Goursat-tetraedri

Goursat -tetraedri on Wythoff-rakennuksen tetraedrinen perusalue . Jokainen tetraedrin pinta edustaa peilihypertasoa 3-ulotteisella pinnalla - 3-pallo , euklidinen 3-ulotteinen avaruus ja hyperbolinen 3-ulotteinen avaruus. Coxeter nimesi alueen Édouard Goursin mukaan, joka ensin kiinnitti huomion näihin alueisiin. Goursat-tetraedri on Schwartzin kolmioiden teorian laajennus Wythoffin rakentamiseksi pallolle.

Graafinen esitys

Goursat-tetraedri voidaan esittää graafisesti tetraedrisellä graafilla, joka on perusalueen kaksoiskonfiguraatio tetraedrina. Tässä kaaviossa jokainen solmu edustaa Goursat-tetraedrin pintaa (peiliä). Jokainen reuna on merkitty rationaaliluvulla, joka vastaa heijastusjärjestystä, joka on ⁄ dihedraalinen kulma .

4-pisteinen Coxeter-Dynkin-kaavio edustaa näitä tetraedrisiä graafisia piilotettuja toisen asteen reunat. Jos monet reunat ovat luokkaa 2, Coxeter-ryhmä voidaan esittää hakasulkumerkinnällä .

Jotta Goursat-tetraedri olisi olemassa, kunkin graafin 3-pisteisen aligraafin (pqr), (pus), (qtu) ja (rst) on vastattava Schwartzin kolmiota .

Ulkoinen symmetria

Goursat -tetraedrin laajennettu symmetria on Coxeterin symmetriaryhmän ja symmetrian perusalueen (tässä tapauksessa Goursat-tetraedrin) puolisuora tulos. Coxeter-merkintä tukee tätä symmetriaa sisäkkäisinä suluina, kuten [Y[X]], mikä tarkoittaa [X]-symmetrian täyttä Coxeter-ryhmää, kun Y on Goursat-tetraedrisymmetria. Jos Y on puhdas peilisymmetria, ryhmä edustaa toista Coxeterin heijastusryhmää. Jos on vain yksi yksinkertainen tuplaussymmetria, Y voidaan ilmaista eksplisiittisesti, kuten [[X]] peili- tai kiertosymmetrialla kontekstista riippuen.

Jokaisen Goursat-tetraedrin laajennettu symmetria on annettu alla. Suurin mahdollinen symmetria on säännöllisessä tetraederissä [3,3], ja se saavutetaan prismapisteryhmässä [2,2,2] tai [2 [3,3] ] ja parakompaktissa hyperbolisessa ryhmässä [ 3 [3,3] ].

Katso tetraedrisymmetriat 7 matalan asteen tetraedrisymmetriaa varten.

Ratkaisujen kokonaismäärä

Seuraavissa osissa esitetään kaikki täydelliset Goursat-tetraedraratkaisut 3-pallon, Euklidisen 3-avaruuden ja hyperbolisen 3-avaruuden ratkaisuille. Jokaisen tetraedrin laajennettu symmetria on myös osoitettu.

Alla olevat värilliset tetraedrikaaviot ovat katkaistujen polyhedrien ja hunajakennojen huippukuvia kustakin symmetriaperheestä. Reunatunnisteet edustavat monikulmiopintojen järjestyksiä, jotka ovat kaksi kertaa Coxeter-graafin haarajärjestykset. 2n - merkityn reunan dihedral-kulma on . Keltaiset 4:llä merkityt reunat saadaan Coxeterin kaavion (yhteyttämättömien) peilien (solmujen) oikeasta kulmasta.

(äärelliset) ratkaisut 3-pallolla

Ratkaisut 3-pallolle tiheydellä 1: ( tasainen polyhedra )

Coxeter-ryhmä ja kaavio	[2,2,2]	[p,2,2]	[p,2,q]	[p,2,p]	[3,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Symmetrinen ryhmäjärjestys	16	8p _	4pq_ _	4p2 _ _	48	96	240
Tetraedrin symmetria	[3,3] (tilaus 24)	[2] (järjestys 4)	[2] (järjestys 4)	[2 + ,4] (järjestys 8)	[ ] (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[ ] + (järjestys 1)
Laajennetut symmetriat	[(3,3)[2,2,2]] =[4,3,3]	[2[p,2,2]] =[2p,2,4]	[2[p,2,q]] =[2p,2,2q]	[(2 + ,4)[p,2,p]] =[2 + [2p,2,2p]]	[1[3,3,2]] =[4,3,2]	[4,3,2]	[5,3,2]
Laajennettujen symmetriaryhmien järjestys	384	32p _	16pq_ _	32p2 _ _	96	96	240

Kaavion tyyppi	Lineaarinen				Kolmilehtinen
Coxeter-ryhmä ja kaavio	Viisi solua [3,3,3]	Kuusitoista solua [4,3,3]	Kaksikymmentäneljäsoluinen [ 3,4,3 ] [ ]]	600 solua [ 5,3,3 ] [5,3,3]	Semitesseraktti [3 1,1,1 ]
Katkaistun yhtenäisen monitahoisen kärkihahmo
Tetrahedron
Symmetrinen ryhmäjärjestys	120	384	1152	14400	192
Tetraedrinen symmetria	[2] + (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[2] + (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[3] (järjestys 6)
Laajennettu symmetria	[2 + [3,3,3]]	[4,3,3]	[2 + [3,4,3]]	[5,3,3]	[3[3 1,1,1 ]] =[3,4,3]
Laajennetun symmetriaryhmän järjestys	240	384	2304	14400	1152

Ratkaisut euklidisessa 3-avaruudessa

Tiheysratkaisut 1: Convex Uniform Honeycomb :

Kaavion tyyppi	Lineaarinen	Kolmilehtinen	Rengas	Prismaattinen			rappeutunut
Coxeter-ryhmä Coxeter- kaavio	[4,3,4	[4.3 1.1 ]	[3 [4] ]	[4,4,2]	[6,3,2]	[3 [3] ,2]	[∞,2,∞]
Kaikkien katkaistujen hunajakennojen kärkihahmo
Tetrahedron
Tetraedrinen symmetria	[2] + (järjestys 2)	[ ] (järjestys 2)	[2 + ,4] (järjestys 8)	[ ] (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[3] (järjestys 6)	[2 + ,4] (järjestys 8)
Laajennettu symmetria	[(2 + )[4,3,4]]	[1[4.3 1.1 ]] =[4,3,4]	[(2 + ,4)[3 [4] ]] =[2 + [4,3,4]]	[1[4,4,2]] =[4,4,2]	[6,3,2]	[3[3 [3] ,2]] =[3,6,2]	[(2 + ,4)[∞,2,∞]] =[1[4,4]]

Ratkaisut hyperbolisille 3-välilyönneille

Tiheysratkaisut 1: ( Kuperat homogeeniset hunajakennot hyperbolisessa avaruudessa ) ( Kompakti (Lanner simplice -ryhmät) )

Kaavion tyyppi	Lineaarinen			Kolmilehtinen
Coxeter-ryhmä Coxeter- kaavio	[3,5,3]	[5,3,4]	[5,3,5]	[5.3 1.1 ]
Täysin katkaistujen hunajakennojen kärkihahmot
Tetrahedron
Tetraedrinen symmetria	[2] + (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[2] + (järjestys 2)	[ ] (järjestys 2)
Laajennettu symmetria	[2 + [3,5,3]]	[5,3,4]	[2 + [5,3,5]]	[1[5.3 1.1 ]] =[5,3,4]
Kaavion tyyppi	Rengas
Coxeter-ryhmä Coxeter- kaavio	[(4,3,3,3)]	[(4,3) 2 ]	[(5,3,3,3)]	[(5,3,4,3)]	[(5,3) 2 ]
Täysin katkaistujen hunajakennojen kärkihahmot
Tetrahedron
Tetraedrinen symmetria	[2] + (järjestys 2)	[2,2] + (järjestys 4)	[2] + (järjestys 2)	[2] + (järjestys 2)	[2,2] + (järjestys 4)
Laajennettu symmetria	[2 + [(4,3,3,3)]]	[(2,2) + [(4,3) 2 ]]	[2 + [(5,3,3,3)]]	[2 + [(5,3,4,3)]]	[(2,2) + [(5,3) 2 ]]

Ratkaisut parakompakteissa hyperbolisissa 3-avaruuksissa

Tiheyden 1 ratkaisut: (Katso Paracompact (Kozul-yksinkertaisten ryhmät) )

Kaavion tyyppi	Viivakaaviot
Coxeter-ryhmä Coxeter- kaavio	[6,3,3]	[3,6,3]	[6,3,4]	[6,3,5]	[6,3,6]	[4,4,3]	[4,4,4]
Tetraedrinen symmetria	[ ] + (järjestys 1)	[2] + (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[ ] + (järjestys 1)	[2] + (järjestys 2)	[ ] + (järjestys 1)	[2] + (järjestys 2)
Laajennettu symmetria	[6,3,3]	[2 + [3,6,3]]	[6,3,4]	[6,3,5]	[2 + [6,3,6]]	[4,4,3]	[2 + [4,4,4]]
Kaavion tyyppi	Rengaskaaviot
Coxeter-ryhmä Coxeter- kaavio	[3 [ ] × [ ] ]	[(4,4,3,3)]	[(4 3 ,3)]	[4 [4] ]	[(6,3 3 )]	[(6,3,4,3)]	[(6,3,5,3)]	[(6,3) [2] ]
Tetraedrinen symmetria	[2] (järjestys 4)	[ ] (järjestys 2)	[2] + (järjestys 2)	[2 + ,4] (järjestys 8)	[2] + (järjestys 2)	[2] + (järjestys 2)	[2] + (järjestys 2)	[2,2] + (järjestys 4)
Laajennettu symmetria	[2[3 [ ] × [ ] ]] =[6,3,4]	[1[(4,4,3,3)]] =[3,4 1,1 ]	[2 + [(4 3 ,3)]]	[(2 + ,4)[4 [4] ]] =[2 + [4,4,4]]	[2 + [(6,3 3 )]]	[2 + [(6,3,4,3)]]	[2 + [(6,3,5,3)]]	[(2,2) + [(6,3) [2] ]]
Kaavion tyyppi	Kolmilehtinen			hännän rengas				Simlex
Coxeter-ryhmä Coxeter- kaavio	[6.3 1.1 ]	[3.4 1.1 ]	[4 1,1,1 ]	[3,3 [3] ]	[4,3 [3] ]	[5,3 [3] ]	[6,3 [3] ]	[3 [3,3] ]
Tetraedrinen symmetria	[ ] (järjestys 2)	[ ] (järjestys 2)	[3] (järjestys 6)	[ ] (järjestys 2)	[ ] (järjestys 2)	[ ] (järjestys 2)	[ ] (järjestys 2)	[3,3] (tilaus 24)
Laajennettu symmetria	[1[6.3 1.1 ]] =[6,3,4]	[1[3.4 1.1 ]] =[3,4,4]	[3[4 1,1,1 ]] =[4,4,3]	[1[3,3 [3] ]] =[3,3,6]	[1[4,3 [3] ]] =[4,3,6]	[1[5,3 [3] ]] =[5,3,6]	[1[6,3 [3] ]] =[6,3,6]	[(3,3)[3 [3,3] ]] =[6,3,3]

Rational Decisions

Kolmelle pallolle on olemassa satoja rationaalisia ratkaisuja , mukaan lukien nämä 6 lineaarista kuvaajaa, jotka muodostavat Schläfli–Hess-polyhedrin , ja 11 epälineaarista:

Katso myös

• Pistesymmetriaryhmä n-simplex-ratkaisuille (n - 1 ) -pallolla .

Muistiinpanot

Kirjallisuus

• Coxeter HCM Taulukko 3: Schwarzin kolmiot //Tavalliset polytoopit (kirja) . — Kolmas painos. - Dover Edition, 1973. - S.  280 , Goursat's tetrahedra. — ISBN 0-486-61480-8 .

• NW Johnson . Yhdenmukaisten polytooppien ja hunajakennojen teoria. - Toronton yliopisto, 1966. - (Ph.D. Dissertation). Johnson osoitti, että Coxeterin Goursat-tetraedrien luettelo on täydellinen.
• Edouard Goursat. Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace // Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. - 1889. - Numero. 6 . — s. 9–102, 80–81 tetraedria .
• Klitsing, Richard. Dynkin Diagrams Goursat tetrahedra
• NW Johnson . Luvut 11,12,13 // Geometriat ja muunnokset. – 2015.
• Johnson NW, Kellerhals R., Ratcliffe JG, Tschantz ST Transformation Groups // Hyperbolisen Coxeter simplexin koko . - 1999. - T. 4. - S. 329–353.