Multilineaarinen algebra

Multilineaarinen algebra on algebran haara , joka yleistää lineaarisen algebran käsitteet useiden muuttujien funktioiksi, jotka ovat lineaarisia kussakin argumentissa.

Perusmääritelmät

Multilineaarisen algebran päätarkoitus on multilineaarinen ( -lineaarinen) kartoitus : $n$

f : V_1 \ kertaa \ pistettä \ kertaa V_n \ oikea nuoli W

missä ja ovat vektoriavaruudet tietyn kentän yläpuolella . Lineaarisuusehto tarkoittaa tarkasti ottaen sitä jokaiselle kuvausperheelle $V_1, \pisteet, V_n$ $W$ $K$ $n$ $i = 1, \pisteet, n$

(\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}} : V_k \rightarrow W; \quad (\pi_if)_{\{x_k | k \ne i\}}(x_i) = f(x_1, \pisteet, x_n)

muuttujista ja parametreista riippuen koostuu lineaarisista kartoituksista . Voidaan myös määritellä -lineaarinen kuvaus rekursiivisesti (induktiolla) lineaarisena mappauksena -lineaaristen kuvausten vektoriavaruuteen . $n-1$ $\{x_k | k \ne i\}$ $n$ $V_{n}$ $(n-1)$

2-lineaarista kartoitusta kutsutaan bilineaariseksi , 3 -lineaarista kuvausta kutsutaan trilineaariseksi . Jos se vastaa kenttää, kartoitusta kutsutaan multilineaariseksi muodoksi . $W$ $K,$

Polylineaarisen muodon sanotaan olevan symmetrinen , jos sen arvo ei muutu, kun kaksi argumenttia vaihdetaan, ja siten, kun kaikki argumentit vaihdetaan.
Polylineaarisen muodon sanotaan olevan vinosymmetrinen (antisymmetrinen), jos sen arvo käännetään, kun mitkä tahansa kaksi argumenttia vaihdetaan. Siksi, kun kaikki argumentit permutoidaan, sen arvo ei muutu, jos permutaatio on parillinen, ja muuttuu päinvastaiseksi, jos permutaatio on pariton.
Lause: [1] jokaiselle on ainutlaatuinen (vakiolla kertomiseen asti — kentän elementti ) vinosymmetrinen -lineaarinen muoto . Tämä on vektoreista koostuvan matriisin determinantti . $n>1$ $K$ $n$ $f : V_1 \ kertaa \ pistettä \ kertaa V_n \ oikea nuoli K$ $V_1, \pisteet, V_n$

On mahdollista yleistää kartoituksia vektoriavaruuksista (kenttien yli) moduuleiksi renkaiden yli .

Neliölliset ja bilineaariset muodot

Algebralliset muodot ( homogeeniset polynomit vektoriavaruuksissa, jotka on annettu homogeenisten polynomien vektorikoordinaateissa) ovat tärkeitä tutkimuskohteita lineaarisessa algebrassa. Näistä eniten kiinnostavat neliömuodot ja bilineaariset muodot , mutta myös korkeamman asteen muotoja, multilineaarisia muotoja, polykvadratisia muotoja sekä joitakin erikoismuototyyppejä ( puolitoista -lineaarinen , Hermitian ) tutkitaan. Pääkysymykset algebrallisten muotojen tutkimuksessa ovat kertoimien muutoksen lait lineaarisissa muunnoksissa (koordinaattien muutoksissa), menetelmät pelkistää kanoniseen muotoon lineaaristen muunnosten avulla sekä muotojen keskinäinen esittäminen. [2]

Neliömuoto on lineaarisen algebran objekti, joka esiintyy monilla matematiikan aloilla, erityisesti lukuteoriassa , ryhmäteoriassa ( ortogonaalinen ryhmä ), differentiaaligeometriassa, Lie-algebroissa ( Killing form ), joka määritellään homogeeniseksi polynomiksi toinen aste muuttujien pohjakentässä ( on tarkasteltavan tilan ulottuvuus). Neliömuoto voidaan esittää matriisina , joka (jossa ominaisuuden pääkenttä on eri kuin 2) on symmetrinen , ja jokainen symmetrinen matriisi vastaa neliömuotoa, vastaavasti, neliömuotoihin tehdään samat operaatiot kuin matriiseille (kertominen skalaarilla, summaus ), neliölliset muodot voidaan pelkistää kanoniseen muotoon - diagonaalimuotoon: $n$ $n$ $n\ kertaa n$

\sum_{i=1}^n a_i x_i^2 = a_1 x_1^2 + a_2 x_2^2 +\cdots + a_n x_n^2

(yksi käytännön pelkistysmenetelmistä on Lagrange-menetelmä ) ja sitä pidetään kaikkien toisen asteen muotojen ekvivalenssiluokkana, joka voidaan pelkistää diagonaalimuotoon sopivilla kertoimilla, arvo ja allekirjoitus säilyvät tällaisten ekvivalenssiluokkien sisällä . [3] $[a_1, \pisteet, a_n]$

Lineaarisen muotoparin (ensimmäisen asteen homogeeniset polynomit) katsominen kahden muuttujajärjestelmän yhtenä funktiona (lineaaristen avaruuksien suhteen kahden vektoriavaruuden karteesisen tulon yli, yleisimmässä tapauksessa vasemman tulon yli ja oikeanpuoleiset unitaarimoduulit yhden renkaan identiteetillä) johtaa bilineaarisen muodon käsitteeseen (tensorialgebran näkökulmasta bilineaarista muotoa pidetään ranktensorina ). Kuten neliömuoto, myös bilineaarinen muoto voidaan ilmaista matriisilla, lisäksi mikä tahansa bilineaarinen muoto voidaan esittää neliöllä: $(2.0)$ $B$

Q_b(x)= B(x,y) + B(y,x)

lisäksi siinä tapauksessa, että vektoriavaruus on määritelty toisen ominaisuuden kentän yli kuin 2 keskenään ainutlaatuisella tavalla [4] .

Symmetristen ja vinosymmetristen bilineaarimuotojen ominaisuuksia on tutkittu yksityiskohtaisimmin sen erityisen merkityksen vuoksi (sekä lineaarisen algebran itsensä että sovellusten kannalta) . $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Muita esimerkkejä

Formalismi

Objektit

Toiminnot

Tensoritulo - luo lineaarisen avaruuden, mutta tuotteessa lineaariset kuvaukset vastaavat alkuperäisten avaruuksien monilineaarisia kuvauksia

Muistiinpanot

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - ch. II, s. 52 - M .: Fizmatlit, 2009.
↑ Maltsev, 1970 , s. 254.
↑ Maltsev, 1970 , s. 262-270.
↑ Neliömuoto - Encyclopedia of Mathematics -artikkeli . Malyshev A.V.

Kirjallisuus

Multilinear algebra - Encyclopedia of Mathematics artikkeli . A. L. Onishchik

Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.