Alaryhmä

Aliryhmä on ryhmän osajoukko , joka on itse ryhmä määrittävän toiminnon suhteen . $H$ $G$ $G$

Ryhmän osajoukko on sen alaryhmä, jos ja vain jos: $H$ $G$

$H$ sisältää yksittäisen elementin kohteesta $G$
sisältää minkä tahansa kahden elementin tuotteen , $H$
sisältää yhdessä jokaisen elementtinsä kanssa käänteisen elementin . $h$ $h^{-1}$

Äärillisten ja yleensä jaksollisten ryhmien tapauksessa kolmas ehto on seuraus kahdesta ensimmäisestä.

Esimerkkejä

Ryhmän yhdestä elementistä koostuva osajoukko on luonnollisesti aliryhmä, ja tätä aliryhmää kutsutaan ryhmän identiteettialiryhmäksi . $G$ $yksi$ $G$
Se on myös oma alaryhmänsä. $G$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Mitä tahansa alaryhmää, joka eroaa koko ryhmästä, kutsutaan tämän ryhmän todelliseksi alaryhmäksi . Jonkin äärettömän ryhmän todellinen alaryhmä voi olla isomorfinen itse ryhmän kanssa.
Itse ryhmää ja yksikköalaryhmää kutsutaan ryhmän epäsopiviksi alaryhmiksi , kaikkia muita oikeiksi alaryhmiksi . $G$ $G$
Ryhmän kaikkien aliryhmien leikkauskohtaa, joka sisältää kaikki jonkin ei-tyhjän joukon elementit, kutsutaan joukon generoimaksi aliryhmäksi ja sitä merkitään . $G$ $M$ $M$ $\langle M\rangle$
- Jos se koostuu yhdestä elementistä , sitä kutsutaan elementin
sykliseksi aliryhmäksi . $M$ $a$ $\langle a\rangle$ $a$
Ryhmää, joka on sama kuin jokin sen syklisistä alaryhmistä, kutsutaan sykliseksi ryhmäksi .

Jos ryhmä on isomorfinen jollekin ryhmän alaryhmälle , ryhmän sanotaan olevan upotettuna .

G_{1}

H

G

G_{1}

G

Jos on ryhmän alaryhmä , niin mille tahansa alajoukolle

H

G

a\in G

{\displaystyle aHa^{-1}=\{\,aha^{-1}\mid h\in H\,\))

on alaryhmä. Tässä tapauksessa alaryhmiä kutsutaan konjugaateiksi .

aHa^{-1}

H

Perusominaisuudet

Alaryhmien A ja B leikkauspiste on myös alaryhmä.
Kaikki alaryhmät muodostavat täydellisen inkluusiohilan, jota kutsutaan alaryhmähilaksi.
Ei-tyhjä joukko on ryhmän aliryhmä, jos ja vain jos jollekin $H\subset G$ $G$ $a,b\in H$ $ab^{-1}\in H.$
Ryhmän minkä tahansa kahden (ja minkä tahansa joukon) aliryhmän joukkoteoreettinen leikkauspiste on ryhmän aliryhmä . $G$ $G$
Alaryhmien joukkoteoreettisen liiton ei yleisesti ottaen tarvitse olla alaryhmä. Aliryhmien liitto on joukkojen liiton muodostama alaryhmä . $H$ $K$ $H\cup K$
Alaryhmien homomorfinen kuva on alaryhmä.
Jos annetaan kaksi ryhmää ja jokainen niistä on isomorfinen jonkin toisen todellisen alaryhmän kanssa, niin näiden ryhmien itsensä isomorfismi ei seuraa tästä.

Aiheeseen liittyvät luokat

Aliryhmälle ja jollekin elementille määritetään vasen kosetti . Aliryhmän vasen kosettien lukumäärää kutsutaan alaryhmän indeksiksi ja sitä merkitään . Vastaavasti voidaan määritellä oikeat cosetit . $H$ $a\in G$ $aH=\{ax:x\in H\}$ $H$ $H$ $G$ ${\näyttötyyli [G:H]}$ $Ha=\{xa:x\in H\}$

Jos alaryhmän vasen ja oikea kosetit ovat samat, sitä kutsutaan normaaliksi . Tämä ominaisuus mahdollistaa ryhmän tekijäryhmän muodostamisen normaalista alaryhmästä . $G/H$ $G$ $H$

Kirjallisuus

Kurosh A. G. Ryhmien teoria . - 3. painos - M .: Nauka, 1967. - 648 s.
Zhuravlev Yu. I. , Flerov Yu. A. , Vyaly M. N. Diskreetti analyysi. Korkeamman algebran perusteet . - 2. painos - M .: MZ Press, 2007. - S. 24-25. — 224 s.

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos