Spinor

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. elokuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Spinori ( eng. spin - rotate) on vektorin käsitteen erityinen yleistys , jota käytetään kuvaamaan paremmin euklidisen tai pseudoeuklidisen avaruuden rotaatioryhmää .

Avaruuden V spinorikuvauksen ydin on apukompleksisen lineaariavaruuden S rakentaminen siten, että V upotetaan ( avaruuden S tensorituloon kompleksikonjugaatilla itseensä ). $S\otimes S^{*}$

Avaruuden S ja elementtejä kutsutaan "spinoreiksi"; usein (vaikkakaan ei välttämättä) niiltä puuttuu suora geometrinen merkitys.

Spinoreissa on kuitenkin mahdollista "melkein" määritellä kierrosryhmän toiminta , nimittäin: kierto vaikuttaa spinoriin määräämättömään kompleksikertoimeen asti, joka on yhtä suuri kuin modulo 1 (yksinkertaisissa tapauksissa jopa ±1). voidaan esittää tavallisina kompleksivektoreina, mutta avaruudessa, jossa on antisymmetrinen metriikka, esimerkiksi:

g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Spinori-indeksit voivat olla pisteytettyjä ja ei-pisteisiä, koska joidenkin indeksien kohdalla spinori muunnetaan kompleksiseksi konjugaatiksi.

Jos alkuperäistä avaruutta V pidettiin reaalilukukentän yli , niin vektorit V :stä kuvataan S :ssä hermiittisten matriisien avulla . $\mathbb {R}$

Matemaattisesti tiukka perustelu tällaiselle konstruktiolle on tehty tutkittavasta avaruudesta V konstruoidun Clifford-algebran avulla .

E. Cartan käsitteli spinoreita ensimmäisen kerran matematiikassa vuonna 1913 . B. van der Waerden löysi ne uudelleen vuonna 1929 kvanttimekaniikan tutkimuksen yhteydessä .

Määritelmä

Ensimmäisen luokan spinori on vektori kaksiulotteisessa kompleksiavaruudessa, joka muuntuu kaavojen mukaan: $a=(a_{1},a_{2})$

a_{1}^{'}=\alpha _{11}a_{1}+\alpha _{12}a_{2}

a_{2}^{'}=\alpha _{21}a_{1}+\alpha _{22}a_{2}

muunnosdeterminantilla yksi:

{\begin{vmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}\\\alpha _{21}&\alpha _{22}\end{vmatrix}}=1

Spinori on myös merkitty . $a$ $a_{k},(k=1,2)$

Kertoimet ovat kompleksilukuja. $\alpha _{rs},(r=1,2;s=1,2)$

Jokaiselle spinorille on kaksiulotteisessa kompleksiavaruudessa kospinori, joka muunnetaan kaavoilla: $b=(b_{\piste {1)),b_{\piste {2)))$

b_{\piste {1}}^{'}={\bar {\alpha _{11}}}b_{\piste {1}}+{\bar {\alpha _{12}}}b_{\piste {2}}

b_{\piste {2}}^{'}={\bar {\alpha _{21}}}b_{\piste {1}}+{\bar {\alpha _{22}}}b_{\piste {2}}

jossa katkoviivat merkitsevät monimutkaisia konjugaattimääriä. Cospinorien indeksit on merkitty pisteillä. [yksi]

Korkeamman luokan spinorit ovat määriä, jotka muuntuvat ensimmäisen luokan spinorien tuloiksi. Esimerkiksi toisen asteen spinori muuntuu ensimmäisen sijan spinorien tuloksi . Toisen luokan sekoitettu spinori muunnetaan ensimmäisen luokan spinorien tuotteeksi . $a_{kl}(k,l=1,2)$ $a_{{k}}b_{{l}}$ $a_{{\piste {k}}l}({\piste {k}},l=1,2)$ $a_{\piste {k}}b_{l}$

Spinorialgebrassa, kuten tensorialgebrassa, yllä ja alla toistettujen indeksien summaussääntö pätee, ja on olemassa toisen asteen metrinen spinori, joka määritellään seuraavasti: $e^{{kl}}$

a^{{k}}=e^{{kl}}a_{{l}}

a_{{k}}=e_{{kl}}a^{{l}}

e_{kl}=e_{lk}=e_{{\piste {k}}{\piste {l}}}=e_{{\piste {l}}{\piste {k}}}={\begin{ pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}

e^{kl}=e^{lk}=e^{{\piste {k}}{\piste {l}}}=e^{{\piste {l}}{\piste {k}}}= {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}

Ominaisuudet

Spinorien ja kospinorien koordinaatit liittyvät toisiinsa seuraavilla suhteilla:

a^{1}=a_{2}

. _

b^{\piste {1}}=b_{\piste {2}}

a^{2}=-a_{1}

. _

b^{\piste {2}}=-b_{\piste {1}}

Minkä tahansa parittoman spinorin itseisarvo on nolla:

a_{{l}}a^{{l}}=0

a_{{lmn}}a^{{lmn}}=0

a^{{l}}b_{{l}}c_{{m}}+a_{{l}}b_{{m}}c^{{l}}+a_{{m}}b^{{ l}}c_{{l}}=0

[2] .

Spinoreita käytetään tuomaan käyttöön differentiaalioperaattoreita, jotka ovat invariantteja binäärimuunnoksissa.

Neliulotteisen gradientin komponentit vastaavat operaattoreita:

\partial _{1}^{1}=\partial _{{\piste {2}}1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}+i{\frac {\partial }{\osittainen x^{2))}

-\partial _{2}^{\piste {2}}=\osittinen _{{\piste {1}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}}-i{ \frac {\partial }{\partial x^{2))}

-\osittinen _{1}^{\piste {2}}=\osittainen _({\piste {1}}{\piste {1}}}={\frac {\osittinen }{\osittainen x^{3 ))}-{\frac {\partial }{\partial x^{4))}

-\partial _{2}^{\piste {1}}=\osittais _{{\piste {2}}2}={\frac {\partial }{\partial x^{3}}}+{\ frac {\partial }{\partial x^{4}}}

[1] .

Kolmiulotteinen avaruus

3-ulotteisen avaruuden esittämiseksi S : nä on otettava 2-ulotteinen kompleksiavaruus $S={\mathbb {C} }^{2}.$

Kolmiulotteisen avaruuden vektorit vastaavat matriiseja, joiden jälki on nolla .

Kolmiulotteisen euklidisen avaruuden spinoreilla on algebra , joka on lähellä sisä- ja vektoritulojen algebraa . Tämä algebra myöntää kätevän kuvauksen Hamiltonin kvaternionien suhteen . Nimittäin jokaiseen vektoriin x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) reaaliluvuista ( tai kompleksiluvuista ) voit liittää kompleksimatriisin :

{\mathbf {x} }\rightarrow X=x_{1}\sigma _{1}+x_{2}\sigma _{2}+x_{3}\sigma _{3}=\left( {\begin{matrix}x_{3}&x_{1}-ix_{2}\\x_{1}+ix_{2}&-x_{3}\end{matrix}}\right),

missä ovat Pauli-matriisit (ne liittyvät kantavektoreihin e 1 , e 2 , e 3 ). $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix)),\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end {pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Tämän muodon matriiseilla X , jotka liittyvät vektoreihin x , on seuraavat ominaisuudet, jotka liittyvät ne sisäisesti kolmiulotteisen avaruuden geometriaan:

det X = −(pituus x ) 2 .
X 2 = (pituus x ) 2 I , missä I on identiteettimatriisi.
${\frac {1}{2}}(XY+YX)=({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })I.$
${\frac {1}{2}}(XY-YX)=iZ,$ missä Z on ristituloon z = x × y liittyvä matriisi .
Jos u on yksikkövektori, niin UXU on matriisi, joka liittyy vektoriin, joka on saatu x :stä heijastuksella u :n suhteen ortogonaalisessa tasossa .
Lineaarisen algebran mukaan mikä tahansa kierto 3-ulotteisessa avaruudessa on esitettävissä kahtena heijastuksena. (Samalla tavalla mikä tahansa käänteinen ortogonaalinen muunnos on joko heijastus tai kolmen (yleensä parittoman määrän) heijastuksen tulos.) Jos R on siis kierto, joka voidaan esittää kahtena peräkkäisenä heijastuksena tasoissa, jotka ovat kohtisuorassa yksikkövektoreihin u 1 ja u 2 nähden , silloin matriisi U 2 U 1 XU 1 U 2 edustaa vektorin x rotaatiota R.

Tehokas tapa esittää 3-ulotteisen avaruuden rotaatioiden koko geometria monimutkaisten 2 × 2 -matriisien joukkona on luonnollista pohtia, mikä rooli 2 × 1 -matriiseilla on, jos ollenkaan. Kutsukaamme sarakevektoria väliaikaisesti spinoriksi:

\xi =\left[{\begin{matrix}\xi _{1}\\\xi _{2}\end{matrix}}\right],

monimutkaisilla komponenteilla ξ 1 ja ξ 2 . Ilmeisesti monimutkaiset 2 × 2 -matriisit toimivat spinoriavaruudessa. Lisäksi kahden heijastuksen tulo (tietylle yksikkövektoriparille) määrittää 2x2-matriisin, jonka vaikutus euklidisiin vektoreihin on rotaatio, joten se pyörittää spinoreita. Mutta tässä on tärkeä ominaisuus - kierron tekijät eivät ole ainutlaatuisia. On selvää, että jos X → RXR −1 on esitys rotaatiosta, niin R:n korvaaminen −R :llä antaa saman kierron. Itse asiassa voidaan helposti osoittaa, että tämä on ainoa epävarmuus, joka syntyy. Pyörimisoperaation toiminta spinoriin on aina kaksiarvoinen.

Minkowski space

Jos lisäämme identiteettimatriisin (numeroitu 0) kolmeen Pauli-matriisiin , niin saadaan spinoriesitys Minkowski-avaruudesta M :

X=\sigma _{\mu }x^{\mu },\ \mu =0,\ 1,\ 2,\ 3.

Tässä tapauksessa valon kaltaiset vektorit (pituus nolla) vastaavat degeneroituneita matriiseja muotoa , jossa . $\pm {\bar {\psi }}\otimes \psi$ $\psi \in S$

Minkowski-avaruuden ja 2×2 hermiittisten matriisien vastaavuus: M ≈Herm(2) on yksi yhteen .

Spinors fysiikassa

Spinorit eivät suinkaan ole puhtaasti abstrakti konstruktio, joka ei ilmene millään tavalla suhteessa todellisuuden geometriaan. Monet kvanttimekaniikassa kohtaavat suureet ovat spinoreita (katso spin , Diracin yhtälö ). Relativistisessa tarkastelussa käytetään edellä olevaa Minkowski-avaruuden spinoriesitystä. Esimerkiksi Maxwellin yhtälöistä on olemassa melko yksinkertainen spinoriesitys .

Pienillä nopeuksilla käytetään 3-ulotteisia spinoreita.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Van der Werden B. L. Ryhmäteorian menetelmä kvanttimekaniikassa , M., Pääkirjoitus URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Fysiikan peruskaavat, toim. D. Menzela, M., IL, 1957

Kirjallisuus

Dirac P. Spinors Hilbert-avaruudessa / Per. englannista. - M.: Mir, 1978. - 126 s.
Zhelnorovich VA Spinorien teoria ja sen soveltaminen fysiikassa ja mekaniikassa. - M.: Nauka, 1982. - 272 s.
Zhelnorovich VA Spinorien teoria ja sen sovellukset. — M.: August-Print, 2001. — 400 s. — ISBN 5-94681-001-4
Cartan E. Spinorien teoria / Per. ranskasta - M.: GIIL, 1947.
Penrose R. , Rindler W. Spinorit ja aika-avaruus. Osa 2 / Käännös englannista. - M.: Mir, 1988. - 584 s.
Rashevsky P. K. Spinorien teoria. - Toim. 2. - M .: KomKniga, 2006. - 112 s. — ISBN 5-484-00348-2
Rumer Yu. B. Spinor-analyysi. - M.-L.: ONTI, 1936. - 104 s.
Yappa Yu. A. Johdatus spinorien teoriaan ja sen sovelluksiin fysiikassa: Oppikirja / Toim. V. A. Franke. - Pietari. : St. Petersburg State University, 2004. - 256 s. — ISBN 978-5-288-01951-7 .

Linkit

[bse.sci-lib.com/article105279.html "Spin Calculus"] TSB :ssä .