Säännöllinen neliulotteinen monitahoinen
Säännölliset neliulotteiset polyhedrat ovat neliulotteisia analogeja säännöllisille polyhedraille kolmiulotteisessa avaruudessa ja säännöllisille monikulmioille tasossa.
Sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli kuvasi säännölliset 4-ulotteiset polytoopit ensimmäisen kerran 1800-luvun puolivälissä, vaikka koko joukko löydettiin paljon myöhemmin.
Kuperaa ja kymmenen tähden säännöllistä 4-polytooppia on kuusi , yhteensä kuusitoista.
Historia
Sveitsiläinen matemaatikko Ludwig Schläfli kuvasi ensin kuperat 4-ulotteiset polyhedrat 1800-luvun puolivälissä. Schläfli havaitsi, että tällaisia ruumiita on tarkalleen kuusi.
Schläfli löysi myös neljä säännöllistä stellattua 4-ulotteista monitahoa : suuren 120 -soluisen tähden [en , suuren 120-soluisen tähden , suuren 600-soluisen ja suuren suuren 120-soluisen tähden . Hän ohitti loput kuusi, koska hän ei sallinut Eulerin ominaiskäyrän rikkomista soluissa tai kärkikuvioissa ( F − E + V = 2). Tämä ei sisällä soluja ja kärkimuotoja, kuten {5,5/2} ja {5/2,5} .
Edmund Hess (1843–1903) julkaisi täydellisen luettelon saksalaisessa kirjassaan Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder polyhedra8) is in equiohedral teoria.
Rakentaminen
Säännöllisen 4-ulotteisen monitahoisen olemassaoloa rajoittaa säännöllisten (3-ulotteisten) monitahojen olemassaolo , jotka muodostavat sen solut ja sitovat kaksiulotteisen kulman
niin, että solut ovat suljettuja 3-ulotteisia pintoja.
Tässä kuvatut kuusi kuperaa ja kymmenen tähden polyhedraa ovat ainoat ratkaisut, jotka täyttävät rajoitukset.
On olemassa neljä ei-kupera Schläfli-symbolia {p,q,r}, joilla on kelvolliset solut {p,q} ja kärkikuviot {q,r}, jotka läpäisevät dihedraalisen kulman testin, mutta eivät tuota lopullisia lukuja - {3,5/ 2 ,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.
Säännöllinen kupera 4-polyhedra
Säännölliset kuperat 4-ulotteiset polyhedrat ovat platonisten kiinteiden aineiden neliulotteisia analogeja kolmiulotteisessa avaruudessa ja kuperia säännöllisiä monikulmioita kaksiulotteisessa avaruudessa.
Viisi niistä voidaan ymmärtää platonisten kiinteiden aineiden läheisinä analogeina. On yksi lisäkuva, kaksikymmentäneljä solu , jolla ei ole läheistä kolmiulotteista vastinetta.
Jokaista kuperaa säännöllistä 4-polytooppia rajoittaa joukko 3-ulotteisia soluja , jotka ovat samantyyppisiä ja samankokoisia platonisia kiinteitä aineita. Solut ovat kosketuksissa toistensa kanssa reunoja pitkin muodostaen oikean rakenteen.
Ominaisuudet
Seuraavissa taulukoissa luetellaan joitain kuuden kuperan säännöllisen 4-ulotteisen polyhedran ominaisuuksia. Näiden 4-polyhedrien symmetriaryhmät ovat kaikki Coxeter-ryhmiä ja ne on esitetty tässä artikkelissa. Ryhmän nimeä seuraava numero on ryhmän järjestys .
| Nimet | Kuva | Perhe | Schläfli Coxeter |
Huiput | kylkiluut | Fasetit | Solut | Versh. kuva |
Kaksi _ |
Symmetria ryhmä | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| viisisoluinen pentaedri 4-simplex |
n -simplex (perhe A n ) |
{3,3,3}   |
5 | kymmenen | 10 {3} |
5 {3,3} |
{3,3} | (itsekaksois ) |
A 4 [3,3,3] |
120 | |
| kahdeksansoluinen tesserakti 4-kuutio |
n -kuutio (perhe B n ) |
{4,3,3} |
16 | 32 | 24 {4} |
8 {4,3} |
{3,3} | 16-soluinen | B 4 [4,3,3] |
384 | |
| kuusitoistasoluinen 4-ortoplex |
n -ortoplex (perhe B n ) |
{3,3,4} |
kahdeksan | 24 | 32 {3} |
16 {3,3} |
{3,4} | 8-soluinen | B 4 [4,3,3] |
384 | |
| 24 solun oktapleksipolyoktaedri (pO) |
Perhe F n | {3,4,3} |
24 | 96 | 96 {3} |
24 {3,4} |
{4,3} | (itsekaksois ) |
F4 [ 3,4,3 ] |
1152 | |
120-soluinen dodekakontikoroni dodekaplex polydodekaedri (pD) |
n-viisikulmainen monitahoinen (perhe H n ) |
{5,3,3} |
600 | 1200 | 720 {5} |
120 {5,3} |
{3,3} | 600 solua | H 4 [5,3,3] |
14400 | |
| kuusisataa solun tetrapleksipolytetraedri (pT) |
n-viisikulmainen monitahoinen (perhe H n ) |
{3,3,5} |
120 | 720 | 1200 {3} |
600 {3,3} |
{3,5} | 120 solua | H 4 [5,3,3] |
14400 | |
John Conway kannattaa nimiä simplex, orthoplex, tesseract, octaplex tai polyoktahedron (pO), dodekapleksi tai polydodekaedri (pD) ja tetraplex tai polytetrahedron (pT) [1] .
Norman Johnson kannattaa nimiä n-solu tai pentachoron, tesserakt tai oktachoron, heksadekakoroni, ikositetrachoron, hekatonikosahedron (tai dodekakontachoron) ja heksakosikoroni. [2] [3] [4]
Eulerin ominaiskäyrä kaikille 4-ulotteisille monitahoille on nolla. Eulerin kaavalla on 4-ulotteinen analogi monitahoisille:
missä N k on k -pintojen lukumäärä monitahoisessa (kärki on 0-pinta, reuna on 1-pinta jne.).
Visualisointi
Seuraavassa taulukossa on joitain 2D-projektioita 4D-polyhedraista. Useita muita visualisointeja löytyy ulkoisista linkeistä. Coxeter-Dynkin-kaavioiden kaaviot ovat myös Schläfli-symbolin alla .
| A4 = [3,3,3 ] | BC4 = [4,3,3 ] | F4 = [3,4,3 ] | H4 = [5,3,3 ] | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Viisisoluinen | 8-soluinen | 16-soluinen | 24-soluinen | 120 solua | 600 solua |
| {3,3,3} | {4,3,3} | {3,3,4} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
|
|
|
|
|
|
|
| 3D-ortografiset projektiot | |||||
tetraedrinen kuori (solu/vertex-keskeinen) |
kuutioinen kuori (solukeskeinen) |
kuutioinen kuori (solukeskeinen) |
kuutiokederinen kuori (solukeskeinen) |
Typistetty rombinen rombinen triakontaedri (solukeskeinen) |
pentakiikosi - dodekaedrinen kuori (solukeskeinen) |
| Schlegelin kaavioiden lankakehykset ( perspektiiviprojektio ) | |||||
keskitetty soluun |
keskitetty soluun |
keskitetty soluun |
keskitetty soluun |
keskitetty soluun |
ylhäältä keskitetty |
| Stereografisten projektioiden lankakehykset ( 3 - palloa ) | |||||
Säännöllinen tähtikuvioinen 4-polyhedra (Schläfli–Hess)
Schläfli-Hess 4- polyhedra on täydellinen luettelo kymmenestä säännöllisestä itsestään leikkaavasta stellatetusta 4-polytooppista [5] . Polyhedrat on nimetty niiden löytäjien Ludwig Schläflin ja Edmund Hessin mukaan. Jokaista polyhedriaa edustaa Schläfli-symboli { p , q , r }, jossa yksi luvuista on 5/2 . Polyhedrat ovat samanlaisia kuin tavalliset ei-kuperat Kepler-Poinsot-polyhedrat .
Nimet
Tässä annetut nimet ovat John Conwayn antamat, ja ne ovat Cayleyn Kepler-Poinsot-polyhedran nimien laajennuksia – hän lisäsi suurenmoisia tähtikuvia ja suuria muuntajia . Conway määritteli seuraavat toiminnot:
- stellaation (stellaation muodostuminen) korvaa reunat pidemmillä samoilla viivoilla. (Esimerkki - viisikulmio muunnetaan pentagrammiksi )
- suurentaminen korvaa kasvot suuremmilla pinnoilla samoissa tasoissa. (Esimerkki - ikosaedri kasvaa suureksi ikosaedriksi )
- suurennus (korottaminen) korvaa solut suurilla samoissa 3-ulotteisissa tiloissa. (Esimerkki - 600-soluinen korotetaan suureksi 600-soluiseksi )
Conway-nimet 10 muodolle kolmelle 4-ulotteiselle monitahoiselle säännölliselle solulle - pT = polytetraedri (polytetraedri) {3,3,5} (tetraedri kuusisataa solua), pI = polyikosedri (polyikosaedri) {3,5,5/2} ( ikosaedri 120-soluinen ) ja pD=polydodekaedri (polydodekaedri) {5,3,3} (dodekaedri 120-soluinen ) modifioivilla etuliitteillä g , a ja s suurille (suuri), grand (suuri) ja tähti stellattu). Lopullinen stellaatio, suuri tähtipolydodekaedri, saisi sitten nimen gaspD .
Symmetria
Kaikilla kymmenellä polykorilla on [3,3,5] ( H 4 ) heksakosikorisymmetria . Ne syntyvät kuudella kytketyllä symmetriaryhmällä, jotka ovat Goursat-tetraedrien rationaalista järjestystä — [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2 ,5,5/2], [5.5/2.3] ja [3.3.5/2].
Jokaisessa ryhmässä on 2 säännöllistä tähtipolytooppia, paitsi kaksi itsekaksoisryhmää, joissa kussakin on yksi polytooppi. Siten kymmenen säännöllisen tähtipolyhedran joukossa on 4 kaksoiparia ja 2 itsekaksoismuotoa.
Ominaisuudet
merkintä:
- On olemassa kaksi ainutlaatuista kärkijärjestelyä , jotka esiintyvät 120 solussa ja 600 solussa .
- On olemassa neljä ainutlaatuista reunapaikkaa , jotka näytetään ortografisina projektiolankakehyksinä .
- On olemassa seitsemän ainutlaatuista kasvojärjestelyä , jotka on esitetty ortografisten projektioiden kiinteinä (värillisinä pinnoina).
Solut (3-ulotteiset polyhedrat), niiden pinnat (monikulmiot), monikulmion reunakuviot ja monitahoiset kärkikuviot esitetään niiden Schläfli-symboleilla .
| Nimen lyhenne sanasta Conway |
ortogonaalinen projektio |
Schläfli Coxeter |
Solut {p, q} |
Reunat {p} |
kylkiluut {r} |
Vertices {q, r} |
Tiheys [ fi | χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Icosahedral 120-cell polyicosahedron (pI) |
{3,5,5/2} 
|
120 {3,5} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
neljä | 480 | |
| Pieni stellattu 120-soluinen stellattu polydodekaedri (spD) |
{5/2,5,3}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
120 {5,3} |
neljä | −480 | |
| Suuri 120-soluinen suuri polydodekaedri (gpD) |
{5,5/2,5}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
6 | 0 | |
| Suuri 120-soluinen suuri polydodekaedri (apD) |
{5,3,5/2}
|
120 {5,3} |
720 {5} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
kaksikymmentä | 0 | |
| Suuri tähtikuvioinen 120-soluinen suuri stelloitu polydodekaedri (gspD) |
{5/2,3,5}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
720 {5} |
120 {3,5} |
kaksikymmentä | 0 | |
| Suuri tähtikuvioinen 120-soluinen suuri tähtimuotoinen polydodekaedri (aspD) |
{5/2, 5, 5/2}
|
120 {5/2,5} |
720 {5/2} |
720 {5/2} |
120 {5,5/2} |
66 | 0 | |
| Suuri suuri 120-soluinen suuri suuri polydodekaedri (rakoD) |
{5,5/2,3}
|
120 {5,5/2} |
720 {5} |
1200 {3} |
120 {5/2,3} |
76 | −480 | |
| Suuri ikosaedri , 120-soluinen suuri polyikosaedri (gpI) |
{3,5/2,5}
|
120 {3,5/2} |
1200 {3} |
720 {5} |
120 {5/2,5} |
76 | 480 | |
| Suuri kuusisataa solua suuri polytetraedri (apT) |
{3,3,5/2}
|
600 {3,3} |
1200 {3} |
720 {5/2} |
120 {3,5/2} |
191 | 0 | |
| Suuri tähtikuvioinen 120-soluinen suuri tähtikuvioinen polydodekaedri (gaspD) |
{5/2,3,3}
|
120 {5/2,3} |
720 {5/2} |
1200 {3} |
600 {3,3} |
191 | 0 |
Katso myös
- Säännöllinen moniulotteinen polyhedra
- Luettelo tavallisista polyhedraista ja yhdisteistä
- Ääretön säännöllinen 4-polyhedra:
- Tavallinen euklidinen hunajakenno : {4,3,4}
- Neljä kompaktia säännöllistä hyperbolista hunajakennoa : {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
- Yksitoista parakompaktia säännöllistä hyperbolista hunajakennoa : {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3 ,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} ja {6,3,6}.
- Abstrakti säännöllinen 4-polyhedra:
- Yksitoista solua {3,5,3}
- Viisikymmentäseitsemän solua {5,3,5}
- Näiden kuuden säännöllisen muodon pohjalta rakennettujen homogeenisten neliulotteisten monitahoisten perheitä .
- Platoniset kiinteät aineet
- Kepler-Poinsot-runko - säännöllinen tähtikuvioinen polyhedra
- Tähtipolygonit - säännölliset tähtipolygonit
Muistiinpanot
- ↑ Conway, 2008 .
- ↑ Johnson ehdotti myös termiä polychoron 4-ulotteisen polyhedran nimelle kolmiulotteisten monitahojen (polyhedron) ja kaksiulotteisten monikulmioiden (monikulmioiden) analogiksi kreikkalaisten sanojen πολύ ( "monet") ja χώρος johdannaiseksi. "tila", "huone")
- ↑ "Kuperat ja abstraktit polytoopit", Ohjelma ja abstraktit, MIT, 2005 . Käyttöpäivä: 23. helmikuuta 2016. Arkistoitu alkuperäisestä 29. marraskuuta 2014.
- ↑ Johnson (2015), luku 11, jakso 11.5 Pallomaiset kokseteriryhmät
- ↑ Coxeter, tähtipolytoopit ja Schläfli-funktio f{α,β,γ) p. 122 2. Schlafli-Hessin polytoopit
Kirjallisuus
- HSM Coxeter . Johdatus geometriaan. – 2. - John Wiley & Sons Inc., 1969. - ISBN 0-471-50458-0 .
- HSM Coxeter . Tavalliset polytoopit . - 3. (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
- DMY Sommerville. Johdatus n - mitan geometriaan. – New York.
- Dover Publications, 1958
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Luku 26, Tavalliset tähtipolytoopit // Asioiden symmetriat. - 2008. - S. 404-408. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
- Edmund Hess. Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder. – 1883.
- Edmund Hess. Uber die regulären Polytope höherer Art. - Marburg: Sitzungsber Gesells Beförderung gesammten Naturwiss, 1885. - P. 31-57.
- HSM Coxeter . Kaleidoskoopit: Valitut HSM Coxeterin kirjoitukset / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss. - Wiley-Interscience -julkaisu, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
- (Paper 10) HSM Coxeter, tähtipolytoopit ja Schlafli-funktio f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
- HSM Coxeter . Tavalliset monimutkaiset polytoopit. – 2. - Cambridge University Press, 1991. - ISBN 978-0-521-39490-1 .
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstraktit säännölliset polytoopit. - Cambridge University Press, 2004. - ISBN 0511058675 .
Linkit
- Weisstein, Eric W. Tavallinen polychoron (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
- Jonathan Bowers, 16 tavallista 4-polytooppia Arkistoitu 13. joulukuuta 2013 Wayback Machineen
- Tavalliset 4D-polytooppitaittot
- Polytooppikuvien katalogi arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa Kokoelma 4-polytoopin stereografisia projektioita.
- Yhtenäisten polytooppien luettelo arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
- Mitat arkistoitu 19. syyskuuta 2009 Wayback Machinessa 2 tunnin elokuva neljännestä ulottuvuudesta (sisältää stereografiset projektiot kaikista tavallisista 4-polytooppeista)
- George Olshevsky Hecatonicosachoron ] Hyperavaruuden sanastossa
- George Olshevsky Hexacosichoron ] Hyperavaruuden sanastossa
- George Olshevsky Stellation ] Hyperavaruuden sanastossa
- George Olshevsky Greatening ] Hyperavaruuden sanastossa
- George Olshevsky Aggrandizement ] Hyperspace-sanastossa
- Tavallinen polytooppi
- Tavallinen tähti Polychora
| Säännöllinen neliulotteinen polyhedra | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| kupera |
| ||||||||||||||||||||
| tähti |
| ||||||||||||||||||||