Positiivinen määrätty matriisi

Lineaarisessa algebrassa positiivinen määrätty matriisi on hermiittinen matriisi , joka on monella tapaa analoginen positiivisen reaaliluvun kanssa . Tämä käsite liittyy läheisesti positiivi-definittiin symmetriseen bilineaariseen muotoon (tai sekvilineaariseen muotoon kompleksilukujen tapauksessa ).

Formulaatiot

Antaa olla Hermitian matriisi ulottuvuuden . Merkitään transponoitua vektoria merkillä ja konjugoitua transponoitua vektoria . $M$ $n\ kertaa n$ $a$ $a^{T}$ $a^{*}$

Matriisi on positiivinen , jos se täyttää jonkin seuraavista vastaavista kriteereistä: $M$

yksi.	Kaikille nollasta poikkeaville kompleksisille vektoreille , $z \in \mathbb{C}^n$ $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0.$ Huomaa, että määrä on aina todellinen, koska se on hermiittinen matriisi . $z^{} M z$ $M$
2.	Kaikki ominaisarvot , , ovat positiivisia. Mikä tahansa hermiittinen matriisi , spektrihajotuslauseen mukaan, voidaan esittää todellisena diagonaalimatriisina , joka on käännetty toiseen koordinaattijärjestelmään (eli , , jossa on unitaarinen matriisi , jonka rivit ovat ortonormaalisia ominaisvektoreita , jotka muodostavat perustan ). Tämän määritelmän mukaan matriisi on positiivinen-määräinen, jos kaikki päädiagonaalin elementit (tai toisin sanoen ominaisarvot ) ovat positiivisia. Toisin sanoen ominaisvektoreista koostuvassa kannassa vektoriin kohdistuva toiminta vastaa komponenttikohtaista kertomista positiivisella vektorilla. $M$ $\lambda_i, i = 1, 2, \pisteet, n$ $D$ $M = P^{-1}DP$ $P$ $M$ $M$ $D$ $M$ $M$ $M$ $z \in \mathbb{C}^n$ $z$
3.	Puolitoista rivin muotoinen $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ määrittää pistetulon kohdassa . Yleistäen yllä olevaa, mikä tahansa skalaaritulo muodostuu hermiitistä positiivisesta määrätystä matriisista. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$
neljä.	$M$ on Gram-matriisi , joka on muodostettu lineaarisesti riippumattomien vektoreiden joukosta $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ joillekin . Toisin sanoen elementit määritellään seuraavasti $k$ $M$ $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ Siten , jossa on injektiivinen , mutta ei välttämättä neliömatriisi . $M = A^{}A$ $A$
5.	Matriisien kaikkien kulmamollien determinantit ovat positiivisia ( Sylvesterin kriteeri ). Tämän kriteerin mukaisesti positiivisissa puolimäärittävissä matriiseissa kaikki kulma - mollit ovat ei-negatiivisia, mikä ei kuitenkaan ole riittävä ehto matriisin positiiviselle puolidefiniitille, kuten seuraavasta esimerkistä voidaan nähdä. $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

Yllä olevien ominaisuuksien todellisille symmetrisille matriiseille avaruus voidaan korvata : lla ja konjugoida transponoidut vektorit transponoiduilla vektoreilla. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Kvadraattiset muodot

On myös mahdollista muotoilla positiivinen määritelmä neliömuotojen avulla . Antaa olla todellisten ( ) tai kompleksisten ( ) lukujen kenttä ja olla vektoriavaruus . Eremiittinen muoto $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{V}$ $K$

B : V \ kertaa V \ oikea nuoli K

on bilineaarinen kartoitus , lisäksi konjugaatti on . Tällaista funktiota kutsutaan positiiviseksi määrätyksi , kun mille tahansa nollasta poikkeavalle funktiolle . $B\vasen(x, y\oikea)$ $B\vasen(y, x\oikea)$ $B$ $B\vasen(x, x\oikea) > 0$ $x \ in V$

Negatiiviset määrälliset, puolimääräiset ja epämääräiset matriisit

Eremiittistä ulottuvuusmatriisia kutsutaan negatiiviseksi määrätyksi jos $M$ $n\ kertaa n$

x^{*}Mx<0

kaikille nollasta poikkeaville (tai vastaavasti kaikille nollasta poikkeaville ). $x \in \mathbb{R}^n$ $x \in \mathbb{C}^n$

$M$ kutsutaan positiiviseksi semidefiniteksi (tai ei- negatiiviseksi definiitiksi ), jos

x^{*} M x \geq 0

kaikille (tai vastaavasti kaikille ). $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

$M$ kutsutaan negatiiviseksi semidefiniteksi (tai ei-positiiviseksi definiitiksi ), jos

x^{*} M x \leq 0

kaikille (tai vastaavasti kaikille ) [1] . $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

Siten matriisi on negatiivinen määrätty, jos kaikki sen ominaisarvot ovat negatiivisia, positiivinen puolimääritelty, jos kaikki sen ominaisarvot ovat ei- negatiivisia, ja negatiivinen puolimääräinen, jos kaikki sen ominaisarvot ovat ei -positiivisia [2] .

Matriisi on positiivinen puolimääräinen silloin ja vain, jos se on jonkin vektorijoukon Gram-matriisi . Toisin kuin positiivinen määrätty matriisi, nämä vektorit eivät välttämättä ole lineaarisesti riippumattomia . $M$

Kaikille matriisille , seuraava on totta: on positiivinen semidefinite ja . Päinvastoin on myös totta: mikä tahansa positiivinen puolimääräinen matriisi voidaan ilmaista muodossa ( Cholesky -hajotelma ). $A$ $A^{*}A$ $\operaattorinnimi{sijoitus}\vasen(A\oikea) = \operaattorinimi{sijoitus}\vasen(A^{*}A\oikea)$ $M$ $M = A^{*}A$

Eremiittistä matriisia , joka ei ole positiivisesti eikä negatiivisesti puolimääräinen, kutsutaan epämääräiseksi .

Lisäominaisuudet

Otetaan käyttöön positiivisten puolimääräisten matriisien ja positiivisten määrällisten matriisien merkintätapa . $M \succeq 0$ $M\succ 0$

Satunnaisille neliömatriiseille kirjoitetaan jos , eli positiivinen puolimääräinen matriisi. Siten relaatio määrittää osittaisen järjestyksen neliömatriisien joukolle . Samalla tavalla kokonaistilaussuhde voidaan määritellä . $M, N$ $M \succeq N$ $M - N \succeq 0$ $M-N$ $\succeq$ $M \succ N$

yksi.	Mikä tahansa positiivinen matriisi on käänteinen, ja sen käänteismatriisi on myös positiivinen määrätty. Jos , niin . $M \succeq N \succ 0$ $N^{-1} \succeq M^{-1} \succe 0$
2.	Jos on positiivinen määrätty matriisi ja , sitten on positiivinen määrätty matriisi. $M$ $0 < r \in \mathbb{R}$ $r \cdot M$ Jos ja ovat positiivisia määrättyjä matriiseja, niin tulot ja ovat myös positiivisia määrättyjä. Jos , niin on myös positiivinen määrätty. $M$ $N$ $MNM$ $NMN$ $MN = NM$ $MN$
3.	Jos on positiivinen määrätty matriisi, niin päädiagonaalin elementit ovat positiivisia. Siksi ,. Lisäksi, $M$ $m_{ii}$ $\operaattorinnimi{trace}\left(M\right) > 0$ $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
neljä.	$M$ on positiivinen määrätty matriisi, jos ja vain jos on olemassa sellainen positiivinen määrätty matriisi , että . Merkitään . Tällainen matriisi on ainutlaatuinen, jos . Jos , niin . $B \succ 0$ $B^2 = M$ $B = M^{\frac{1}{2}}$ $B$ $B \succ 0$ $M \succ N \succ 0$ $M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$
5.	Jos ja ovat positiivisia määrättyjä matriiseja, niin (missä tarkoittaa Kroneckerin tuloa ). $M$ $N$ $M\otimes N \succ 0$ $\otimes$
6.	Jos ja ovat positiivisia määrättyjä matriiseja, niin (missä tarkoittaa Hadamardin tuloa ). Kun matriisit ovat todellisia, pätee myös seuraava epäyhtälö ( Oppenheimin epäyhtälö ): $M$ $N$ $M\circ N\succ 0$ $\circ$ $M,N$ $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Jos on positiivinen määrätty matriisi, a on Hermitian matriisi ja , Sitten . $M$ $N$ $MN + NM \succeq 0$ $\vasen (MN+NM \succ 0 \oikea)$ $N \succeq 0$ $\left(N \succ 0 \right)$
kahdeksan.	Jos ja ovat positiivisia semidefinite todellisia matriiseja, sitten . $M$ $N$ $\operaattorinnimi{trace}\left(MN\right)\succeq 0$
9.	Jos on positiivinen määrätty reaalimatriisi, niin on olemassa sellainen luku , että missä on identiteettimatriisi . $M$ $\delta>0$ $M\succeq \delta I$ $minä$

Ei-hermiittiset matriisit

Reaaliset epäsymmetriset matriisit voivat myös täyttää epäyhtälön kaikille nollasta poikkeaville reaalivektoreille . Tällainen on esimerkiksi matriisi $x^TM x > 0$ $x$

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},

koska kaikille nollasta poikkeaville reaalivektoreille $x = (x_1, x_2)^T$

\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

Yleisemmin kaikille nollasta poikkeaville reaalivektoreille silloin ja vain, jos symmetrinen osa on positiivinen määrätty. $x^TM x > 0$ $x$ $\frac{M + M^T}{2}$

Monimutkaisille matriiseille on olemassa useita yleistyksiä epäyhtälöstä . Jos kaikille nollasta poikkeaville kompleksivektoreille , niin matriisi on hermiittinen . Eli jos , niin on Hermitian . Toisaalta kaikille nollasta poikkeaville kompleksivektoreille jos ja vain jos hermiittinen osa on positiivinen määrätty. $x^{*} M x > 0$ $x^{*} M x > 0$ $x$ $M$ $x^{*} M x > 0$ $M$ $\operaattorinimi{Re}\left(x^{*} M x\oikea) > 0$ $x$ $\frac{M + M^{*}}{2}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Nikolai Bogolyubov, Anatoli Logunov, Anatoli Oksak, Ivan Todorov. Kvanttikenttäteorian yleiset periaatteet . - FIZMATLIT, 2006. - S. 20. - 744 s. — ISBN 9785457966253 .
↑ Vasili Fomitšev, Andrei Fursov, Sergei Korovin, Stanislav Emelyanov, Aleksanteri Iljin. Ohjausteorian matemaattiset menetelmät. Vakauden, hallittavuuden ja havaittavuuden ongelmat . - FIZMATLIT, 2014. - S. 182. - 200 s. — ISBN 9785457964747 .

Kirjallisuus

R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
R. Bhatia , Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.