Cauchyn lause (ryhmäteoria)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 5.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Cauchyn lause ryhmäteoriassa sanoo :

Jos äärellisen ryhmän järjestys on jaollinen alkuluvulla , se sisältää järjestyksen elementtejä . $G$ $s$ $G$ $s$

Se liittyy läheisesti Lagrangen lauseeseen , jonka mukaan minkä tahansa äärellisen ryhmän G järjestys on jaollinen minkä tahansa sen alaryhmän järjestyksessä. Cauchyn lauseen mukaan mille tahansa G :n kertaluvun alkujakajalle p on olemassa aliryhmä, jonka järjestys on p . Se on Cauchyn lauseen elementin muodostama syklinen ryhmä.

Cauchyn lauseen yleistys on Sylow'n ensimmäinen lause , jonka mukaan jos p n on p:n maksimipotenssi, joka jakaa ryhmän G järjestyksen , niin G :llä on juuri tuon kertaluvun aliryhmä. Käyttämällä sitä tosiasiaa, että p n kertaluvun ryhmä on ratkaistavissa , voidaan osoittaa, että G sisältää minkä tahansa kertaluvun p r aliryhmiä, joille $r\leq n.$

Todiste

Tämä lause todistetaan usein induktiolla ja konjugaatioluokkien käytöllä , mutta Abelin ryhmien kohdalla samanlainen väite on paljon helpompi todistaa. Todistuksessa voidaan käyttää myös ryhmätoimintaa . [yksi]

Vaihtoehto 1

Todistetaan tämä lause ensin siinä erikoistapauksessa, jossa ryhmä G on Abelin, sitten yleisessä tapauksessa. Molemmilla kerroilla lause todistetaan induktiolla kohdassa n = | G | alkaen n = p . Kanta on triviaali, koska kaikilla ei-identtisillä elementeillä on järjestys p .

Jos G on Abelin, harkitse mitä tahansa epäidenttistä elementtiä a ja sen muodostamaa syklistä alaryhmää H . Jos p jakaa | H |, sitten a | H |/ p on kertaluvun p haluttu alkio . Muussa tapauksessa p ei jaa järjestystä | H |, mutta tekijäryhmän G / H järjestys [ G : H ] . Sitten induktiivisen hypoteesin mukaan tekijäryhmä sisältää elementin, joka on kertaluokkaa p . Se on yksi luokista xH , jossa x on G :ssä . Jos sillä on kertaluku m ryhmässä G , niin : johtuen siitä, että ryhmässä G x m = e , ( xH ) m = eH osamääräryhmässä G / H . Joten p jakaa m ; samoin x m / p osoittautuu luokan p elementiksi ryhmässä G , joka täydentää todistuksen Abelin tapauksessa. $m\vdots p$

Yleisesti ottaen ryhmä Z on ryhmän G keskipiste . Sitten Z osoittautuu Abeliksi. Jos sen järjestys on p :n kerrannainen , niin, kuten olemme jo nähneet, se sisältää kertaluvun p . Tästä syystä tällä elementillä on järjestys p myös ryhmässä G . Muuten p ei jaa Z :tä . Koska p jakaa | G | ja G on jaettu Z :ksi ja muihin konjugaatioluokkiin , yksi näistä luokista sisältää elementin a, jonka luokan koko ei ole jaollinen p :llä . Mutta on helppo osoittaa, että sen koko on [ G : C G ( a )] eikä se ole p :n kerrannainen . Siksi p jakaa ryhmän G alkion a keskittäjän C G ( a ) järjestyksen , joka ei ole sama kuin ryhmän G. Mutta induktiivisen oletuksen mukaan vaadittu kertaluvun p elementti on keskittäjässä , mikä oli todistettava.

Vaihtoehto 2

Tässä muunnelmassa hyödynnetään sitä tosiasiaa, että syklisen ryhmän, jonka alkuluokka on p , toiminta synnyttää vain kiertoradat, joiden koko on 1 ja p , mikä seuraa välittömästi radan stabilointilauseesta.

Toimikaamme ryhmämme mukaan yhtälön ratkaisujoukossa

X=\{\,(x_{1},\ldots ,x_{p})\in G^{p}:x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e\,\ }

nuo. ryhmän G p elementtien sekvenssien joukkoon, jonka tulo on 1. Sellaisen sekvenssin määrittelevät yksiselitteisesti kaikki alkiot paitsi viimeinen, joka on muiden elementtien käänteisarvo. On myös selvää, että nämä p − 1 alkiot voidaan valita mielivaltaisesti, ja joukossa X on | G | p −1 alkioita, ja niiden lukumäärä on p :n kerrannainen .

Huomaa nyt, että ryhmässä ab = e jos ja vain jos ba = e . Siksi, jos , niin . Tämä tarkoittaa, että joukon X elementin komponenttien sykliset permutaatiot muodostavat jälleen X :n elementtejä . Tämän avulla voimme määrittää kertaluvun p syklisen ryhmän C p toiminnan joukossa X permutoimalla komponentteja. Toisin sanoen ryhmän C p muodostava elementti ottaa $x_{1}x_{2}\cdots x_{p}=e$ $x_{2}\cdots x_{p}x_{1}=e$

(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})\mapsto (x_{2},\ldots ,x_{p},x_{1})

Ilmeisesti tässä toiminnossa X :n kiertoradalla on koot 1 tai p . Ratalla on koko 1, jos ja vain jos sen ainoa elementti on muotoa ja . Koska X :n alkioiden lukumäärä on yhtä suuri kuin kiertoradalla olevien elementtien lukumäärän summa, joiden alkioiden lukumäärä on p : n kerrannainen . Koska yksi niistä on identiteettialkio, on yhteensä ainakin alkioita, joista ainakin p − 1 ei ole yhtä suuri kuin identiteettielementti, mutta jonka luokka on p . Lause on todistettu. ${\näyttötyyli (x,x,\ldots ,x)}$ $x^{p}=e$ $x$ $x^{p}=e$ $s$

Sovellukset

Cauchyn lause antaa meille mahdollisuuden määrittää välittömästi mitkä ryhmät voivat olla äärellisiä p-ryhmiä , missä p on alkuluku. Nimittäin äärellinen ryhmä G on p -ryhmä (eli kaikkien alkioiden järjestys on p :n tarkkoja potenssia ) jos ja vain jos ryhmän järjestys on itse p :n potenssi . Vaikka Abelin tapausta voidaan soveltaa myös Sylowin ensimmäisen lauseen todistamiseen induktiolla, [2] aivan kuten ensimmäisessä todistuksessa , on myös todisteita, joissa tätä tapausta käsitellään erikseen.

Esimerkki

Abelin yksinkertainen ryhmä voi olla vain alkujärjestyksen syklinen. Itse asiassa missä tahansa tällaisessa ryhmässä G kaikki sen alaryhmät ovat normaaleja. Näin ollen, jos se on yksinkertainen, kaikki sen normaalit alaryhmät ovat joko yksikköryhmä tai itse. jos | G | = 1 , silloin G itse on identtisyys. Muuten se sisältää ei-triviaalin elementin a ∈ G ja syklinen ryhmä on G :n ei-triviaali aliryhmä . Joten, Olkoon nyt ryhmän järjestys yhtä suuri kuin n . Jos se on ääretön, niin $\langle a\rangle$ $G=\langle a\rangle .$ $\langle a\rangle$

G=\langle a\rangle \supsetneqq \langle a^{2}\rangle \supsetneqq \{e\},

mikä on mahdotonta.

Joten n on äärellinen. Jos n on yhdistetty, niin se on alkuluvun q kerrannainen, joka on pienempi kuin n . Mutta sitten on olemassa aliryhmä H , jonka kertaluku on q , mikä on ristiriidassa oletuksen kanssa. Joten n on yksinkertainen.

Muistiinpanot

↑ McKay, 1959 .
↑ Jacobson, 2009 , s. 80.

Kirjallisuus

Cauchy, Augustin-Louis (1845), Mémoire sur les järjestelyt que l'on peut entisen avec des lettres données, et sur les permutations ou substituutiot à l'aide desquelles on passe d'un à un autre , Exercises d'analyse et de physique mathématique (Paris) Vol. 3: 151-252 , < https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96417945/f157.image >
Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes , voi. 13 (uudelleenpainos), toinen sarja, Paris: Gauthier-Villars, s. 171–282 , < https://iris.univ-lille.fr/handle/1908/4035 >
Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra , voi. I (2. painos), Dover Books on Mathematics, Dover Publications , s. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
McKay, James H. (1959), Toinen todiste Cauchyn ryhmälauseesta , American Mathematical Monthly Vol . 66: 119 , DOI 10.2307/2310010

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muuta ryhmää Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos