Tetraedrinen symmetria

Involuutiosymmetriat C s , (*) [ ] =	Syklinen symmetria C nv , (*nn) [n] =	Dihedraalinen symmetria D nh , (*n22) [n,2] =
Polytooppiryhmät , [n,3], (*n32)
Tetraedinen symmetria Td , (*332) [3,3] =	Oktaedrisymmetria O h , (*432) [4,3] =	Ikosaedrisymmetria I h , (*532) [5,3] =

Säännöllisellä tetraedrillä on 12 pyörimissymmetriaa (suunnan säilyttämistä) ja [ symmetriaa luokkaa 24, joihin liittyy heijastusten ja kiertojen yhdistelmä.

Kaikkien symmetrioiden ryhmä on isomorfinen ryhmän S 4 , neljän elementin symmetrisen permutaatioryhmän kanssa, koska jokaiselle tetraedrin kärkien permutaatiolle on olemassa täsmälleen yksi tällainen symmetria. Orientaatiota säilyttävien symmetrioiden joukko muodostaa ryhmän, joka on ryhmän S4 vaihtuva alaryhmä A4 .

Tiedot

Kiraalinen ja kokonaisvaltainen (tai akiraalinen tetraedrisymmetria ja pyritoedrisymmetria ) ovat diskreettejä pistesymmetrioita (tai vastaavasti symmetrioita pallolla ). Ne sisältyvät kuutioisen sigonyn kristallografisiin symmetriaryhmiin .

Stereografisessa projektiossa tetrakišeksaedrin reunat muodostavat 6 ympyrää (tai keskiviivaa) tasossa. Jokainen näistä ympyröistä edustaa peiliä tetraedrisessä symmetriassa. Näiden ympyröiden leikkauspiste antaa 2 ja 3 kertaluvun pyörimispisteet.

ortogonaalinen projektio	Stereografinen projektio
	4-kertainen	3x	2-kertainen
Kiraalinen tetraedrinen symmetria, T, (332), [3,3] + = [1 + ,4,3 + ],=
Pyritoedrinen symmetria, T h , (3*2), [4,3 + ],
Akiraalinen tetraedrisymmetria, T d , (*332), [3,3] = [1 + 4,3],=

Kiraalinen tetraedrisymmetria

T , 332 , [3,3] + tai 23 luokkaa 12 - kiraalinen tai rotaatiotetraedrinen symmetria . On kolme ortogonaalista 2-kertaista kiertoakselia, kuten kiraalinen dihedraalinen symmetria D 2 tai 222, ja neljä ylimääräistä 3-kertaista akselia. Tämä ryhmä on isomorfinen A4 :n kanssa , joka on neljän alkuaineen vuorotteleva ryhmä . Itse asiassa tämä onneljän kolminkertaisen akselin parillisten permutaatioiden ryhmä: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243) , (12) (34 ), (13) (24), (14) (23).

T: n konjugaatioluokat ovat:

• identiteetti
• 4 × 120° kierto myötäpäivään (ylhäältä katsottuna): (234), (143), (412), (321)
• 4 × 120° kierto vastapäivään (sama)
• 3 × 180° kierto

Kierrokset 180° yhdessä identiteettimuunnoksen kanssa muodostavat normaalin alaryhmän tyyppiä Dih 2 , jossa on tyyppiä Z3 oleva tekijäryhmä . Jälkimmäisen kolme elementtiä ovat identtinen muunnos, "kierto myötäpäivään" ja "kiertosuunta vastapäivään", jotka vastaavat kolmen ortogonaalisen 2-kertaisen akselin permutaatioita säilyttäen samalla suuntauksen.

A 4 on pienin ryhmä, joka osoittaa, että käänteinen Lagrangen lause ei yleensä pidä paikkaansa — annetaan äärellinen ryhmä G ja luvun jakaja d | G |, ryhmässä G ei välttämättä ole luokkaa d olevaa alaryhmää — ryhmällä G = A 4 ​​ei ole 6:n suuruista alaryhmää.

Kiraalisen tetraedrisen symmetrian alaryhmät

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ fi	G-M	Rakenne	Pyörät	Tilaa	Indeksi
T	[3,3] +	=	332	23	A4 _		12	yksi
D2_ _	[2,2] +	=	222	222	Dih 2		neljä	3
C3_ _	[3] +		33	3	Z3_ _		3	neljä
C2_ _	[2] +		22	2	Z2_ _		2	6
C1_ _	[ ] +		yksitoista	yksi	Z1_ _		yksi	12

Akiral tetraedraalinen symmetria

T d , *332 , [3,3] tai 4 3m luokkaa 24 on akiraalinen tai täydellinen tetraedrinen symmetria , joka tunnetaan myös kolmioryhmänä (2,3,3). Tällä ryhmällä on samat kiertoakselit kuin T:llä, mutta kuusi peilisymmetriatasoa kulkee kunkin kolminkertaisen akseliparin läpi. Kaksinkertaiset akselit ovat nyt S 4 ( 4 ) -akseleita. T d ja O ovat isomorfisia abstrakteina ryhminä - molemmat ryhmät vastaavat S4:ää , 4 elementin symmetristä ryhmää . T d on T:n ja joukon liitto, joka saadaan yhdistämällä jokainen O \ T:n alkio keskussymmetrian kanssa. Katso myös säännöllisen tetraedrin isometria .

T d : n konjugaatioluokat ovat:

• identiteetti
• 8 × 120° kierto
• 3 × 180° kierto
• 6 × heijastus kahden pyörimisakselin kautta kulkevan tason ympäri
• 6 × 90° peilin käännös

Akiraalisen tetraedrisen symmetrian alaryhmät

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ fi	G-M	Rakenne	Pyörät	Tilaa	Indeksi
T d	[3,3]		*332	43 m _	S4_ _		24	yksi
C 3v	[3]		*33	3 m	Dih 3 = S 3		6	neljä
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		neljä	6
Cs_ _	[ ]		*	2 tai m	Dih 1		2	12
D2d_ _	[2 + ,4]		2*2	42 m_	Dih 4		kahdeksan	3
S4_ _	[2 + ,4 + ]		2×	neljä	Z4_ _		neljä	6
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D2_ _	[2,2] +		222	222	Dih 2		neljä	6
C3_ _	[3] +		33	3	Z 3 = A 3		3	kahdeksan
C2_ _	[2] +		22	2	Z2_ _		2	12
C1_ _	[ ] +		yksitoista	yksi	Z1_ _		yksi	24

Pyritoedraalinen symmetria

T h , 3*2 , [ 4,3+ ] tai m 3 24- asteista pyriteedristä symmetriaa . Tällä ryhmällä on samat pyörimisakselit kuin T:llä ja peilitasot kahdessa ortogonaalisessa suunnassa. Kolminkertaiset akselit ovat nyt S 6 ( 3 ) -akseleita ja niissä on keskisymmetria. T h on isomorfinen T × Z 2 :n kanssa — jokainen T h :n elementti on joko T:n elementti tai elementti yhdistettynä keskussymmetriaan. Näiden kahden normaalin alaryhmän lisäksi on vielä yksi normaali alaryhmä D 2h ( suorakulmainen suuntaissärmiö ), tyyppiä Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2 . Se on suora tulo normaalista alaryhmästä T (katso edellä), jossa C i . Tekijäryhmä on sama kuin yllä - Z 3 . Jälkimmäisen kolme elementtiä ovat identiteettimuunnos, "kierrä myötäpäivään" ja "kierrä vastapäivään", mikä vastaa kolmen ortogonaalisen 2-kertaisen akselin permutaatioita, joiden suunta säilyy.

Tämä on kuution symmetria, jossa kukin pinta on jaettu segmentillä kahdeksi suorakulmioksi, eikä kahdella segmentillä ole kärkipisteitä kuution samassa reunassa. Symmetriat vastaavat kuution diagonaalien parillisia permutaatioita yhdessä keskusinversion kanssa. Pentagondodekaedrin symmetria on erittäin lähellä edellä kuvatun kuution symmetriaa. Pyritohedri voidaan saada kuutiosta, jossa on jaetut pinnat, korvaamalla suorakulmiot viisikulmioilla, joissa on yksi symmetria-akseli ja 4 yhtä suurta sivua, yksi sivu on eripituinen (se, joka vastaa janaa, joka jakaa kuution neliön sivun). Toisin sanoen kuution pinnat ulkonevat jakavaa segmenttiä pitkin ja itse segmentistä tulee pienempi. Jaetun pinnan kuution symmetria on koko ikosaedrisen symmetriaryhmän alaryhmä (isometriaryhmänä, ei vain abstraktina ryhmänä), jossa on neljä 10 kolminkertaista akselia.

Konjugasiteettiluokat T h sisältävät konjugasiteettiluokat T kahden neljästä luokasta yhdistelminä sekä jokaisen c-luokan, jolla on keskussymmetria:

• identiteetti
• 8 × 120° kierto
• 3 × 180° kierto
• keskussymmetria
• 8 × 60° peilin käännös
• 3 × peiliheijastus (suhteessa tasoon)

Pyriteedrisen symmetrian alaryhmät

Shen fleece	Coxeter		Orbifold [ fi	G-M	Rakenne	Pyörät	Tilaa	Indeksi
T h	[3 + ,4]		3*2	m 3	A 4 × 2		24	yksi
P2h _	[2,2]		*222	hmm	Dih 2 × Dih 1		kahdeksan	3
C 2v	[2]		*22	mm2	Dih 2		neljä	6
Cs_ _	[ ]		*	2 tai m	Dih 1		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	Z2 × Dih1 _		neljä	6
S2_ _	[2 + ,2 + ]		×	yksi	2 tai Z 2		2	12
T	[3,3] +		332	23	A4 _		12	2
D3_ _	[2,3] +		322	3	Dih 3		6	neljä
D2_ _	[2,2] +		222	222	Dih 4		neljä	6
C3_ _	[3] +		33	3	Z3_ _		3	kahdeksan
C2_ _	[2] +		22	2	Z2_ _		2	12
C1_ _	[ ] +		yksitoista	yksi	Z1_ _		yksi	24

Kappaleet, joilla on kiraalinen tetraedrisymmetria

Ikosaedrilla, joka on värillinen tetraedrinä , on kiraalinen symmetria.

Kiinteät aineet täydellä tetraedrisellä symmetrialla

Katso myös

• Oktaedrisymmetria
• Ikosaedrinen symmetria
• Tetraedrin binäärinen ryhmä

Muistiinpanot

Kirjallisuus

• P. Cromwell. Polyhedra. - Yhdistynyt kuningaskunta: Cambridge University Press, 1997. - S. 295. - ISBN 0-521-55432-2 .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Asioiden symmetria. - New York: A.K. Peters/CRC Press, 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
• HSM Coxeter . Kaleidoskoopit: Valitut HSM Coxeterin kirjoitukset / F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss,. - Wiley-Interscience -julkaisu, 1995. - ISBN 978-0-471-01003-6 .
• Norman Johnson. Luku 11: Äärilliset symmetriaryhmät // Geometriat ja muunnokset. – 2015.

Linkit

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral group  (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .