Lineaaristen stationaaristen järjestelmien teoria

Lineaaristen stationaaristen järjestelmien teoria on osa dynaamisten järjestelmien teoriaa, joka tutkii lineaaristen stationaaristen järjestelmien (LSS) käyttäytymistä ja dynaamisia ominaisuuksia. Sitä käytetään teknisten järjestelmien ohjausprosessien tutkimiseen, digitaaliseen signaalinkäsittelyyn sekä muilla tieteen ja tekniikan aloilla.

Yleiskatsaus

Minkä tahansa lineaarisen stationaarisen järjestelmän määrittävät ominaisuudet ovat lineaarisuus ja stationaarisuus :

Lineaarisuus tarkoittaa lineaarista suhdetta järjestelmän tulon ja lähdön välillä.

Muodollisesti järjestelmää kutsutaan lineaariseksi, jos sillä on seuraava ominaisuus:

jos signaali järjestelmän sisääntulossa voidaan esittää vaikutusten painotetulla summalla (esimerkiksi kahdella) - x ( t ) = A x 1 ( t ) + B x 2 ( t ) silloin signaali järjestelmän lähdössä on myös painotettu summa reaktioista kuhunkin vaikutukseen - y ( t ) = A y 1 ( t ) + B y 2 ( t ) kaikille vakioille A ja B .

Stationaarisuus tarkoittaa, että järjestelmän lähtösignaali reaktiona mihin tahansa sisääntulosignaaliin on sama tulosignaalin syöttöhetkellä (tulosignaalin syöttöhetken viiveaikaan asti). Suppeammassa mielessä, jos tulosignaali viivästyy ajallisesti tietyn verran, lähtösignaali viivästyy saman verran.

Yllä olevat ominaisuudet omaavien järjestelmien dynamiikkaa voidaan kuvata yhdellä yksinkertaisella funktiolla, esimerkiksi impulssitransienttifunktiolla . Järjestelmän ulostulo voidaan laskea tulosignaalin konvoluutiona järjestelmän impulssimuutosfunktiolla. Tätä analyysimenetelmää kutsutaan joskus aikatason analyysiksi . Yllä oleva pätee myös erillisiin järjestelmiin.

Lisäksi mikä tahansa LSS voidaan kuvata taajuusalueella sen siirtofunktiolla , joka on impulssivastefunktion Laplace-muunnos (tai Z-muunnos diskreettien järjestelmien tapauksessa). Näiden muunnosten ominaisuuksista johtuen järjestelmän lähtö taajuusalueella on yhtä suuri kuin siirtofunktion ja sitä vastaavan tulosignaalin muunnoksen tulo. Toisin sanoen konvoluutio aikatasossa vastaa kertolaskua taajuusalueella.

Kaikille LSS: n ominaisfunktiot ovat monimutkaisia eksponentteja . Eli jos järjestelmän tulo on monimutkainen signaali , jolla on monimutkainen amplitudi ja taajuus , niin ulostulo on yhtä suuri kuin jokin signaali , jolla on kompleksinen amplitudi . Suhde on järjestelmän siirtofunktio taajuudella . $A\exp({st})$ $A$ $s$ $B\exp({st})$ $B$ $B/A$ $s$

Koska sinimuodot ovat kompleksisten eksponentien summa, joilla on monimutkaiset konjugaattitaajuudet, jos järjestelmän tulo on sinimuoto, niin järjestelmän lähtö on myös sinimuoto, yleensä eri amplitudilla ja vaiheella, mutta samalla tavalla. taajuus .

LSS-teoria soveltuu hyvin monien järjestelmien kuvaamiseen. Useimmat LSS:t ovat paljon helpompia analysoida kuin ei-stationaariset ja epälineaariset järjestelmät. Mikä tahansa järjestelmä, jonka dynamiikkaa kuvataan lineaarisella differentiaaliyhtälöllä vakiokertoimilla, on lineaarinen stationaarinen järjestelmä. Esimerkkejä tällaisista järjestelmistä ovat sähköpiirit , jotka on koottu vastuksista , kondensaattoreista ja induktoreista (RLC-piirit). Jousen painoa voidaan myös pitää LSS:nä.

Useimmat LSS:n yleiset käsitteet ovat samankaltaisia jatkuvien järjestelmien tapauksessa sekä diskreettien järjestelmien tapauksessa.

Stationaarisuus ja lineaarimuunnokset

Tarkastellaan ei-stationaarista järjestelmää, jonka impulssivaste on kahden muuttujan funktio . Katsotaan kuinka stationaarisuusominaisuus auttaa pääsemään eroon yhdestä ulottuvuudesta. Olkoon tulosignaali esimerkiksi , jossa argumentti on todellisen akselin numerot, eli . Linjaoperaattori näyttää, kuinka järjestelmä käsittelee tätä syötettä. Joitakin argumenttijoukkoja vastaava operaattori on kahden muuttujan funktio: $x(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) \mbox{, } t_1, t_2 \in \mathbb{R}.

Erillinen järjestelmä:

h[n_1, n_2] \mbox{, } n_1, n_2 \in \mathbb{Z}.

Koska on lineaarinen operaattori, järjestelmän vaikutus tulosignaaliin esitetään lineaarimuunnoksena , jota kuvaa seuraava integraali (superpositiointegraali) ${\mathcal {H}}$ $x(t)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1, t_2) \, x(t_2) \, d t_2.

Jos lineaarinen operaattori on myös paikallaan, niin ${\mathcal {H}}$

h(t_1, t_2) = h(t_1 + \tau, t_2 + \tau) \qquad \forall \, \tau \in \mathbb{R}.

Laittaminen

\tau =-t_{2},

saamme:

h(t_{1},t_{2})=h(t_{1}-t_{2},0).

Lyhyyden vuoksi toinen argumentti jätetään yleensä pois ja superpositiointegraalista tulee konvoluutiointegraali: $h(t_1, t_2)$

y(t_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t_1 - t_2) \, x(t_2) \, d t_2 = (h * x) (t_1).

Siten konvoluutiointegraali näyttää kuinka lineaarinen stationäärinen järjestelmä käsittelee minkä tahansa tulosignaalin. Tuloksena oleva relaatio diskreeteille järjestelmille:

y[n_1] = \sum_{n_2=-\infty}^{\infty} h[n_1 - n_2] \, x[n_2] = (h * x) [n_1].

Impulssitransienttifunktio

Jos tulosignaali Dirac-delta-funktion muodossa syötetään järjestelmän tuloon , tuloksena oleva LSS:n lähtösignaali on järjestelmän impulssitransienttitoiminto . Äänite:

(h * \delta) (t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) \, \delta (\tau) \, d \tau = h(t),

Erillinen järjestelmä:

x[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty x[m] \delta[nm].

(delta-funktion siirtoominaisuuden vuoksi).

Huomaa, että:

h(t) = h(t, 0) \ (\mbox{jossa } t = t_1 - t_2)

eli järjestelmän impulssisiirtofunktio $h(t)$

Impulssitransienttitoimintoa käytetään etsimään järjestelmän lähtösignaali vastauksena mihin tahansa tulosignaaliin. Lisäksi mikä tahansa syöte voidaan esittää deltafunktioiden superpositiona:

x(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

Sovellettaessa järjestelmän tuloa saamme:

\mathcal{H} x(t) = \mathcal{H} \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty \mathcal{H} x(\tau) \delta(t-\tau) \,d\tau

(koska se on lineaarinen)

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) \mathcal{H} \delta(t-\tau) \,d\tau

(koska se on vakio t :ssä ja lineaarinen)

x(\tau )

{\mathcal {H}}

\quad = \int\limits_{-\infty}^\infty x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau

(määritelmän mukaan )

h(t)

Impulssisiirtofunktio sisältää kaiken tiedon LSS-dynamiikasta. $h(t)$

Omat toiminnot

Ominaisuusfunktio on funktio, jonka operaattorin lähtö on sama funktio, yleensä vakiotekijään asti. Äänite:

\mathcal{H}f = \lambda f

jossa f on ominaisfunktio ja on ominaisarvo , vakio. $\lambda$

Eksponentit , joissa ovat lineaarisen stationaarisen operaattorin ominaisfunktiot. Yksinkertainen todiste: $e^{st}$ $s \in \mathbb{C}$

Olkoon järjestelmän tulosignaali . Sitten järjestelmän tulos on: $x(t) = e^{st}$ $h(t)$

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(t - \tau) e^{s \tau} d \tau

joka vastaa seuraavaa lauseketta konvoluution kommutatiivisuuden vuoksi:

\int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{s (t - \tau)} \, d \tau

\quad = e^{st} \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(\tau) \, e^{-s \tau} \, d \tau

\quad = e^{st} H(s)

missä

H(s) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

riippuu vain s :stä .

Siten on LSS :n ominaisfunktio . $e^{st}$

Laplace- ja Fourier-muunnokset

Laplace-muunnos

H(s) = \mathcal{L}\{h(t)\} = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t) e^{-st} dt

on tarkka tapa saada ominaisarvot impulssivastefunktiosta. Erityisen kiinnostavia ovat puhtaat sinusoidit, eli muodon, jossa ja on imaginaariyksikkö , eksponentit . Niitä kutsutaan yleensä kompleksisiksi eksponenteiksi, vaikka argumentilla ei olisikaan reaaliosaa. Fourier-muunnos antaa ominaisarvot puhtaasti monimutkaisille sinusoideille. kutsutaan järjestelmän siirtofunktioksi , joskus kirjallisuudessa tätä termiä käytetään myös . $\exp({j \omega t})$ $\omega \in \mathbb{R}$ $j$ $H(j \omega) = \mathcal{F}\{h(t)\}$ $H(t)$ $H(j\omega)$

Laplace-muunnosta käytetään yleensä yksipuolisille, eli nollaalkuehdollisille signaaleille. Alkuhetki otetaan nollaksi ilman yleisyyden menetystä, ja muunnos otetaan nollasta äärettömään ( muunnosta, joka saadaan integroimalla myös miinus äärettömyyteen, kutsutaan kaksipuoleiseksi Laplace-muunnokseksi ).

Fourier-muunnosta käytetään analysoimaan järjestelmiä, joiden läpi jaksolliset signaalit kulkevat, ja monissa muissa tapauksissa - esimerkiksi analysoimaan järjestelmän vakautta .

Konvoluution ominaisuuksista johtuen seuraavat suhteet pätevät molemmille muunnoksille:

y(t) = (h*x)(t) = \int\limits_{-\infty}^\infty h(t - \tau) x(\tau) d \tau

\quad = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Erillisille järjestelmille:

y[n] = (h*x)[n] = \sum_{m=-\infty}^\infty h[nm] x[m]

\quad = \mathcal{Z}^{-1}\{H(s)X(s)\}

Jotkut ominaisuudet

Joitakin minkä tahansa järjestelmän tärkeitä ominaisuuksia ovat syy-yhteys ja vakaus. Jotta järjestelmä voisi olla olemassa todellisessa maailmassa, kausaalisuuden periaatteen on täytettävä. Kestämättömiä järjestelmiä voidaan rakentaa ja joskus jopa hyödyllisiä.

Syy-yhteys

Järjestelmää kutsutaan kausaaliksi, jos sen tulos riippuu vain nykyisestä tai aikaisemmasta toiminnasta. Tarpeellinen ja riittävä ehto syy-yhteydelle:

h(t) = 0 \quad \forall t < 0,

Erillisille järjestelmille:

h[n] = 0 \ \kaikki n < 0,

missä on impulssisiirtofunktio. Eksplisiittisessä muodossa on mahdotonta määrittää kausaalista järjestelmää vai ei sen Laplace-muunnoksen perusteella yleisessä tapauksessa, koska käänteinen Laplace-muunnos ei ole ainutlaatuinen. Syy-yhteys voidaan määrittää, kun konvergenssialue on annettu . $h(t)$

Kestävyys

Järjestelmä on vakaa rajoittetussa sisääntulossa, rajoitetussa lähdössä ( englanniksi rajoitettu input, rajoitettu lähtö vakaa, BIBO-stabiili ), jos kunkin rajoitetun tulon lähtösignaali on äärellinen. Tallennus: Jos

||x(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |x(t)|^p dt \oikea)^{ 1/p} < \infty

||y(t)||_\infty = \lim_{p \to \infty} \left(\int\limits_{-\infty}^\infty |y(t)|^p dt \oikea)^{ 1/p} < \infty

(eli absoluuttisten arvojen maksimit ja ovat äärellisiä), järjestelmä on vakaa. Vakauden välttämätön ja riittävä ehto: järjestelmän impulssivasteen, , täytyy täyttää lauseke $x(t)$ $y(t)$ $h(t)$

||h(t)||_1 = \int\limits_{-\infty}^\infty |h(t)| dt < \infty.

Erillisille järjestelmille:

||h[n]||_1 = \sum_{n = -\infty}^\infty |h[n]| < \infty.

Taajuusalueella konvergenssialueen tulee sisältää imaginaariakseli . $s=j\omega$

Katso myös

Linkit

P. P. Vaidyanathan ja T. Chen. Anticausaalisten käänteisten rooli moninopeuksisissa suodatinpankeissa -- Osa I: Järjestelmäteoreettiset perusteet // IEEE Trans. SignalProc. : päiväkirja. - 1995. - toukokuu.
P. P. Vaidyanathan ja T. Chen. Anticausaalisten käänteisten rooli moninopeuksisissa suodatinpankeissa -- Osa II: FIR-tapaus, tekijät ja biortogonaaliset limitetyt muunnokset // IEEE Trans. SignalProc. : päiväkirja. - 1995. - toukokuu.
IN JA. Hampaat. Hallitun liikkeen yhtälöiden teoria (epämääräinen) . - L .: LGU, 1980.