Negatiivinen luku

Negatiivinen luku on negatiivisten lukujen joukon elementti, joka (yhdessä nollan kanssa ) esiintyi matematiikassa, kun luonnollisten lukujen joukkoa laajennettiin [1] . Laajennuksen päätarkoituksena oli tehdä vähennyksestä niin täysimääräinen operaatio kuin yhteenlasku . Luonnollisissa luvuissa vain pienempi luku voidaan vähentää suuremmasta, eikä kommutatiivislaki sisällä vähennystä – esimerkiksi lauseke on kelvollinen, mutta lauseke, jossa on permutoidut operandit, ei. $3+4-5$ $3-5+4$

Negatiivisten lukujen ja nollan lisääminen luonnollisiin lukuihin mahdollistaa minkä tahansa luonnollisten lukuparin vähentämisen. Tällaisen laajennuksen tulos on " kokonaislukujen " joukko ( rengas ) . Kun kokonaislukujoukkoa laajennetaan edelleen rationaalisiin ja reaalilukuihin , niille saadaan vastaavat negatiiviset arvot samalla tavalla. Kompleksiluvuille " negatiivisen luvun" käsitettä ei ole olemassa.

Negatiivisten lukujen rakentaminen

Negatiivisten lukujen sijainti numeroakselilla (korostettu punaisella)

Jokaisella luonnollisella luvulla on yksi ja vain yksi negatiivinen luku, joka on nollan komplementti : $n$ $-n$ $n$

n + (-n) = 0.

Molempia lukuja kutsutaan toistensa vastakohtiksi . Muita luonnollisia lukuja kutsutaan "positiivisiksi" vastakohtana "negatiivisiksi". Jos se on positiivinen, sen vastakohta on negatiivinen ja päinvastoin. Nolla on itsensä vastakohta [1] . Rationaalisten ja reaalilukujen positiiviset ja negatiiviset arvot määritellään samalla tavalla : jokainen positiivinen luku liittyy negatiiviseen $n$ $a$ $-a.$

Negatiivisille ja positiivisille luvuille määritetään järjestys , jonka avulla voit verrata yhtä numeroa toiseen. Kaikki negatiiviset luvut, ja vain ne, ovat pienempiä kuin nolla ja myös pienempiä kuin positiiviset luvut. Numeroakselilla negatiiviset luvut sijaitsevat nollan vasemmalla puolella.

Luvun itseisarvo on tämä luku, jonka etumerkki on hylätty [2] . Nimitys: $a$ $\left|a\right|.$

Esimerkkejä:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Luvun ' vähentäminen toisesta luvusta vastaa vastakkaisen lisäämistä : $a$ $b$ $b$ $a$

ba=b+(-a).

Esimerkki: $25-75 = -50.$

Lisätietoja aritmeettisten operaatioiden suorittamisesta negatiivisille luvuille on kohdassa Integer#Algebraic Properties .

Negatiivisten lukujen ominaisuudet

Negatiiviset luvut noudattavat lähes samoja algebrallisia sääntöjä kuin luonnolliset luvut, mutta niillä on joitain erityispiirteitä.

Jos mikä tahansa positiivisten lukujen joukko on rajoitettu alapuolelle, mikä tahansa negatiivisten lukujen joukko on rajoitettu yläpuolelle.
Kun kerrotaan kokonaislukuja, sovelletaan merkkien sääntöä : eri merkkien lukujen tulo on negatiivinen, samalla - positiivinen.
Kun epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan negatiivisella luvulla, epäyhtälön etumerkki käännetään. Esimerkiksi, kun epäyhtälö 3 < 5 kerrotaan −2:lla, saadaan −6 > −10.

Jäännöksellä jaettuna osamäärällä voi olla mikä tahansa etumerkki, mutta jäännös on sopimuksen mukaan aina ei-negatiivinen (muuten se ei ole yksiselitteisesti määritetty). Esimerkiksi −24:n jakaminen 5:llä jäännöksellä mahdollistaa kaksi esitystapaa:

-24=5\cdot (-5)+1;\ -24=5\cdot (-4)-4

Vain ensimmäinen niistä on oikea, ja loppuosa ei ole negatiivinen.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Positiivisten ja negatiivisten lukujen käsitteet voidaan määritellä missä tahansa järjestetyssä renkaassa . Useimmiten nämä käsitteet viittaavat johonkin seuraavista numerojärjestelmistä:

Yllä olevat ominaisuudet 1-3 pätevät myös yleisessä tapauksessa. Käsitteet "positiivinen" ja "negatiivinen" eivät sovellu kompleksilukuihin .

Historiallinen ääriviiva

Muinainen Egypti , Babylon ja antiikin Kreikka eivät käyttäneet negatiivisia lukuja, ja jos yhtälöiden negatiiviset juuret saatiin (vähennettynä), ne hylättiin mahdottomina. Poikkeuksena oli Diophantus , joka jo 3. vuosisadalla tunsi merkkisäännön ja osasi kertoa negatiiviset luvut. Hän piti niitä kuitenkin vain välivaiheena, hyödyllisenä lopullisen, positiivisen tuloksen laskemisessa.

Ensimmäistä kertaa negatiiviset luvut laillistettiin osittain klassisessa kiinalaisessa tutkielmassa " Mathematics in Nine Books " (II vuosisadalla eKr.) ja sitten (noin 700-luvulta lähtien) Intiassa , jossa ne tulkittiin velaksi (pulaksi) tai , kuten Diophantos (III vuosisata jKr.), tunnustettiin väliaikaisiksi arvoiksi. Negatiivisten lukujen kerto- ja jakolaskua ei ollut vielä määritelty. Negatiivisten lukujen hyödyllisyys ja laillisuus selvitettiin vähitellen. Intialainen matemaatikko Brahmagupta ( 7. vuosisata ) piti niitä jo positiivisena, hän määritteli kaikki neljä operaatiota negatiivisilla luvuilla.

Euroopassa tunnustus tuli tuhat vuotta myöhemmin, ja silloinkin negatiivisia lukuja kutsuttiin pitkään "vääriksi", "kuvitteelliseksi" tai "absurteiksi". Ensimmäinen kuvaus niistä eurooppalaisessa kirjallisuudessa ilmestyi Pisalaisen Leonardin kirjassa "Abacus" ( 1202 ), joka piti negatiivisia lukuja velkaina. Bombelli ja Girard pitivät kirjoituksissaan negatiivisia lukuja varsin hyväksyttävinä ja hyödyllisinä, erityisesti osoittamaan jonkin puuttumista. Jo 1600-luvulla Pascal uskoi, että koska "mikään ei voi olla vähempää kuin ei mitään" [3] . Kaiku noista ajoista on se, että nykyaikaisessa aritmetiikassa vähennyslaskua ja negatiivisten lukujen etumerkkiä merkitään samalla symbolilla ( miinus ), vaikka algebrallisesti nämä ovat täysin erilaisia käsitteitä. $0-4 = 0$

1600 -luvulla analyyttisen geometrian myötä negatiiviset luvut saivat visuaalisen geometrisen esityksen numeroakselilla , kiitos Rene Descartesin vuonna 1637 käyttöönoton suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän. Tästä hetkestä tulee heidän täydellinen tasa-arvonsa. Siitä huolimatta negatiivisten lukujen teoria oli lapsenkengissään pitkään. Esimerkiksi oudosta suhteesta keskusteltiin aktiivisesti - siinä ensimmäinen termi vasemmalla on suurempi kuin toinen ja oikealla - päinvastoin, ja käy ilmi, että suurempi on yhtä suuri kuin pienempi (" Arnon paradoksi "). Wallis uskoi, että negatiiviset luvut ovat pienempiä kuin nolla, mutta samalla enemmän kuin ääretön [4] . Ei myöskään ollut selvää, mikä merkitys negatiivisten lukujen kertolaskulla on ja miksi negatiivisten lukujen tulo on positiivinen; tästä aiheesta käytiin kiivasta keskustelua. Gauss vuonna 1831 piti tarpeellisena selventää, että negatiivisilla luvuilla on pohjimmiltaan samat oikeudet kuin positiivisilla, ja se, että ne eivät koske kaikkia asioita, ei tarkoita mitään, koska murtoluvut eivät myöskään koske kaikkia asioita (esim. eivät sovellu ihmisiä laskettaessa) [5] . $1:(-1)=(-1):1$

Täydellinen ja melko tiukka teoria negatiivisista luvuista luotiin vasta 1800-luvulla ( William Hamilton ja Hermann Grassmann ).

Kuuluisia negatiivisia lukuja

Määrä	Numeron merkitys	Huomautuksia
-273,15 °C	Absoluuttinen nollalämpötila	Tämä on nolla Kelvin-astetta.
−1 602 176 565 10 −19 C	Elektronivaraus _	Alkuainevaraus voi olla myös positiivinen - protoneille ja positroneille .
−2,7 10 −9	De Bruijn-Newmanin vakio	Numeroarvo on vuoden 2000 mukaan.

Katso myös

Täydentävä koodi (numeroesitys)

Muistiinpanot

↑ 1 2 Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 111-113.
↑ Perusmatematiikan käsikirja, 1978 , s. 114.
↑ Sukhotin A. K. Tieteellisten ajatusten vaihtelut. M.: Mol. vartija. 1991, sivu 34.
↑ Panov V.F., 2006 , s. 399..
↑ Alexandrova N.V. Matemaattiset termit (Viitekirja). Moskova: Higher School, 1978, s. 164.

Kirjallisuus

Vygodsky M. Ya. Perusmatematiikan käsikirja. - M .: Nauka, 1978.
- Uudelleenjulkaisu: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 sivua.
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa . - M . : Koulutus, 1964. - 376 s.
Panov VF Negatiiviset luvut // Matematiikka vanha ja nuori. - Toim. 2., korjattu. - M . : MSTU im. Bauman , 2006. - S. 398-401. — 648 s. — ISBN 5-7038-2890-2 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Hienoa norjalaista Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4323942-0 J9U : 987007538748505171 LCCN : sh85093215 LNB : 000324565 NKC : ph127748