Puoli yksinkertainen moduuli

Puoliyksinkertaiset moduulit ( täysin pelkistettävät moduulit ) ovat yleisiä algebrallisia moduuleja , jotka voidaan helposti palauttaa osistaan. Rengasta , joka on puoliksi yksinkertainen moduuli itsensä päällä, kutsutaan artinilaiseksi puoliyksinkertaiseksi renkaaksi . Tärkeä esimerkki puoliyksinkertaisesta renkaasta on äärellisen ryhmän ryhmärengas ominaisnollan kentän päällä . Puoliyksinkertaisten renkaiden rakennetta kuvaa Wedderburn-Artinin lause : kaikki tällaiset renkaat ovat matriisirenkaiden suoria tuotteita .

Määritelmä

Puoliyksinkertaiselle (täysin pelkistettävälle) moduulille annetaan kolme vastaavaa [1] määritelmää: moduuli M on puoliyksinkertaista, jos

1. M on isomorfinen yksinkertaisten moduulien suoralle summalle (kutsutaan myös redusoitumattomaksi).
2. M voidaan hajottaa M:n yksinkertaisten alimoduulien suoraksi summaksi .
3. Jokaiselle N  alimoduulille M on komplementti P siten, että M = N ⊕ P .

Täydellinen pelkistyvyys on vahvempi ehto kuin täysin hajoava: täysin hajoava moduuli  on moduuli, joka hajoaa hajoamattomien suoraksi summaksi . Esimerkiksi kokonaislukujen rengas on täysin hajoava (tämä seuraa sen hajoamattomuudesta), mutta se ei ole täysin pelkistävissä, koska siinä on osamoduuleja (esimerkiksi parillisten lukujen joukko).

Ominaisuudet

• Jos M on puoliyksinkertaista ja N  on sen alimoduuli , niin N ja M / N ovat myös puoliyksinkertaisia.
• Jos kaikki  ovat puoliyksinkertaisia ​​moduuleja, myös suora summa on puoliyksinkertaista.
• Moduuli M on äärellisesti generoitu ja puoliksi yksinkertainen jos ja vain jos se on artinilainen ja sen radikaali on nolla.

Puoliyksinkertaiset renkaat

Renkaan sanotaan olevan puoliyksinkertaista (vasemmalla), jos se on puoliyksinkertaista (vasemmalla) moduulina itsensä päällä. Osoittautuu, että vasemmanpuoleiset puoliyksinkertaiset renkaat ovat oikeat puoliyksinkertaiset ja päinvastoin, joten voimme puhua puoliyksinkertaisista renkaista.

Puoliyksinkertaiset renkaat voidaan luonnehtia homologisella algebralla : rengas R on puoliyksnkertainen silloin ja vain, jos jokainen lyhyt tarkka (vasemman) R - moduulien sekvenssi halkeaa . Erityisesti puoliyksinkertaisen renkaan päällä oleva moduuli on injektiivinen ja projektiivinen .

Puoliyksinkertaiset renkaat ovat sekä artinialaisia ​​että noeterialaisia . Jos on olemassa homomorfismi kentästä puoliyksinkertaiseen renkaaseen, sitä kutsutaan puoliyksinkertaiseksi algebraksi .

Esimerkkejä

• Kommutatiivinen puoliyksinkertaisen rengas on isomorfinen kenttien suoralle tulolle.
• Jos k  on kenttä ja G  on äärellinen ryhmä kertalukua n , niin ryhmärengas k [ G ] on puoliyksinkertaista silloin ja vain, jos kentän ominaisuus ei jaa n :ää . Tämä tulos tunnetaan Maschken lauseena ja se on tärkeä ryhmäesitysteoriassa .

Wedderburn-Artin -lause

Wedderburn-Artinin lauseessa sanotaan, että mikä tahansa puoliyksinkertainen rengas on isomorfinen matriisirenkaiden n i : n ja n i -kappaleen D i -elementtien suoralle tulolle , ja luvut n i ovat yksiselitteisesti määriteltyjä ja kappaleet ovat uniikkeja isomorfismiin asti. Erityisesti yksinkertainen rengas on isomorfinen jakorenkaan päällä olevan matriisirenkaan kanssa.

Wedderburnin alkuperäinen tulos oli, että yksinkertainen rengas, joka on äärellisulotteinen yksinkertainen algebra jakorenkaan päällä, on isomorfinen matriisirenkaaseen nähden. Emil Artin yleisti lauseen puoliyksinkertaisten (Artinian) renkaiden tapaukseen.

Esimerkkejä tapauksista, joissa Wedderburn-Artin-lausetta voidaan soveltaa: jokainen äärellisulotteinen yksinkertainen algebra R :n päällä on matriisirengas R :n , C :n tai H :n ( kvaternionit ), jokainen äärellisulotteinen yksinkertainen algebra C :n päällä on matriisirengas C :n päällä .

Muistiinpanot

1. ↑ Nathan Jacobson, Basic Algebra II (toinen painos), s. 120

Kirjallisuus

• Jacobson, Nathan (1989), Basic algebra II (2. painos), W. H. Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5 
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (2. painos), Berliini, New York: Springer-Verlag , MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0 
• RS Pierce. Assosiatiiviset algebrat . Matematiikan tutkinnon tekstit osa 88.