Rivi Grandi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 23.11.2020 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 21 muokkausta .

Ääretön sarja 1 − 1 + 1 − 1 + … , tai

,

Joskus sitä kutsutaan Grandi-sarjaksi italialaisen matemaatikon, filosofin ja papin Guido Grandin mukaan . Tavallisessa mielessä tämä sarja on erilainen. Toisaalta sen Cesaro-summa on 1/2.

Heuristiset näkökohdat

Yksi ilmeisistä tavoista löytää sarjan summa

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … -

Koe se teleskooppisena rivinä ja ryhmittele jäsenet pareiksi:

(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Toisaalta voit saada erilaisen vastauksen samalla tavalla:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Siten vaihtelemalla hakasulkeiden järjestystä Grandi-sarjassa voidaan saada sekä 0 että 1 summaksi. (Tämän idean muunnelmia, joita kutsutaan Eilenberg-Mazur-petoksiksi , käytetään solmuteoriassa ja algebrassa).

Jos tarkastelemme Grandi-sarjaa divergenttinä geometrisena progressiona, voimme saada kolmannen arvon, 1/2, käyttämällä samoja menetelmiä kuin työskenneltäessä konvergenttien geometristen progressioiden kanssa:

Merkitse muodossa

.

Edellisessä keskustelussa ei oteta huomioon, mitä "sarjan summa" todella tarkoittaa. Koska on tärkeää voida ottaa osia sarjasta suluissa sekä suorittaa aritmeettisia operaatioita sarjoilla, voimme tehdä kaksi johtopäätöstä:

Itse asiassa molemmat väitteet voidaan todeta tarkasti ja muodollisesti todistaa, mutta vain käyttämällä hyvin määriteltyjä matemaattisia periaatteita, jotka syntyivät vasta 1800-luvulla. Sen jälkeen, kun analyysin perusta luotiin Euroopassa 1600-luvun lopulla ja ennen modernin kurinalaisuuden tuloa, vastausten ero tarjosi ruokaa "loputtomille" ja "väkivaltaisille" matemaatikoiden välisille kiistoille . [3] [4]

Varhaiset ideat

Ero

Nykyaikaisessa matematiikassa sarjan summa määritellään osittaissummien sarjan rajaksi, jos sellainen on olemassa. Grandi-sarjan osittaissummien sekvenssi 1, 0, 1, 0, ... ei pyri mihinkään numeroon (vaikka sillä on kaksi rajapistettä , 0 ja 1). Näin ollen Grandin sarja eroaa.

Voidaan osoittaa, että tällaisten intuitiivisesti vaarattomien operaatioiden, kuten termien uudelleenjärjestelyn soveltaminen sarjoihin, jotka eivät ole ehdottoman konvergentti , voi muuttaa summaa. On helppo nähdä, kuinka voit järjestää Grandin sarjan ehdot uudelleen niin, että saat minkä tahansa kokonaisluvun, ei vain 0 ja 1.


Koulutus

fi:Grandin sarja koulutuksessa

Kognitiivinen shokki

Vuonna 1987 Anna Sierpińska esitteli Grandi-sarjan Varsovan lyseumin 17-vuotiaiden laskelmien suhteen tuntemattomien humanististen opiskelijoiden ryhmälle odottaen heidän tuntemuksensa matematiikasta heikommaksi kuin matematiikan ja fysiikan opiskelijoiden. epistemologiset ongelmat heillä on elävämpiä.

Aluksi Sherpinskaya oletti, että opiskelijat pitävät Grandi-sarjaa ratkaisemattomina, minkä jälkeen hän aikoi järkyttää heidät osoittamalla, kuinka geometrisen progressiokaavan avulla saadaan 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1⁄ 2. Tämän seurauksena, kun opiskelijat etsivät virhettä päättelyssä tutkiessaan kaavaa eri suhteissa, heidän olisi pitänyt tulla siihen tulokseen, että "tässä tapauksessa kaksi päättelyn muunnelmaa ovat hyväksyttäviä, minkä vuoksi heillä on implisiittisesti käsitys konvergenssin käsite."

Opiskelijat eivät kuitenkaan osoittaneet järkytyksen merkkejä väitteessä, että 1 − 1 + 1 − 1 + · · · = 1⁄2 tai jopa 1 + 2 + 4 + 8 + · · · = −1. Sherpinskaya huomauttaa, että ennen kokeilua shokin puute saattoi selittää sillä, että jopa Leibniz ja Grandi pitivät 1/2:ta mahdollisena ratkaisuna sarjaan.

Kokeen jälkeen selitys voi kuitenkin olla hieman erilainen: he hyväksyivät rauhallisesti absurdin ilmeen, koska loppujen lopuksi "matematiikka on täysin abstraktia ja kaukana todellisuudesta" ja "näiden matemaattisten muunnosten avulla voit todistaa kaikenlaista hölynpölyä", kuten yksi heistä myöhemmin sanoi. pojat.

Opiskelijat eivät lopulta kokeneet konvergenssin käsitettä; Sherpinskaya onnistui saamaan heidät mukaan ongelmaan yhdistämällä sen seuraavan päivän desimaalilaajennuksiin. Kun väite 0,999 ... = 1 yllätti opiskelijat, hänen muun materiaalinsa "meni heidän korviltaan". [5]

Ennakkoluulo

Toisessa tutkimuksessa, joka tehtiin Trevisossa Italiassa noin 2000, tieteellisen lyseon 3. tai 4. vuoden opiskelijoille (16-18-vuotiaat) annettiin kortit, joissa oli kysymys:

"Vuonna 1703 matemaatikko Guido Grandi tutki summaa 1 - 1 + 1 - 1 + ... (jossa on loputtomasti lisätty +1 ja -1). Mitä mieltä olette sen ratkaisusta?"

Opiskelijoille oli tuttu ajatus äärettömistä sarjoista, mutta heillä ei ollut kokemusta äärettömistä sarjoista. Heille annettiin 10 minuuttia aikaa ajatella ilman kirjoja tai laskimia. Saadut 88 vastausta jakautuivat seuraavasti:

(26) tulos on 0

(18) tulos voi olla joko 0 tai 1

(5) tulosta ei ole olemassa

(4) tulos on 1/2

(3) tulos -- 1

(2) tulos on ääretön

(30) ei vastannut

Tutkija Giorgio Bagni haastatteli useita opiskelijoita ymmärtääkseen heidän ajattelunsa kulkua. Noin 16 heistä perusteli vastauksen 0 samanlaisella logiikalla kuin Grandi ja Ricatti. Toiset perustelivat 1/2-vaihtoehdon olevan keskellä 0:n ja 1:n välillä.

Bagney huomauttaa, että vaikka heidän päättelynsä on samanlainen kuin Leibnizin, niistä puuttuu todennäköisyyspohja, joka oli niin tärkeä 1700-luvun matematiikalle. Hän päättelee, että vastaukset ovat johdonmukaisia ​​historiallisen kehityksen ja yksilön kehityksen välisen suhteen kanssa, vaikka kulttuurinen konteksti onkin erilainen. [6]

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Devlin, s. 77.
  2. ↑ 12 Davis, s . 152.
  3. ↑ Kline 1983, s. 307.
  4. ↑ Knopp, s. 457.
  5. ↑ Sierpińska, 1987, s. 371-396.
  6. ↑ Bagni s. 6–8

Linkit