Veronese pinta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. syyskuuta 2018 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Veronese-pinta on algebrallinen pinta viisiulotteisessa projektioavaruudessa , joka on toteutettu kuvana Veronese-upotuksesta . Veroneselainen upotus on myös yleistetty projektiiivisten tilojen mielivaltaisiin mittoihin. Nimetty italialaisen matemaatikon Giuseppe Veronesen mukaan .

Määritelmä

Veronese-pinta on kuva Veronese-upotuksesta, eli kartoituksesta

{\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5))

annetaan kaavoilla

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

jossa tarkoittaa projektiivitason pisteen homogeenisiä koordinaatteja . $[x:\ldots ]$

Motiivi määritelmälle

Veronese-pinta syntyy luonnollisesti kartioiden tutkimuksessa , varsinkin kun todistetaan väite "viisi pistettä määrittelevät yksiselitteisesti kartion". Kartio on yhtälön antama tasokäyrä

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

joka on neliöllinen muuttujien suhteen. Veronese-upotuksella varustettu koostumus mahdollistaa kuitenkin tämän yhtälön tekemisen lineaariseksi (tarkemmin sanottuna mielivaltaisen kartion saamiseksi riittää, että leikataan Veronese-pinta hypertasolla ja otetaan käänteinen kuva risteys). Sitä vastoin ehto, että kartio sisältää pisteen, on lineaarinen kertoimiin nähden ja pienentää siten tilan mittaa yhdellä. Tarkempi väite on, että viisi pistettä yleisasemassa määrittelevät viisi itsenäistä lineaariyhtälöä, tämä johtuu siitä tosiasiasta, että Veronese-upotuksella yleisaseman pisteet menevät yleisaseman pisteisiin. ${\näyttötyyli x,y,z.}$ ${\näyttötyyli [x:y:z]}$ ${\näyttötyyli (A,B,C,D,E,F)}$

Veronese pinta ja kartiot

Veronese-pinta voidaan yhdistää kartioiden geometriaan toisella tavalla, tavallaan kaksinkertaisella tavalla kuin edellä on kuvattu. Olemme nähneet, että kartio on määritelty muodossa , eli siihen liittyy nollasta poikkeava vektori (yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että kantakenttä on kompleksilukujen kenttä). Suhteellisuusvektorit määrittävät saman kartion, joten itse asiassa kartiot parametroidaan sen projektivisoinnilla, . Toisin sanoen tasossa olevat kartiot voidaan esittää pisteinä viisiulotteisessa projektioavaruudessa; tässä tapauksessa kartioiden lyijykynää edustavat pisteet, jotka sijaitsevat yhdellä suoralla jne. Kuten tiedetään, litteät kartiot voivat olla rappeutuneita ja ei-degeneroituneita, lisäksi rappeutuneet voivat olla joko viivaparia tai kaksoisviiva. Mitkä geometriset objektit parametroivat rappeutuneita kartioita? $\mathbb {P} ^{2}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)\in \mathbb {C} ^{6))$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$

Kaksoisviiva on kartiomainen yhtälön kanssa . Yksinkertaiset, yksittäiset juovat parametroidaan kaksoisprojektiotason avulla ; suoran "kaksinkertaistaminen" määrittelee kartoituksen pisteestä kartiomuotoja parametroivaan tilaan . Laajennamme sulkuja, näemme kuinka se kirjoitetaan eksplisiittisesti: , josta meillä on , mikä vastaa Veronen mappausta lineaariseen muunnokseen asti. ${\näyttötyyli (Lx+Oma+Nz)^{2}=0}$ $\mathbb {P} ^{2}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\oikea)^{*}$ $\mathbb {P} ^{5}$ ${\näyttötyyli (Lx+Oma+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}}$ ${\näyttötyyli (A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})}$

Jos Veronese-pinta parametroi kaksoisviivoja, mikä sitten parametrisoi loput rappeutuneet kartiot? Tällaiselle monille on helppo kirjoittaa yhtälö: itse asiassa kartiota voidaan pitää matriisin antamana neliömuotona . Sen determinantin katoaminen tarkoittaa, että vastaava kartio ei ole tasainen; kolmannen asteen yhtälö matriisikertoimissa, ja se määrittelee kuutioisen hyperpinnan . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ $\det Q=0$ $\mathbb {P} ^{5}$

Tällä hyperpinnalla on myös geometrinen suoritusmuoto. Kuten tiedämme, viivat edustavat litteitä kartiomaisia pyörteitä. On helppo osoittaa, että Veronen pintaa tangentit viivat määrittävät seuraavan muotoisen kartiokynän: kiinnitämme suoran ja pisteen ja kierrämme toista viivaa tämän pisteen ympäri. Siksi rappeutuneiden nelikuntien valikoima on kaikkien Veronesen pinnan tangenttitasojen liitto. $\mathbb {P} ^{5}$ $\ell$ $p\in \ell$

Tähän liittyy kaksi mielenkiintoista geometristä tosiasiaa. Kuten tiedetään, viisiulotteisessa avaruudessa kahdella satunnaisesti otetulla tasolla ei ole yhteisiä pisteitä (kuten kolmiulotteisessa avaruudessa kaksi satunnaisesti otettua suoraa leikkaavat toisiaan). Kuitenkin kahdella tasolla, jotka ovat tangentti Veronen pintaa, on leikkauspiste: nimittäin jos otetaan Veronen pinnan kaksoisviivoja vastaavat pisteet yhtälöillä ja , niin niissä olevilla tangenttitasoilla on yhteinen piste, joka edustaa neliö yhtälön kanssa . Tämä on sitäkin merkittävämpää, koska Veronen pinta ei ole missään hypertasossa (ja neliulotteisessa projektioavaruudessa mitkä tahansa kaksi tasoa leikkaavat toisiaan). Vertailun vuoksi, jos käyrällä in on ominaisuus, että mitkä tahansa kaksi sen tangenttia leikkaavat, tämä käyrä on jossain tasossa. $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{1}L_{2}=0$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}\subset \mathbb {P} ^{5))$ $\mathbb {P} ^{3}$

Toinen tosiasia, jossain määrin, on ensimmäisen uudelleenmuotoilu. Periaatteessa emme voisi ajatella kaikkien sen tangenttien liittoa, vaan kaikkien sen sekanttien liittoa. Se sisältäisi useita tangentteja, koska tangentti on sekantin raja-asema, mutta se voisi olla suurempi. Itse asiassa, jos kaksi Veronese-pinnan pistettä ovat kaksoisviivoja, joissa on yhtälöt ja , niin niiden tuottamilla kynällä olevilla kartioilla on yhtälöt muotoa , ja siksi niillä on singulaarisuus linjojen ja . Siten Veronese-pinnan sekanttien monimuotoisuus kuluu loppuun tangenttien moninaisuuden vuoksi. Tämä on harvinainen tapahtuma. Naiivi mittalaskelma osoittaisi, että sekanttisarja on viisiulotteinen: neljä parametria tarvitaan kahden pinnan pisteen määrittämiseen ja yksi lisää määrittämään pisteen sijainti jänteessä, joka niitä alittaa. Yleispinnan tapauksessa tämä naiivi mittalaskenta toimii, ja siksi sen sekanttivariaatio on kaikki . Esimerkiksi kierretty kuutio (kutsutaan myös Veronese-käyräksi) käyttäytyy samalla tavalla : minkä tahansa avaruuden pisteen kautta voit piirtää suoran, joka leikkaa sen kahdesti (tai koskettaa sitä yhdessä pisteessä, mutta moninkertaisuudella kaksi) . Veronese-pinnan tapauksessa mittojen laskenta epäonnistuu, koska jokaisen pisteen läpi, jonka läpi sekantti kulkee, ei itse asiassa kulje yksi, vaan koko yhden parametrin perhe sekantteja. Tätä ilmiötä kutsutaan sekantin puutteeksi . $L_{1}(x,y,z)^{2}=0$ $L_{2}(x,y,z)^{2}=0$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ $L_{1}=0$ $L_{2}=0$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{5}$ $\mathbb {P} ^{3}$

Tämä hämmästyttävä pinta kummittelee geometrioita tähän päivään asti, lisäksi mitä odottamattomimmissa muodoissa. Joten voimme harkita kaksinkertaista kantta , joka haarautuu kuuden suvun käyrään - tämä on K3-pinta , jota merkitään kirjaimella . Suoran viivan käänteiskuva on tällä pinnalla käyrä, nimittäin kuusi pistettä haarautunut kaksoiskansi, eli suvun 2 käyrä . Näin ollen kartio yleisessä asennossa kohoaa kohdista haarautuneeksi kaksilevyiseksi peitteeksi . Eulerin ominaiskäyrän laskennasta saamme . Suvun käyrän lineaarinen järjestelmä K3-pinnalla on aina -ulotteinen, eli riippumatta siitä, kuinka muotoilemme kohotettua käyrää kohdassa , se pysyy silti jonkin kartiomaisen korotuksena (koska kartiot tasossa ovat myös viisi parametria). Tämän lineaarisen järjestelmän avulla voidaan liittää eri moduulien pyörät tukiin tällaisissa käyrissä; se on holomorfisesti symplektinen monisto , jossa on Lagrangin fibraatio (projektion kartoitus on sen tuen nivelen määrittäminen, tai tarkemmin sanottuna neliö, josta tuo tuki nostetaan). Se on mielenkiintoinen siinä mielessä, että sen Mukai-vektori ei ole primitiivinen, ja siksi se ei ole sileä. Sen erityiset kerrokset vastaavat erityisiä käyriä. Joskus erityiset käyrät nousevat sileistä neliöistä – yksinkertaisimmassa tapauksessa niistä, joilla on yksi yksinkertainen tangentti haarautuvan sekstiikan kanssa. Mutta kaikki erikoisneliöt nousevat tietysti erityisiin käyriin. Tässä tapauksessa juovapareja vastaavien pisteiden yli olevat yksittäiskuidut ovat myös pelkistettävissä - yksi komponentti parametroi pyörät yhden juovan esikuvassa ja toinen toisen esikuvassa. Täten tällaisen Lagrangian fibraation erottelupaikassa on komponentti, joka on järjestetty Veronese-pinnan sekanttien joukoksi; sen yläpuolella olevat kerrokset ovat supistettavissa ja jaetaan kahteen osaan. Lisäksi monodromia Veronesen pinnan ympärillä permuuttaa viivaparin ja siten kuidun kaksi pelkistymätöntä komponenttia; jos tällaisella nipulla olisi ainakin homologinen leikkaus, niin se väistämättä leikkaa molempia pelkistymättömiä komponentteja, ja siksi se leikkaa tasaisen kerroksen, jonka monikertaisuus on 2, eikä 1. Näin ollen tällainen Lagrangin nippu ei hyväksy topologista leikkausta, joka antaa vastaesimerkin yhdelle Bogomolovin hypoteesille . Toisaalta erikoiskerroksia muokkaamalla voidaan saavuttaa, että monodromia katoaa ja osa ilmestyy; mutta tämä muuttaa moniston topologista tyyppiä - Hilbertin mallista siitä tulee poikkeuksellinen 10-ulotteinen O'Grady -jakosarja . $\mathbb {P} ^{2}$ $S$ $\mathbb {P} ^{1}$ $2\cdot 6=12$ $2-2g=2(2-12)+12$ $g=5$ $g$ $g$ $S$ $S$

Veronesen kartoitus

Veroneselainen d - asteen kartoitus n - ulotteisesta projektioavaruudesta on kartoitus

{\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m))

missä m on binomikerroin :

m={n+d \choose d}-1.

Kartta lähettää pisteen kaikkiin mahdollisiin monomiaaleihin d :n täydellä teholla . Tällaisten monomioiden joukkoa kutsutaan Veronese-lajikkeeksi . $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n))$

Alhaiselle d :lle kartoitus on triviaali: kun d = 0, saadaan kuvaus yhteen pisteeseen , d = 1:lle identiteettikartoitus; siksi d : n tapausta vähintään kaksi tarkastellaan yleensä. $\mathbb {P} _{0}$

Veronese-kartoitus voidaan määritellä koordinaateista riippumattomalla tavalla, nimittäin

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)))

missä V on äärellisulotteinen vektoriavaruus ja sen symmetrinen aste . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Rationaaliset normaalikäyrät

Veronen upotuksen kuva tunnetaan rationaalisena normaalikäyränä . Annetaan esimerkkejä pienikokoisista rationaalisista normaalikäyristä: $n = 1$

Kun Veronese-upotus on projektiivisen linjan identiteettikartoitus itseensä. ${\näyttötyyli n=1,d=1}$
Kun Veronen monisto on paraabeli affiineissa koordinaateissa ${\näyttötyyli n=1,d=2}$ $[x^{2}:xy:y^{2}],$ $(x,x^{2}).$
Kun Veronese-lajike on kierretty kuutio , affiineissa koordinaateissa ${\näyttötyyli n=1,d=3}$ $[x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],$ $(x,x^{2},x^{3}).$

Veronesen upotuksen kaksisäännöllisyys

Veroneselaisen upotuksen alla oleva monistokuva on jälleen moniosa ja isomorfinen ensimmäiseen nähden (tämä tarkoittaa, että on olemassa käänteinen kuvaus, joka on myös säännöllinen ). Siten Veronese upotus on kaksinkertainen .

Erityisesti kaksisäännöllisyydestä seuraa, että yleisen aseman kohdat siirtyvät yleisen kannan kohtiin. Todellakin, jos pisteiden kuvat täyttäisivät ei-triviaalin yhtälön, tämä yhtälö määrittelisi alimoniston, jonka käänteiskuva olisi alkuperäiset pisteet sisältävä alimonisto. Sitä voidaan käyttää myös osoittamaan, että mikä tahansa projektiivinen muunnelma on Veronese-variantin ja lineaarisen avaruuden leikkauspiste, eli neliöiden leikkauspiste .

Kirjallisuus

Harris J. Algebrallinen geometria. Alkukurssi. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4