Segmentti (geometria)

Tasaisen käyrän segmentti on tasainen (yleensä kupera ) kuvio, joka on suljettu käyrän ja sen jänteen väliin [1] .

Yksinkertaisin ja yleisin esimerkki tasaisesta käyräsegmentistä on ympyräsegmentti .

Ominaisuudet

Käyräsegmentin tärkeimmät ominaisuudet ovat sen leveys, korkeus, pinta-ala ja reunan pituus.

Ympyräsegmentti

Ympyrän säteen ja korkeuden segmentin jänteen pituus lasketaan Pythagoraan lauseella : $c$ $R$ $h$

c=2{\sqrt {R^{2}-(Rh)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}

Säteisen ympyrän segmentin pinta- ala keskikulman perusteella ( radiaaneina ) [2] : $S$ $R,$ $\textstyle\theta$

S = \frac {1}{2}R^2(\theta - \sin\theta)

Paraabelin segmentti

Archimedes 3. vuosisadalla eKr e. osoitti, että siitä suoralla viivalla leikatun paraabelin segmentin pinta-ala on 4/3 tähän segmenttiin piirretyn kolmion pinta-alasta (katso kuva).

Ellipsisegmentti

Olkoon ellipsi annettu kanonisella yhtälöllä:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

Vasemman kuperan kaaren ja abskissalla varustetun pisteen läpi kulkevan pystyjänteen välinen jana voidaan määrittää kaavalla [3] : $x,$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).

Muut litteät segmentit

Mielivaltaisen segmentin alueen ja kaaren pituuden löytäminen edellyttää integraalilaskumenetelmien käyttöä , joka on historiallisesti luotu juuri tätä tarkoitusta varten.

Alue

Janan pinta-alan laskemiseksi on useimmiten kätevää valita x- akseliksi käyrän vastaava jänne . Sitten janan pinta-ala, eli x-akselin pisteissä a ja b leikkaavan käyrän alapuolella on: $y=f(x)$

S=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx

Esimerkiksi sinusoidin ensimmäisen kaaren alla oleva pinta-ala lasketaan integraalina :

S=\int \limits _{0}^{\pi }{\sin xdx}=-\cos(\pi )+\cos(0)=2

Toinen esimerkki: sädeympyrän muodostaman sykloidin segmentin (kaaren) pinta-ala on yhtä suuri , eli kolme kertaa generoivan ympyrän pinta-ala [4] . $R,$ $3\pi R^{2},$

Kaaren pituus

Mielivaltaisen käyrän pituus, mukaan lukien janan kaari, lasketaan kaavalla

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+\left(f'\left(x\right)\right)^{2}}}\,dx

Esimerkiksi sinusoidin ensimmäisen kaaren pituuden laskemiseksi on tarpeen laskea normaali elliptinen Legendre-integraali 2. lajista , jota ei oteta eksplisiittisesti. Siksi tällaisten integraalien laskemiseen nykyään käytetään yleensä välittömästi numeerista integrointia .

Muistiinpanot

↑ Segmentti // Mathematical Encyclopedia (5 osassa). - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja , 1984. - T. 4. - S. 1100-1101.
↑ Elementary Mathematics, 1976 , s. 512.
↑ Korn G., Korn T. Matematiikan käsikirja (tieteilijöille ja insinööreille). - M .: Nauka, 1973. - S. 68. - 720 s.
↑ Alexandrova N. V. Matemaattisten termien, käsitteiden, merkinnän historia: Sanakirja-viitekirja, toim. 3 . - Pietari. : LKI, 2008. - S. 213 . — 248 s. - ISBN 978-5-382-00839-4 .

Kirjallisuus

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Perusmatematiikka. Toista kurssi. - Kolmas painos, stereotyyppinen. - M .: Nauka, 1976. - 591 s.