 2. Jos matriisien tulo on nolla ja matriisi on neliö, niin . $CX=0$ $C$ $(\det C)\cdot X=0$

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen determinanttien avulla

Cramerin kaava mahdollistaa lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisun ilmaisemisen determinanttien suhteena, jonka nimittäjä on järjestelmän determinantti ja osoittaja on systeemimatriisin determinantti, jossa vastaavan kertoimen sarake muuttuja korvataan yhtälöiden oikeanpuoleisella sarakkeella.

Cramerin kaava . Olkoon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä matriisimuodossa:, missäon kokojärjestelmän kerroinmatriisi , on järjestelmänyhtälöidenoikeanpuoleisten puolten sarake ja vektorion tämän järjestelmän ratkaisu . Sittenyhtäläisyys pätee mille tahansa: $CX=B$ $C=(c_{ij})$ $n\ kertaa n$ ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})^{T))$ ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}\in R$

(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n})\cdot (\det C)=-\ det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\dots &c_{2n}&b_{2}\\\ pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \\c_{n1}&c_{n2}&\pisteet &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}& \dots &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

Todiste

Merkitse summalla ja syötä $\Lambda X$ ${\displaystyle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\dots +\lambda _{n}x_{n))$

matriisi ja vektori .

D={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\pisteet &c_{1n}&b_{1}\\c_{21}&c_{22}&\pisteet &c_{2n}&b_{2 }\\\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \\c_{n1}&c_{n2}&\pisteet &c_{nn}&b_{n}\\\lambda _{1}&\lambda _ {2}&\pisteet &\lambda _{n}&\Lambda X\end{pmatrix}}

X'={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\pisteet \\x_{n}\\-1\end{pmatrix}}

Sitten ja edellisen osan 2. seurauksen mukaan . $DX'=0$ $(\det D)X'=0$

Mutta koska yksi vektorin komponenteista on yhtä suuri kuin -1, tämä tarkoittaa, että . Väite on todistettu, koska $X'$ $\det D=0$

\det D=\Lambda X\cdot (\det C)+\det {\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\dots &c_{1n}&b_{1}\\c_{21 }&c_{22}&\pisteet &c_{2n}&b_{2}\\\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \\c_{n1}&c_{n2}&\pisteet &c_{nn}&b_ {n}\\\lambda _{1}&\lambda _{2}&\pisteet &\lambda _{n}&0\end{pmatrix}}

■

Tästä kaavasta seuraa erityisesti, että jos - ei ole degeneroitunut (ei ole nolla tai nollajakaja), järjestelmällä voi olla enintään yksi ratkaisu, ja jos determinantti on myös käännettävä, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu. $\det C$

Yksi determinanttien teorian tärkeimmistä teoreemoista on seuraava lause homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuista.

Lause. Olkoon kenttä. Homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ei-triviaali (ei-nolla) ratkaisu, jos ja vain, jos kerroinmatriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla: . $R$ $CX=0$ $\det C=0$

Todiste

Ehdon välttämättömyys sisältyy edellisen osan 2. johtopäätökseen. Todistakaamme tarpeellisuus.

Jos matriisi on nolla, mikä tahansa vektori on ratkaisu. Antaa olla suurin ei-degeneroitu molli ulottuvuuksien matriisissa . Yleisyyttä menettämättä oletetaan, että tämä sivu muodostuu ensimmäisistä r rivistä ja sarakkeesta (muuten muuttujat numeroidaan uudelleen ja yhtälöt järjestetään eri järjestykseen.) Esitetään vektorit ja . Sitten järjestelmän ensimmäiset r yhtälöt matriisimuodossa kirjoitetaan seuraavasti: $C$ $X$ $C_{0}$ $C$ $r\ kertaa r$ ${\displaystyle X_{0}=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{r})^{T))$ ${\displaystyle X_{1}=(x_{r+1},\dots ,x_{n})^{T))$

C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0

Koska matriisi on käännettävä, mikä tahansa arvo vastaa yhtä vektoria , joka täyttää nämä yhtälöt. Osoitetaan, että tässä tapauksessa loput yhtälöt täyttyvät automaattisesti. Anna . $C_{0}$ $X_{1}$ ${\displaystyle X_{0}=-C_{0}^{-1}C_{1}X_{1))$ $j>r$

Otetaan käyttöön kaksi matriisia:

D_{1}={\begin{pmatrix}c_{11}&\pisteet &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\pisteet &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{2n}x_{n}\\\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \ pisteet \pisteet \pisteet \\c_{r1}&\pisteet &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ pisteet &c_{jr}&c_{jr+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{jn}x_{n}\\\end{pmatrix}}

ja .

D_{2}={\begin{pmatrix}c_{11}&\pisteet &c_{1r}&c_{1r+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{1n}x_{n}\ \c_{21}&\pisteet &c_{2r}&c_{2r+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{2n}x_{n}\\\pisteet &\pisteet &\pisteet &\pisteet \ pisteet \pisteet \pisteet \\c_{r1}&\pisteet &c_{rr}&c_{rr+1}x_{r+1}+\pisteet +c_{rn}x_{n}\\c_{j1}&\ pisteet &c_{jr}&-(c_{j1}x_{1}+\pisteet +c_{jr}x_{r})\\\end{pmatrix}}

Matriisissa kaikki sarakkeet ovat osia matriisin sarakkeista , ja viimeinen sarake on lineaarinen yhdistelmä matriisin sarakkeita kertoimilla , joten determinantin lineaarisuuden vuoksi sarakkeiden välillä on lineaarinen yhdistelmä koon matriisin alaikäisten determinantit . Koska on kooltaan suurin ei-degeneroitunut molli, kaikilla suuremmilla mollilla on nolladeterminantti, joten . $D_{1}$ $C$ $C$ ${\displaystyle x_{r+1},\dots ,x_{n))$ $\det D_{1}$ $C$ ${\näyttötyyli (r+1)\times (r+1)}$ $C_{0}$ $\det D_{1}=0$

Suhteesta seuraa, että missä on sarake . Siksi . $C_{0}X_{0}+C_{1}X_{1}=0$ $D_{2}Y=0$ $Y=(x_{1},\dots ,x_{r},1)^{T}\neq 0$ $\det D_{2}=0$

Sitten . Ja koska , silloin myös järjestelmän j:s yhtälö täyttyy. ■ $0=\det D_{1}-\det D_{2}=(\det C_{0})\cdot (c_{j1}x_{1}+c_{j2}x_{2}+\dots +c_{jn}x_{n})$ $\det C_{0}\neq 0$

Tätä lausetta käytetään erityisesti matriisien ominaisarvojen ja ominaisvektorien löytämiseen.

Vektorijärjestelmän täydellisyyden ja lineaarisen riippumattomuuden kriteeri

Determinantin käsitteeseen liittyy läheisesti vektoriavaruudessa olevien vektorijärjestelmien lineaarisen riippuvuuden ja täydellisyyden käsite.

Antaa olla kenttä ja olla vektoriavaruus äärellisellä perusteella . Olkoon toinen joukko vektoreita annettu . Niiden koordinaatit suhteessa annettuun kantaan ovat laajennuskertoimia . Tehdään (neliö)matriisi . Lause on totta: $R$ $V$ $R$ ${\vec {e_{1}}},{\vec {e_{2}}},\dots ,{\vec {e_{n}}}$ $n$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ ${\displaystyle v_{ij))$ ${\vec {v_{i}}}=\sum v_{ij}{\vec {e_{j}}}$ $A=(v_{ij})$

Lause (vektorijärjestelmän täydellisyyden ja lineaarisen riippumattomuuden kriteeri).

(1) Vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos .

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

\detA=0

(2) Vektorijärjestelmä on täydellinen, jos ja vain jos matriisi ei ole degeneroitunut ( ).

{\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}

A

\det A\neq 0

Todiste

(1) Todistus perustuu siihen, että vektorin koordinaattisarake on yhtä suuri kuin , missä . ${\displaystyle \sum x_{i}{\vec {v_{i))))$ $AX$ ${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$

Jos , niin . Sitten ja jos on eri kuin nolla, niin . $\sum x_{i}{\vec {v_{i))}=0$ $AX=0$ $(\det A)\cdot X=0$ $X$ $\detA=0$

Päinvastoin, jos , on ei-nolla-sarake siten, että . Tämä tarkoittaa, että . $\detA=0$ $X$ $AX=0$ $\sum x_{i}{\vec {v_{i))}=0$

(2) Jos matriisi ei ole rappeutunut, se on käännettävä. Antaa olla mielivaltainen vektori, on sarake sen koordinaatit, . Sitten . Näin ollen mielivaltainen vektori voidaan hajottaa vektorijärjestelmäksi , mikä tarkoittaa sen täydellisyyttä. $A$ ${\vec {u}}$ ${\displaystyle Y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})^{T))$ ${\displaystyle X=A^{-1}Y=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})^{T))$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$

Päinvastoin, anna matriisin olla rappeutunut. Sitten on olemassa ei-nolla rivi kertoimia siten, että . Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa vektori, joka hajoaa vektorijärjestelmän suhteen, täyttää rajoituksen . Jos jokin kerroin on nollasta poikkeava, kantavektoria ei voida laajentaa tässä vektorijärjestelmässä, mikä tarkoittaa, että se ei ole täydellinen. ■ $A$ $C=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{n})$ $CA=0$ ${\vec {u}}=\sum x_{i}{\vec {v_{i}}}$ ${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}},\dots ,{\vec {v_{n}}}$ $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n}=0$ $c_{k}$ ${\displaystyle {\vec {e_{k))))$

Seuraus. Vektoriavaruudessa , jolla on äärellinen vektoreiden kanta: $V$ $n$

(1) mikä tahansa järjestelmä, joka koostuu vähemmän kuin vektoreista, ei ole täydellinen;

n

(2) mikä tahansa järjestelmä, joka koostuu useammasta kuin vektoreista, on lineaarisesti riippuvainen;

n

(3) jokainen avaruuden kanta sisältää tarkalleen vektoreita.

V

n

Siten äärellisellä kantavalla vektoriavaruuden ulottuvuus on hyvin määritelty. $V$

Jotkut determinanttien erityisominaisuudet

Matriisideterminantti on yhtä suuri kuin sen ominaisarvojen tulo .
Jos neliömatriisi ilmaisee lineaarisen muunnoksen , niin sen determinantti ei muutu, kun lineaarisen avaruuden kantaa muutetaan.

Algoritminen toteutus

Suorat menetelmät determinantin laskemiseksi voivat perustua suoraan sen määritelmään permutaatioiden summana tai Laplacen laajennukseen alemman kertaluvun determinanttien suhteen. Tällaiset menetelmät ovat kuitenkin erittäin tehottomia, koska ne vaativat O ( n ! ) operaatiota -: nnen kertaluvun determinantin laskemiseen . Samalla ne ovat universaaleja, sovellettavissa tapauksissa, joissa matriisin elementit eivät ole lukuja (funktiot, polynomit, parillisen asteen differentiaalimuodot jne.), eivätkä vaadi jakooperaatioita. $n$
Yksi nopeimmista numeerisista menetelmistä determinantin laskemiseen on Gaussin menetelmän yksinkertainen muunnos . Gaussin menetelmää noudattaen mielivaltainen matriisi voidaan pelkistää askelmuotoon (Ylempi kolmiomatriisi) käyttämällä vain seuraavia kahta matriisin operaatiota - permutoimalla kaksi riviä ja lisäämällä toinen rivi yhteen matriisin rivistä, kerrottuna mielivaltaisella luvulla. Determinantin ominaisuuksista seuraa, että toinen operaatio ei muuta matriisin determinanttia, kun taas ensimmäinen vain kääntää etumerkkinsä. Porrastettuun muotoon pelkistetyn matriisin determinantti on yhtä suuri kuin sen diagonaalin alkioiden tulo, koska se on kolmio , joten alkuperäisen matriisin determinantti on: $A$ $\det A=(-1)^{s}\cdot \det A_{\mbox{ref)),$

missä on algoritmin suorittamien rivipermutaatioiden lukumäärä ja on algoritmin tuloksena saadun matriisin askelmuoto. Tämän menetelmän, kuten Gaussin menetelmän, monimutkaisuus on , sen toteuttamiseksi on tarpeen käyttää jakooperaatiota.

s

A_{\mbox{ref}}

A

O(n^{3})

Determinantti voidaan laskea tietämällä matriisin LU-hajotelma . Jos , Missä ja ovat kolmiomatriiseja, sitten . Kolmiomatriisin determinantti on yksinkertaisesti sen diagonaalielementtien tulos. $A = LU$ $L$ $U$ $\det A=(\det L)(\det U)$
Jos käytettävissä on algoritmi, joka suorittaa kahden järjestysmatriisin kertomisen ajassa , missä joillekin , niin järjestysmatriisin determinantti voidaan laskea ajassa . [5] Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että käyttämällä Coppersmith-Winograd-algoritmia matriisin kertolaskussa determinantti voidaan laskea ajassa . $n$ $M(n)$ $M(n)\geqslant n^{a}$ $a>2$ $n$ $O(M(n))$ $O(n^{2,376})$

Determinanttien erikoistyypit

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Bronstein I. N., Semendyaev K. A. Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakoulujen opiskelijoille. — 13. painos, korjattu. - M .: Nauka, 1986.
↑ E. I. Berezkina. Muinaisen Kiinan matematiikka. - M .: Nauka, 1980.
↑ HW Eves. Johdatus matematiikan historiaan . - Saunders College Publishing, 1990.
↑ Skornyakov L. A. Algebran elementit. - M .: Nauka, 1986. - S. 16-23. – Levikki 21 000 kappaletta.
↑ JR Bunch ja JE Hopcroft. Kolmiokerroin ja inversio nopealla matriisikertouksella, Mathematics of Computation , 28 (1974) 231-236.

Kirjallisuus

V. A. Ilyin , E. G. Poznyak lineaarinen algebra, Moskova: Nauka - Fizmatlit, 1999.
Beklemishev DV Analyyttisen geometrian ja lineaarisen algebran kurssi. Moskova: Fizmatlit, 2000.
Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Osa 1. Algebran perusteet: Oppikirja lukioille. Moskova: Fizmatlit, 2004.
Borevich ZI Determinantit ja matriisit. - M.: Nauka, 1988.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen Brockhaus ja Efron maailman ympäri Pieni Brockhaus ja Efron Uusi Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	BNF : 11975737s J9U : 987007550422505171 LCCN : sh85037299 NDL : 00562696 NKC : ph153485