Ortogonaaliset polynomit

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 7.11.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Matematiikassa ortogonaalisten polynomien sarja on todellisten polynomien ääretön sarja

p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots

jossa kullakin polynomilla on aste , ja myös mitkä tahansa tämän sekvenssin kaksi erilaista polynomia ovat ortogonaalisia toisiinsa nähden jonkin avaruudessa annetun skalaaritulon merkityksessä . $p_n(x)$ $n$ $L^{2}$

Ortogonaalisten polynomien käsite otettiin käyttöön 1800-luvun lopulla. P. L. Chebyshevin teoksissa jatkuvista murtoluvuista , ja myöhemmin A. A. Markov ja T. I. Stiltjes kehittivät ja löysivät erilaisia sovelluksia monilla matematiikan ja fysiikan aloilla .

Määritelmä

Ortogonaalisuus painon kanssa

Antaa olla väli todellisella akselilla (äärellinen tai ääretön) . Tätä aukkoa kutsutaan ortogonaalisuusväliksi . Päästää $(a, b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

tietty jatkuva tiukasti positiivinen funktio intervallin sisällä. Tällaista funktiota kutsutaan painoksi tai yksinkertaisesti painoksi . Funktio liittyy funktioiden avaruuteen, jonka integraali konvergoi $(a, b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \vasen[f(x)\oikea]^2 w(x) \; dx < \infty

Tuloksena olevaan tilaan voit syöttää skalaaritulon kaavan mukaan

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

todellisiin toimintoihin,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

monimutkaisille funktioille.

Jos kahden funktion skalaaritulo on nolla , niin tällaisia funktioita kutsutaan ortogonaaleiksi painon kanssa . Ortogonaalisten polynomien joukossa huomioidaan yleensä vain reaalifunktiot. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Klassinen sanamuoto

Polynomijärjestelmä

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots

kutsutaan ortogonaaliksi jos

$p_n(x)$ on astepolynomi , $n$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , jossa on Kronecker-symboli , on normalisointitekijä. $\delta _{{mn}}$ $h n}}$

Ortogonaalista kantaa sanotaan ortonormaaliksi , jos kaikilla sen elementeillä on yksikkönormi . Jotkut alla esitetyistä klassisista polynomeista voidaan normalisoida jonkin muun säännön mukaan. Tällaisten polynomien arvot eroavat yksiköstä, ja ne on lueteltu alla olevassa taulukossa. $||p_n||=h_n=1$ $h n}$

Ortogonaalisten polynomien sekvenssien yleiset ominaisuudet

Toistuvat suhteet

Kaikki ortogonaaliset polynomit täyttävät seuraavan toistuvan kaavan , joka liittyy kolmeen peräkkäiseen polynomiin järjestelmästä:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

missä

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}h_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

ja ovat kertoimet termissä ja polynomissa

{\displaystyle k'_{n))

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Tämä kaava pysyy voimassa , jos laitamme . $n = 0$ $p_{-1}(x)=0$

Todiste

Osoitetaan, että millä tahansa n :llä on sellaiset kertoimet a , b ja c , että viimeinen toistuvuussuhde pätee.

Valitsemme a niin, että polynomin kerroin at häviää $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

on n :nnen asteen polynomi.

Valitsemme b niin, että polynomin kerroin at häviää $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polynomi (n-1) -aste.

Laajennamme polynomin sarjaksi (tämä on mahdollista, koska ortogonaalisten polynomien järjestelmä on valmis)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

Tuloksena oleva lauseke kerrotaan skalaarisesti potenssien kanssa $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Pienennä lauseketta käyttämällä polynomien ortogonaalisuutta ja skalaaritulon permutaatioominaisuutta

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Jos , niin polynomin aste on edelleen pienempi kuin n ja se on ortogonaalinen . Siksi . _ $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Siten nollasta poikkeava kerroin on vain ja asettamalla , saamme halutun suhteen

j = n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Christoffel - Darboux - kaava

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

tai milloin $y\-x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\oikea]$

Polynomien juuret

Kaikki polynomin juuret ovat yksinkertaisia, todellisia ja kaikki sijaitsevat ortogonaalisuusvälin sisällä . $p_n(x)$ $\left[a;b\right]$

Todiste

Oletetaan, että ortogonaalisuusvälin sisällä se vaihtaa etumerkkiä vain pisteissä. Sitten on polynomi aste sellainen, että . Toisaalta polynomi voidaan esittää polynomien lineaarisena yhdistelmänä , mikä tarkoittaa, että se on ortogonaalinen , eli . Tuloksena oleva ristiriita todistaa väitteemme. $p_n(x)$ $m<n$ $s_{m}(x)$ $m$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ $s_{m}(x)$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ $s_{m}(x)$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$

Polynomin kahden peräkkäisen juuren välissä on täsmälleen yksi polynomin juuri ja vähintään yksi polynomin juuri , sillä . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

Normin minimaalisuus

Jokaisella ortogonaalisen sekvenssin polynomilla on vähimmäisnormi kaikkien samanasteisten ja samalla ensimmäisellä kertoimella olevien polynomien joukossa. $p_n(x)$ $P_n(x)$

Todiste

Kun n , mikä tahansa n -asteen polynomi p(x) , jolla on sama ensimmäinen kerroin, voidaan esittää

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Kun käytetään ortogonaalisuutta, neliönormi p(x) täyttyy

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Koska normit ovat positiivisia, sinun on otettava molempien puolien neliöjuuret ja saat tuloksen.

Järjestelmän täydellisyys

Ortogonaalisten polynomien järjestelmä on valmis. Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa n - asteinen polynomi voidaan esittää sarjana $p_i(x)$ $S(x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)

missä ovat laajenemiskertoimet. $\alpha$

Todiste

Todistettu matemaattisella induktiolla. Valitsemme niin, että on polynomi, jonka aste on pienempi kuin . Jatkossa induktio. $\ {\alpha}_n$ $\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$ $n$

Ortogonaalisiin polynomeihin johtavat differentiaaliyhtälöt

Erittäin tärkeä ortogonaalisten polynomien luokka syntyy, kun ratkaistaan seuraavan muotoinen differentiaaliyhtälö :

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$

missä ja niille on annettu toisen ja ensimmäisen kertaluvun polynomit, ja ne ovat tuntemattomia funktioita ja kertoimia. Tätä yhtälöä kutsutaan Sturm-Liouvillen ongelmaksi ja se voidaan kirjoittaa uudelleen sen vakiomuotoon $Q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

jossa Tämän yhtälön ratkaisu johtaa ominaisarvojen joukkoon ja ominaisfunktioiden joukkoon, jolla on seuraavat ominaisuudet: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \pisteet$ $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$

$P_n(x)$ on n -asteen polynomi riippuen ${\lambda}_n$

sekvenssi on ortogonaalinen painofunktion kanssa $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ $K(x)$

Ortogonaalisuusväli riippuu polynomin Q juurista ja juuri L on ortogonaalisuusvälin sisällä

Lukuja ja polynomeja voidaan saada kaavoista $\lambda_n$ $P_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \oikea)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ vasen(W(x)[Q(x)]^{n}\oikea)

Rodriguesin kaava .

Differentiaaliyhtälöllä on ei-triviaaleja ratkaisuja vain, jos jokin seuraavista ehdoista täyttyy. Kaikissa näissä tapauksissa asteikkoa ja/tai määrittelyaluetta siirrettäessä ja normalisointimenetelmää valittaessa ratkaisupolynomit pelkistetään rajoitettuun joukkoon luokkia, joita kutsutaan klassisiksi ortogonaaleiksi polynomeiksi .

1. Jacobilike polynomit Q on toisen kertaluvun polynomi, L on ensimmäisen kertaluvun polynomi. Q :n juuret ovat erillisiä ja todellisia, L :n juuri on tiukasti Q :n juurien välissä . Ensimmäisellä kertoimella Q ja L on sama merkki. Lineaarisen muunnoksen avulla yhtälö pelkistyy ortogonaalisuusvälillä . Ratkaisuina ovat Jacobin polynomit tai niiden erikoistapaukset , Gegenbauer- , Legendre- tai Chebyshev-polynomit molemmista tyypeistä , .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alpha, \beta)}(x)

C_n^{(\alpha)}(x)

P_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Laguerren kaltaiset polynomit Q ja L ovat ensimmäisen kertaluvun polynomeja. Q :n ja L :n juuret ovat erilaiset. Ensimmäisillä kertoimilla Q ja L on sama etumerkki, jos L: n juuri on pienempi kuin Q :n juuri ja päinvastoin. Vähentää ortogonaalisuuden ja väliin . Ratkaisut ovat yleistettyjä Laguerren polynomeja tai niiden erityistapauksia, Laguerren polynomeja .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alpha)}(x)

L_n(x)

3. Eremiittiset polynomit Q on nollasta poikkeava vakio, L on ensimmäisen kertaluvun polynomi. Ensimmäiset kertoimet Q ja L ovat päinvastaisia. Vähentää ortogonaalisuuden ja väliin . Ratkaisut ovat Hermite-polynomeja .

Q(x) = 1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Ortogonaalisten polynomien johdannaiset

Merkitään polynomin m :nnenä derivaatana . Derivaata on astepolynomi ja sillä on seuraavat ominaisuudet: $P_n^{m}(x)$ $P_n(x)$ $P_n^{m}(x)$ $nm$

ortogonaalisuus

Tietylle m :lle polynomien sarja on ortogonaalinen painofunktion kanssa

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \pisteet

W(x)[Q(x)]^m

Rodriguen kaava

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\left(W(x)[ Q(x)]^m\oikea)

differentiaaliyhtälö

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, missä

y(x)=P_n^{m}(x)

toisen tyyppinen differentiaaliyhtälö

(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, missä

y(x)=P_n^{m}(x)

toistuvuussuhteet (mukavuussyistä kertoimet a , b ja c jättävät indeksit n ja m pois )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x ).

Klassiset ortogonaaliset polynomit

Klassisilla ortogonaalisilla polynomeilla, jotka ovat peräisin yllä kuvatusta differentiaaliyhtälöstä, on monia tärkeitä sovelluksia sellaisilla aloilla kuin matemaattinen fysiikka, numeeriset menetelmät ja monet muut. Niiden määritelmät ja tärkeimmät ominaisuudet on annettu alla.

Jacobi-polynomit

Jacobin polynomeja merkitään , joissa parametrit ja reaaliluvut ovat suurempia kuin −1. Jos ja eivät ole yhtä suuret, polynomit eivät ole enää symmetrisiä pisteen suhteen . $P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ $\alpha$ $\beeta$ $\alpha$ $\beeta$ $x=0$

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x)=(1-x)^\alpha(1+x)^\beta$ $[-1,1]$

Differentiaaliyhtälöt

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Ominaisarvot

\lambda_n = n(n+1+\alpha+\beta)

Toistuva kaava

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( x),

missä

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta )}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1) (2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}

Normalisointi

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qquad e_n=(-2)^n\,n!

Gegenbauer-polynomit

Gegenbauer-polynomeja merkitään , jossa parametri on reaaliluku, joka on suurempi kuin −1/2. Se on johdettu Jacobin polynomeista yhtäläisille parametreille ja $C_n^{(\alpha)}(x)$ $\alpha$ $\alpha$ $\beeta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2) \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

Loput Jacobin kaltaiset polynomit ovat Gegenbauer-polynomien erikoistapaus valitulla parametrilla ja vastaavalla normalisoinnilla. $\alpha$

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$ $[-1,1]$

Differentiaaliyhtälöt

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Ominaisarvot

\lambda_n = n(n+2\alpha)

Toistuva kaava

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alpha -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalisointi

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

jos

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

Muut ominaisuudet

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Legendre-polynomit

Legendre-polynomit on merkitty ja ovat erikoistapaus Gegenbauer-polynomeista parametreilla $P_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x) = 1$ $[-1,1]$

Differentiaaliyhtälöt

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y = 0

Ominaisarvot

\lambda_n = n(n+1)

Toistuva kaava

{\näyttötyyli (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)}

Normalisointi

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

Muutama ensimmäinen polynomi

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1) / 2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Chebyshev-polynomit

Tšebyshevin polynomia käytetään usein funktioiden approksimointiin astepolynomina , joka poikkeaa vähiten nollasta välin aikana. $T_{n}(x)$ $n$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$

On parametrin normalisoidun Gegenbauer-polynomin erikoistapaus $\alpha \-0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Differentiaaliyhtälö

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Ominaisarvot

\lambda_n = n^2

Toistuva kaava

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalisointi

T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matrix}\right. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

Toisen tyyppistä Chebyshev-polynomia luonnehditaan polynomiksi, jonka itseisarvon integraali poikkeaa vähiten välin nollasta $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Differentiaaliyhtälö

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalisointi

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Laguerren polynomit

Liittyvät tai yleiset Laguerren polynomit merkitään , jos parametri on reaaliluku, joka on suurempi kuin -1. Yleistetyt polynomit pelkistetään tavallisiksi Laguerren polynomeiksi $L_n^{(\alpha)}(x)$ $\alpha$ $\alpha = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Differentiaaliyhtälöt

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Ominaisarvot

\lambda_n = n

Toistuva kaava

{\näyttötyyli (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)}

Normalisointi

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Muut ominaisuudet

L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Eremiittipolynomit

Painofunktio ortogonaalisuusvälillä $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Differentiaaliyhtälöt

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda \,y=0

Ominaisarvot

\lambda_n = 2n

Toistuva kaava

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalisointi

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

Muutama ensimmäinen polynomi

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Ortogonaalisten polynomien rakentaminen

Gram-Schmidtin ortogonalisointiprosessi

Ortogonaalisten polynomien järjestelmä voidaan rakentaa soveltamalla Gram-Schmidt-prosessia polynomijärjestelmään seuraavasti. Määritellään projektori _ $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \over \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

sitten ortogonaaliset polynomit lasketaan peräkkäin kaavion mukaisesti

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proj}_{f_j}\,(g_k). \end{align}

Tämä algoritmi kuuluu numeerisesti epävakaisiin algoritmeihin. Laajennuskertoimia laskettaessa pyöristysvirheet ja numeeriset integrointivirheet kertyvät polynomiluvun kasvaessa.

Painofunktion hetkien mukaan

Välille määritetty painofunktio määrittää yksiselitteisesti ortogonaalisten polynomien järjestelmän vakiotekijään asti. Merkitse numeroilla $w(x)$ $\left[a;b\right]$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

painofunktion hetkiä, niin polynomi voidaan esittää seuraavasti: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right]

Ortogonaalisten polynomien laskemisen monimutkaisuus määräytyy matriisideterminantin laskennan monimutkaisuuden mukaan. Laskennan olemassa olevat algoritmiset toteutukset vaativat vähintään toimintoja. $O(n^{3})$

Todiste

Osoitetaan, että tällä tavalla määritelty polynomi on ortogonaalinen kaikille polynomeille, joiden aste on pienempi kuin n . Harkitse skalaarituloa arvolle . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matrix} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matrix } \oikea] \\ \\ & {} = 0. \end{align}

Koska matriisissa on kaksi vastaavaa riviä . $k<n$

Toistuvien kaavojen mukaan

Jos valitsemme polynomin normalisoinnin siten, että päätermin kerroin on yhtä suuri, voidaan toistuvuussuhde kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

missä

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}

Ortogonaalisten polynomien sovellukset

Ortogonaalisia polynomeja käytetään tarkkojen kvadratuurikaavojen rakentamiseen

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \noin \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

missä ja ovat kvadratuurikaavan solmut ja painot. Kvadratuurikaava on tarkka kaikille polynomeille asteeseen asti . Tässä tapauksessa solmut ovat n :nnen polynomin juuria painofunktion kanssa kohtisuorassa olevien polynomien sarjasta . Painot lasketaan Christoffel-Darboux'n kaavasta. $x_{i}$ $w_{i}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{i}$ $p_0(x), p_1(x), ...$ $w(x)$ $w_{i}$

Myös ensimmäisen ja toisen tyypin Chebyshev-polynomeja käytetään usein funktioiden approksimoimiseen. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Muistiinpanot

Linkit

Gabor Szego. Ortogonaaliset polynomit (epämääräinen) . - Kollokviumijulkaisut - American Mathematical Society, 1939. - ISBN 0-8218-1023-5 .
Dunham Jackson. Fourier-sarja ja ortogonaaliset polynomit . - New York: Dover, 1941, 2004. - ISBN 0-486-43808-2 .
Refaat El Attar. Erikoisfunktiot ja ortogonaaliset polynomit . — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9 .
Theodore Seio Chihara. Johdatus ortogonaalisiin polynomeihin . - Gordon and Breach, New York, 1978. - ISBN 0-677-04150-0 .

Lisätietoa varten

Ismail, Mourad EH Klassiset ja kvanttiortogonaaliset polynomit yhdessä muuttujassa . - Cambridge: Cambridge University Press , 2005. - ISBN 0-521-78201-5 .
Vilmos Totik Ortogonaaliset polynomit (indefinite) // Surveys in Approximation Theory. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A.. Besselin funktiot, paraboliset sylinterifunktiot, ortogonaaliset polynomit // Korkeammat transsendentaaliset funktiot. T. 2. / Per. englannista. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 s.

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit