Schur hajoaminen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15.5.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Schur -hajotelma - matriisin hajoaminen unitaarimatriiseiksi , ylemmiksi kolmiomaisiksi ja käänteisiksi unitaarimatriiseiksi, jotka on nimetty Isai Schurin mukaan .

Lausunto

Jos on neliömatriisi järjestyksessä , jossa on kompleksielementtejä , niin se voidaan esittää muodossa [1] [2] : $A$ $n$

A=QUQ^{-1}

jossa on unitaarinen matriisi ( siis sen käänteis on hermiittinen konjugaattimatriisi ), ja on ylempi kolmiomatriisi , jota kutsutaan matriisin Schur-muodoksi . Koska se on samanlainen kuin matriisi , sillä on sama ominaisarvojen joukko , ja koska se on kolmiomainen, nämä ominaisarvot ovat samat kuin matriisin diagonaaliset elementit . $K$ $Q^{-1}$ $Q^{*}$ $K$ $U$ $A$ $U$ $A$ $U$

Schur-hajotelmasta seuraa, että on olemassa upotettu -invarianttien aliavaruuksien sarja ja järjestetty ortogonaalinen kanta siten, että ensimmäisten kantavektoreiden lineaarinen yhdistelmä antaa kaikille sekvenssissä. Toisin sanoen ensimmäisessä osassa sanotaan, että lineaarinen kuvaus kompleksisessa äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa stabiloi koko lipun . $A$ ${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset \dots \subset V_{n}=\mathbb {C} ^{n))$ $i$ $V_i$ $i$ $J$ $V_{1},\dots V_{n}$

Todiste

Konstruktiivinen todiste Schur-hajotelmasta on seuraava: millä tahansa operaattorilla kompleksisessa äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa on ominaisarvo , joka vastaa ominaisavaruutta . Olkoon ortonormaali täydennys. Tällaisella ortogonaalisella hajottelulla sillä on matriisiesitys (voit valita minkä tahansa ortonormaalin kantapään ja niiden kattamille avauksille ja vastaavasti): $A$ $\lambda$ $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }^{\perp }$ $A$ $\mathbb {Z} _{1}$ $\mathbb{Z } _{2}$ $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }^{\perp }$

{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}^{*}A{\begin{bmatrix}Z_{1}&Z_{2}\end{bmatrix}}={ \begin{bmatrix}\lambda \,I_{\lambda }&A_{12}\\0&A_{22}\end{bmatrix}}:{\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{ \lambda }^{\perp }\end{matrix}}\rightarrow {\begin{matrix}V_{\lambda }\\\oplus \\V_{\lambda }^{\perp }\end{matrix}}

missä on identiteettioperaattori . _ Tuloksena oleva matriisi on kolmion muotoinen lohkoa lukuun ottamatta . Mutta täsmälleen sama menettely voidaan suorittaa alimatriisille , jota pidetään operaattorina ja sen alimatriiseja. Jatkamalla toimenpidettä kerran, tila loppuu ja rakentaminen antaa halutun tuloksen. ${\displaystyle I_{\lambda ))$ $V_{\lambda }$ $A_{2\,2}$ $A_{2\,2}$ $V_{\lambda }^{\perp }$ $n$ $\mathbb {C} ^{n}$

Ominaisuudet

Vaikka missä tahansa neliömatriisissa on Schur-hajoaminen, tällainen hajottaminen ei yleensä ole ainutlaatuinen. Esimerkiksi ominaisavaruuden ulottuvuus voi olla suurempi kuin 1, jolloin mikä tahansa ortonormaali kanta antaa halutun tuloksen. $V_{\lambda }$ $V_{\lambda }$

Kolmiomatriisi voidaan esittää diagonaalimatriisin ja tiukasti ylemmän kolmion matriisin summana : . Tiukasti ylempi kolmiomatriisi on tehoton . Diagonaalimatriisi sisältää matriisin ominaisarvot satunnaisessa järjestyksessä. Nilpotentti osa ei yleensä ole myöskään ainutlaatuinen, vaan sen Frobenius-normi on yksiselitteisesti matriisin määräämä , koska matriisin Frobenius-normi on yhtä suuri kuin matriisin Frobenius-normi . $U$ $D$ $N$ $U=D+N$ $D$ $A$ $N$ $A$ $A$ $U=D+N$

Jos on normaali , niin sen Schur-muoto on diagonaalinen ja hajoamatriisin sarakkeet ovat matriisin ominaisvektoreita . Schur-hajotelma siis yleistää spektrihajoamisen . Erityisesti, jos on positiivinen definiitti , sen Schur-hajotelma, sen spektrihajotus ja sen singulaarinen hajotelma ovat samat. $A$ $U$ $K$ $QUQ^{-1}$ $A$ $A$

Kommutatiivinen matriisiperhe voidaan samaan aikaan pelkistää kolmiomaiseen muotoon, eli on olemassa unitaarinen matriisi niin, että mikä tahansa annetusta perheestä on ylempi kolmio. Lopullinen väite todistetaan induktiolla. Tämän seurauksena mikä tahansa normaalimatriisien kommutatiivinen perhe voidaan pelkistää diagonaalimuotoon [3] . $\{A_{i}\}$ $K$ $A_{i}$ $QA_{i}K^{*}$

Äärettömän ulottuvuuden tapauksessa jokaisella rajoitetulla operaattorilla Banach-avaruudessa ei ole invarianttia aliavaruutta . Kuitenkin mielivaltaisen neliömatriisin kolmiomaisuus yleistyy kompakteihin operaattoreihin . Jokaisella Banach-avaruuden kompaktilla operaattorilla on suljettujen invarianttien aliavaruuksien pesä .

Laskenta

Tietyn matriisin Schur-hajotus suoritetaan QR-algoritmilla tai sen muunnelmilla. Käytettäessä tällaisia algoritmeja Schur-hajotelmaan ei ole tarvetta esilaskea matriisia vastaavan ominaispolynomin juuria. Toisaalta QR-algoritmia voidaan käyttää minkä tahansa ominaispolynomin juurten laskemiseen etsimällä sen mukana olevan matriisin Schur-hajotelma . Samalla tavalla QR-algoritmia käytetään laskemaan minkä tahansa tietyn matriisin ominaisarvot, jotka ovat ylemmän kolmion Schur-hajotusmatriisin diagonaalielementtejä. Kaikki tarvittavat algoritmit on toteutettu erityisesti Lapack- kirjastossa [4] .

Sovellukset

Joitakin tärkeitä Lie-teorian tuloksia seuraa Schur-hajotelma erityisesti:

mikä tahansa käännettävä operaattori sisältyy Borel-alaryhmään ,
mikä tahansa operaattori kiinnittää pisteen jakotukin lippuun .

Yleistetty Schur-hajoaminen

Kahden neliömatriisin yleistetty Schur-hajotelma ja on johdonmukainen pari sekä matriisien ja matriisien hajotteluista , joissa ja ovat yhtenäisiä ja ja ovat kolmiomaisia . Yleistettyä Schur - hajotusta kutsutaan joskus myös QZ - hajotukseksi . $A$ $B$ $A=QSZ^{*}$ $B=QTZ^{*}$ $K$ $Z$ $S$ $T$

Yleistetyt ominaisarvot , jotka ratkaisevat yleistetyn arvon ongelman (jossa on tuntematon nollasta poikkeava vektori), voidaan laskea diagonaalien elementtien suhteeksi vastaaviin alkioihin . Toisin sanoen -. yleinen ominaisarvo täyttää yhtälön . $\lambda$ $Ax=\lambda Bx$ $x$ $S$ $T$ $i$ $\lambda _{i}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=S_{ii}/T_{ii))$

Muistiinpanot

↑ R. A. Horn, C. R. Johnson. matriisianalyysi. - Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-38632-2 . )
↑ G.H. Golub, C.F. Van Loan. Matriisilaskelmat. – 3. - Johns Hopkins University Press, 1996. - ISBN 0-8018-5414-8 .
↑ Schur decomposition (englanniksi) // Wikipedia. – 17.3.2020.
↑ E. Anderson. LAPACK-käyttöopas. — Kolmas. - Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1999. - ISBN 0-89871-447-8 .

Kirjallisuus

V. V. Prasolov. Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - 2. — Moskova, 2008. — S. 226-227 (3.7.1. Schur-hajoaminen), 498 (9.3.5. Schur-hajoaminen).