Täydellinen nelikulmio (joskus termiä käytetään täydellisenä neljän kärjen pisteenä) on geometristen objektien järjestelmä, joka koostuu mistä tahansa neljästä tason pisteestä, joista kolme ei ole samalla viivalla, ja kuudesta viivasta, jotka yhdistävät kuusi pisteparia. Kokoonpano , joka on kaksoiskokonainen nelikulmio - täydellinen nelikulmio - on järjestelmä, jossa on neljä suoraa, joista kolme ei kulje saman pisteen kautta, ja kuusi näiden viivojen leikkauspistettä. Lachlan [1] käytti nimeä tetrastigma [2] täydestä nelikulmiosta ja tetragam täydellistä nelikulmiota . Näitä termejä, vaikkakin harvinaisia, löytyy kirjallisuudesta.
Figuuria, joka koostuu neljästä tason pisteestä, joista yksikään ei ole kollineaarinen, ja kuudesta viivasta, jotka yhdistävät ne pareittain, kutsutaan täydelliseksi nelikulmioksi . Sivuja, joilla ei ole yhteistä kärkeä täydellisessä nelikulmiossa, kutsutaan vastakkaisiksi . Kolmen vastakkaisen sivun parin leikkauspisteitä kutsutaan diagonaalipisteiksi [3] .
Figuuria, joka koostuu neljästä tasossa olevasta suorasta viivasta, joista kolme ei konvergoi yhdessä pisteessä, ja kuudesta niiden parien leikkauspisteestä, kutsutaan täydelliseksi nelikulmioksi . Neljää suoraa kutsutaan sivuiksi ja kuutta pistettä kutsutaan nelikulmion kärjeksi. Pisteitä, jotka eivät ole saman puolen vieressä, kutsutaan vastakkaiksi . Suoria viivoja, jotka yhdistävät kolme paria vastakkaisia pisteitä kutsutaan diagonaaleiksi [3] .
Kuuden (viiden, neljän) pisteen sarjaa, jossa täydellisen nelikulmion sivut leikkaavat tietyn suoran, kutsutaan kokonaisen nelikulmion muodostamaksi pistesarjaksi [4] . Jos tällainen suora kulkee kahden lävistäjäpisteen A ja C kautta ja B ja D ovat pisteitä, joissa kaksi muuta sivua leikkaavat suoran AC , pisteiden AC ja BD pareja kutsutaan harmonisiksi neliöiksi ja niitä merkitään H(AC, BD ) . Pisteitä B ja D kutsutaan harmonisiksi A:n ja C :n suhteen , ja pistettä D (tai B ) kutsutaan harmoniseksi konjugaatiksi pisteeseen B (tai D ) pisteiden A ja D suhteen [5] .
Jos kahden kuvion pisteiden välillä on vastaavuus siten, että kunkin vastaavan pisteen paria yhdistävät suorat konvergoivat jossain pisteessä O , niin kuvioita kutsutaan perspektiiviksi keskipisteen O suhteen [3] .
Jos kahden kuvion suorien välillä on vastaavuus siten, että kunkin vastaavan suoraparin leikkauspisteet ovat samalla suoralla l , niin näitä kuvioita kutsutaan perspektiiveiksi suhteessa l - akseliin .
Fanon tason , äärellisen geometrian , jossa täydellisen nelikulmion diagonaalipisteet ovat kollineaarisia , löytämisen jälkeen jotkut kirjoittajat lisäävät projektiivisen geometrian aksioomeihin Fanon aksiooman olettamalla, että diagonaalipisteet eivät ole kollineaarisia [6] [7] .
Pisteiden ja viivojen järjestelmänä, jossa kaikki pisteet kuuluvat samaan määrään viivoja ja kaikki suorat sisältävät saman määrän pisteitä, täydellinen nelikulmio ja täydellinen nelikulmio ovat projektitiivisia konfiguraatioita . Projektiivisessa konfiguraatiomerkinnässä täydellinen nelikulmio kirjoitetaan muodossa (4 3 6 2 ) ja täydellinen nelikulmio (6 2 4 3 ), jossa tämän merkinnän numerot osoittavat pisteiden lukumäärän, kunkin pisteen läpi kulkevien viivojen lukumäärän. , viivojen lukumäärä ja pisteiden lukumäärä jokaisella suoralla. Täydellisen nelikulmion projektiivinen kaksoiskonfiguraatio on täydellinen nelikulmio ja päinvastoin. Kaikille kahdelle täydelliselle nelikulmiolle tai kahdelle täydelliselle nelikulmiolle on ainutlaatuinen projektiomuunnos , joka muuttaa toisen konfiguraation toiseksi [8] .
Karl Staudt muutti matematiikan perusteita vuonna 1847 käyttämällä täydellistä nelikulmiota, kun hän huomasi, että "harmoniset ominaisuudet" perustuvat nelikulmion samanaikaisiin ominaisuuksiin - nelikulmion vastakkaisten sivujen leikkauspisteisiin ja diagonaalien leikkauspisteeseen nelikulmion kanssa. näiden pisteiden läpi kulkeva viiva muodostaa harmonisen kvartetin . Modernin geometrian ja algebran tutkijat ovat kiinnittäneet huomiota Staudtin vaikutukseen Mario Pieriin ja Felix Kleiniin .
Wells [9] kuvaa joitakin lisäominaisuuksia täydellisille nelikulmioille, jotka käyttävät euklidisen tason metrisiä ominaisuuksia, jotka eivät ole puhtaasti projektiivisia. Diagonaalien keskipisteet ovat kollineaarisia ja (kuten Isaac Newton osoitti) kartioleikkauksen keskipiste sijaitsee samalla suoralla , joka tangentti nelikulmiota neljällä suoralla. Mitkä tahansa kolme suoraa nelikulmiota muodostavat kolmion sivut. Näin muodostetun neljän kolmion ortokeskipisteet sijaitsevat toisella suoralla, joka on kohtisuorassa ensimmäiseen suoraan nähden (joka kulkee lävistäjien keskipisteiden kautta). Näiden neljän kolmion rajatut ympyrät leikkaavat yhdessä pisteessä. Lisäksi kolme halkaisijana diagonaaleille rakennettua ympyrää kuuluu yhteen ympyräkynään [10] , jonka akseli kulkee ortokeskipisteiden läpi.
Täydellisen nelikulmion kolmioiden napaympyrät muodostavat koaksiaalisen ympyrän järjestelmän [11] .