Projektiivinen tila

Projektiivinen avaruus kentän päällä $K$ on tila, joka koostuu jonkin tietyn kentän yli olevan lineaarisen avaruuden viivoista (yksiulotteisista aliavaruuksista ) . Suoraa avaruutta kutsutaan projektiivisen avaruuden pisteiksi . Tämä määritelmä voidaan yleistää mielivaltaiseksi kappaleeksi Jos kenttää tai vastaavaa projektiotilaa kutsutaan reaaliksi tai kompleksiseksi . $L(K)$ $L(K)$ $K.$ $K=\mathbb {R}$ $K=\mathbb {C}$

Jos sillä on dimensio , niin projektiivisen avaruuden mittaa kutsutaan numeroksi ja itse projektiivista avaruutta kutsutaan ja sitä kutsutaan assosioituneeksi (tämän osoittamiseksi käytetään merkintää ). $L$ $n+1$ $n$ $KP^n$ $L$ $P(L)$

Siirtymää ulottuvuuden vektoriavaruudesta vastaavaan projektioavaruuteen kutsutaan avaruusprojektivisaatioksi . $L(K)$ $n+1$ $KP^n$ $L(K)$

Pisteet voidaan kuvata käyttämällä homogeenisia koordinaatteja . $KP^n$

Määritelmä osamääräavaruudena

Tunnistamalla pisteet , joissa on eri kuin nolla, saamme tekijäjoukon (ekvivalenssirelaatiolla ) $(x_{0},\ldots ,x_{n})\sim (\lambda x_{0},\ldots ,\lambda x_{n})$ $\lambda$ $\sim$

\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} ):=(\mathbb {R} ^{n+1}\setminus \{\mathbf {0} \})/{\sim }

Projektiiviavaruuden pisteitä merkitään , jossa lukuja kutsutaan homogeenisiksi koordinaateiksi [1] . Esimerkiksi ja merkitsee samaa pistettä projektiotilassa. $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ $x_{i}$ $[1:2:3]$ $[2:4:6]$

Aksiomaattinen määritelmä

Projektiivinen avaruus voidaan määritellä myös Hilbert -tyyppisten aksioomien järjestelmällä . Tässä tapauksessa projektiivinen avaruus määritellään järjestelmäksi, joka koostuu joukosta pisteitä , joukosta suoria ja insidenssirelaatiota , joka ilmaistaan yleensä muodossa "piste sijaitsee suoralla", joka täyttää seuraavat aksioomit: $P$ $L$ $minä$

Jokaiselle kahdelle erilliselle pisteelle on ainutlaatuinen viiva molempiin pisteisiin;
Jokainen viiva liittyy vähintään kolmeen pisteeseen;
Jos linjat ja leikkaavat (on yhteinen kohtauspiste), pisteet ja sijaitsevat linjalla ja pisteet ja sijaitsevat linjalla , niin linjat ja leikkaavat. $L$ $M$ $s$ $q$ $L$ $s$ $r$ $M$ $ps$ $qr$

Projektiivisen avaruuden aliavaruus on joukon osajoukko siten , että minkä tahansa tämän osajoukon kaikki viivan pisteet kuuluvat . Projektiivisen avaruuden ulottuvuus on suurin luku siten, että on olemassa tiukasti kasvava muodon aliavaruuksien ketju $T$ $P$ $p,q\in P$ $pq$ $T$ $P$ $n$

\varnothing =X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P

Luokitus

Dimension 0: avaruus koostuu yhdestä pisteestä.
Dimension 1 ( projektiivinen viiva ): mielivaltainen ei-tyhjä pisteiden joukko ja ainoa suora, jolla kaikki nämä pisteet sijaitsevat.
Dimension 2 ( projektiivinen taso ): tässä tapauksessa luokitus on monimutkaisempi. Joidenkin kappaleiden kaikki näkötasot täyttävät Desarguesin aksiooman , mutta on myös muita kuin Desarguesin tasoja . $KP^n$ $K$
Suuret mitat: Veblen - Young -lauseen [2] mukaan mikä tahansa projektiivinen avaruus, jonka ulottuvuus on suurempi kuin kaksi, voidaan saada moduulin projektivisaationa jonkin jakorenkaan yli.

Aiheeseen liittyvät määritelmät ja ominaisuudet

Olkoon lineaarisessa avaruudessa hypertaso . Projektiivista avaruutta kutsutaan projektiiviseksi hypertasoksi vuonna . $M$ $L$ $P(M)\alajoukko P(L)$ $P(L)$
Projektiivisen hypertason komplementin päällä on luonnollinen affiiniavaruusrakenne . $A=P(L)\kenoviiva P(M)$
Päinvastoin, ottamalla affiininen avaruus perustaksi , voidaan saada affiiniksi projektiivinen avaruus, johon ns. pisteitä äärettömyyteen. Projektiivinen tila esiteltiin alun perin tällä tavalla. $A$
Olkoon ja kaksi projektiivista aliavaruutta. Joukkoa kutsutaan joukon projektiiviseksi rungoksi ja sitä merkitään . [3] $P(L')$ $P(L'')$ $P(L' + L'')$ $P(L') \cup P(L'')$ $P(L' + L'') = \overline {P(L') \cup P(L'')}$

Tautologinen nippu

Tautologinen nippu on vektorinippu , jonka nippuavaruus on suoran tuotteen osajoukko $\gamma ^{n}\colon E\to \mathbb {R} P^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1))$

E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \))

ja kerros on todellinen viiva . Kanoninen projektio kartoittaa pisteiden läpi kulkevan suoran projektioavaruuden vastaavaan pisteeseen. Lisäksi tämä paketti ei ole triviaali . Kun nipputila on Möbius-kaistale . $\mathbb {R}$ $\gamma^n$ $\pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $n\geqslant 1$ $n = 1$

Muistiinpanot

↑ Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria, osa 3, par. 6, M .: Nauka 1986
↑ Veblen, Oswald; Young, John Wesley . projektiivinen geometria. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn ja Co. New York-Toronto-Lontoo, 1965 (vuoden 1910 painoksen uusintapainos)
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, ch. 9, par. 1, - Fizmatlit, Moskova, 2009.

Kirjallisuus

Artin E. Geometrinen algebra - M .: Nauka, 1969.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria. Menetelmät ja sovellukset. - M .: Nauka, 1979.
Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineaarinen algebra ja geometria - M .: Nauka 1986.
Hartshorne R. Projektiivisen geometrian perusteet - M .: Mir, 1970.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.
Alexandrov A. D. , Netsvetaev N. Yu. Geometria. - Nauka, Moskova, 1990.
Baer R. Lineaarinen algebra ja projektiiivinen geometria. - URSS, Moskova, 2004.
Finikov S.P. Analyyttinen geometria: luentokurssi. - URSS, Moskova, 2008.

Tilan mitat
Tilat mittojen mukaan	Nollaulotteinen yksiulotteinen 2D 3D neliulotteinen viisiulotteinen Kuusiulotteinen Seitsemänulotteinen oktaali Yhdeksänulotteinen n-ulotteinen Negatiivinen ulottuvuus
Polytoopit ja hahmot	Yksinkertainen hyperkuutio tesserakti Hypersuorakulmio (ortotooppi) Puolihyperkuutio Cross-polytooppi hypersfääri
Tilojen tyypit	äärellisulotteinen avaruus Euklidinen avaruus affinista tilaa projektiivinen tila Ilmainen moduuli Jakotukki Algebrallisen muuttujan ulottuvuus aika-avaruus
Muut ulottuvuuskäsitteet	Krullin ulottuvuus Lebesguen ulottuvuus Induktiivinen ulottuvuus Murtoluku ( Minkowskin ulottuvuus , Hausdorffin ulottuvuus ) fraktaali ulottuvuus Vapauden asteet
Matematiikka