Eulerin identiteetti (monimutkainen analyysi)

Euler-identiteetti on erikoistapaus Euler - kaavasta , joka on hyvin tunnettu identiteetti , joka yhdistää viisi matemaattista perusvakiota : $x=\pi$

e^{i\pi }+1=0,

missä

e

- luku e tai luonnollisen logaritmin kanta ,

i

on kuvitteellinen yksikkö ,

\pi

- pi , ympyrän kehän suhde sen halkaisijan pituuteen ,

yksi

— yksikkö , neutraali elementti kertolaskuoperaation avulla ,

0

— nolla , neutraali elementti summausoperaatiolla .

Eulerin identiteetti on nimetty sveitsiläisen , saksalaisen ja venäläisen matemaatikon Leonhard Eulerin mukaan . Identiteettiä pidetään matemaattisen kauneuden esikuvana , koska se osoittaa syvän yhteyden matematiikan peruslukujen välillä.

Johtopäätös

Eulerin identiteetti on monimutkaisen analyysin Eulerin kaavan erikoistapaus :

e^{ix}=\cos x+i\sin x

mihinkään todelliseen . (Huomaa, että trigonometristen funktioiden ja argumentit otetaan radiaaneina ). Erityisesti $x$ $\synti$ $\cos$

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .

Ja mistä

\cos \pi =-1

\sin \pi =0,

pitäisi

e^{i\pi }=-1

joka antaa identiteetin:

e^{i\pi }+1=0.

Yleistykset

Eulerin identiteetti on myös yleisemmän identiteetin erikoistapaus: asteen ykkösjuurien summa at on yhtä suuri : $n$ $n>1$ $0$

\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi i{\frac {k}{n))}=0.

Eulerin identiteetti on tilanne, kun . $n = 2$

Toisella matematiikan alueella kvaternionin eksponentiota käyttämällä voidaan osoittaa, että samanlainen identiteetti pätee myös kvaternioneihin. Olkoon { i , j , k } peruselementtejä; sitten

e^{{\frac {1}{\sqrt {3}}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.

Yleensä jos reaaliarvot a 1 , a 2 ja a 3 annetaan siten, että a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 = 1 , niin

e^{\left(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k\right)\pi }+1=0.

Oktonioiden kohdalla reaaliarvolla a n siten, että a 1 2 + a 2 2 + ... + a 7 2 = 1 , ja oktonioiden peruselementeillä { i 1 , i 2 , ..., i 7 },

e^{\left(a_{1}i_{1}+a_{2}i_{2}+\pisteet +a_{7}i_{7}\right)\pi }+1=0.

Matemaattinen kauneus

Eulerin identiteetti, joka yhdistää kolme matemaattista perusoperaatiota ( yhteenlasku , kertolasku ja eksponentio ) ja viisi matemaattista perusvakiota , jotka kuuluvat matematiikan neljään klassiseen alueeseen ( luvut ja kuuluvat aritmetiikkaan , imaginaariyksikkö algebraan , luvun geometriaan ja numero e - matemaattiseen analyysiin [1] ), teki syvän vaikutuksen tieteelliseen maailmaan, se tulkittiin mystisesti matematiikan yhtenäisyyden symboliksi ja sitä mainitaan usein esimerkkinä syvästä matemaattisesta kauneudesta . $0$ $yksi$ $i$ $\pi$

Eulerin henkilöllisyys aiheutti paljon ylistäviä arvosteluja.

Carl Friedrich Gauss sanoi, että jos tämä kaava ei ole heti ilmeinen opiskelijalle, hänestä ei koskaan tule ensiluokkaista matemaatikkoa [2] .
Harvardin yliopiston matematiikan, luonnonfilosofian ja tähtitieteen professori Benjamin Pierce todisti Euler-identiteetin luennolla, että "tämä on luultavasti totta, mutta se on täysin paradoksaalista; emme voi ymmärtää sitä, emmekä tiedä mitä se tarkoittaa, mutta olemme todistaneet sen, ja siksi tiedämme, että sen täytyy olla totta” [3] .
Fyysikko Richard Feynman kutsui (1977) Eulerin identiteettiä "aarteemme" ja "matematiikan merkittävimmäksi kaavaksi" [4] .
Stanfordin yliopiston matematiikan professori Keith Devlinesseellään "Kaunein yhtälö" (2002) sanoi: "Kuten Shakespearen sonetti vangitsee rakkauden olemuksen tai maalaus paljastaa ihmismuodon kauneuden, paljon syvemmälle kuin pelkkä iho, Eulerin yhtälö tunkeutuu rakkauden syvyyksiin. olemassaolo" [5] .
New Hampshiren yliopiston emeritusprofessori Paul Nahinkuvailee kirjassaan Eulerin kaavasta ja sen soveltamisesta Fourier-analyysissä Eulerin identiteettiä "puhdistetuksi kauneudeksi" [5] .
Matematiikan popularisoijan Constance Readin mukaan tämä identiteetti on "kaiken matematiikan tunnetuin kaava" [6] .

The Mathematical Intelligencerin vuonna 1990 tekemä lukijakysely kutsui Eulerin identiteettiä "matematiikan kauneimmaksi lauseeksi" [7] . Toisessa PhysicsWorld -lehden vuonna 2004 tekemässä lukijakyselyssä Eulerin identiteettiä (yhdessä Maxwellin yhtälöiden kanssa ) kutsuttiin "historian suurimmaksi yhtälöksi" [8] .

Kuudentoista matemaatikon aivojen tutkimus osoitti, että "emotionaaliset aivot" (erityisesti mediaalinen orbitofrontaalinen aivokuori , joka reagoi kauniiseen musiikkiin, runouteen, maalauksiin jne.) aktivoituivat johdonmukaisemmin Euler-identiteetin tapauksessa kuin suhteessa mihin tahansa muuhun kaavaan [9] .

Historia

Eulerin kaava , josta Eulerin identiteetti seuraa välittömästi, lainattiin ensimmäisen kerran englantilaisen matemaatikon Roger Cotesin ( Newtonin assistentin) artikkelissa "Logometria" ( lat. Logometria ), joka julkaistiin Philosophical Transactions of the Royal Society -julkaisussa vuonna 1714 [10] ( kun Euler oli 7-vuotias), ja se julkaistiin kirjassa "Harmony of Measures" ( lat. Harmonia mensurarum ) vuonna 1722 [11] .

Euler julkaisi Eulerin kaavan sen tavanomaisessa muodossaan artikkelissa 1740 ja kirjassa "Introduction to the analysis of infinitesimaalis" ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [12] .

Eulerin vuosien 1740 ja 1748 papereissa ei kuitenkaan esiinny Eulerin identiteettiä (nykyisessä klassisessa muodossaan), vaikka on mahdollista, ettei hän koskaan johtanut sitä. On mahdollista, että Euler olisi voinut saada tietoa Eulerin kaavasta sveitsiläisen maanmiehensä Johann Bernoullin kautta [13] .

Robin Wilsonin mukaan[14] :

Olemme nähneet, kuinka se [Eulerin identiteetti] voidaan helposti päätellä Johann Bernoullin ja Roger Kotesin tuloksista, mutta kukaan heistä ei näytä tehneen niin. Eulerkaan ei näytä kirjoittaneen tätä nimenomaisesti – eikä tietenkään näy missään hänen julkaisuissaan – vaikka hän epäilemättä tajusi, että se seuraa välittömästi hänen henkilöllisyydestään [tässä tapauksessa Eulerin kaava ], e ix \u003d cos x + i sin x . Lisäksi näyttää siltä, ettei tiedetä, kuka oli ensimmäinen, joka muotoili tuloksen selvästi...

Kulttuurissa

Takashi Koizumin elokuva " Professor's Favourite Equation " on omistettu Eulerin identiteetille .

Muistiinpanot

↑ Danzig, Tobias. Numerot ovat tieteen kieli . - M . : Technosfera, 2008. - S. 111 . - ISBN 978-5-94836-172-7 .
↑ Derbyshire, John . Yksinkertainen pakkomielle. Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. Astrel, 2010. 464 s. ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Kasner, E. ja Newman, J. (1940), Mathematics and the Imagination, Simon & Schuster , Maor, Eli (1998), e: The Story of a number, Princeton University Press ISBN 0-691-05854-7 .
↑ Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics (venäjäksi) . - Addison-Wesley , 1977. - T. I. - S. 22-10. — ISBN 0-201-02010-6 .
↑ 1 2 Nahin, Paul J. (2006), Dr. Eulerin upea kaava: parantaa monia matemaattisia vaivoja, Princeton University Press ISBN 978-0-691-11822-2 .
↑ Reid, Constance (eri painoksia), From Zero to Infinity, Mathematical Association of America
↑ Wells, David (1990), "Ovatko nämä kauneimpia?", The Mathematical Intelligencer, 12: 37–41, doi: 10.1007/BF03024015
↑ Crease, Robert P. (10. toukokuuta 2004), "Kaikkien aikojen suurimmat yhtälöt", Physics World
↑ Zeki, S .; Romaya, JP ; Benincasa, DMT ; Atiyah, MF (2014), "Matematiikan kauneuden kokemus ja sen hermokorrelaatiot", Frontiers in Human Neuroscience, 8, doi: 10.3389/fnhum.2014.00068, PMC 3923150
↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : aikakauslehti. - 1714-1716. — Voi. 29 . - s. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arkistoitu alkuperäisestä 6. heinäkuuta 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - s. 28. Arkistokopio 7.6.2020 Wayback Machinessa
↑ Euler L. Kap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.
↑ Sandifer, C. Edward. Eulerin suurimmat hitit. - Mathematical Association of America, 2007. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Wilson, Robin. Eulerin uraauurtava yhtälö: matematiikan kaunein lause (englanniksi) . – Oxford University Press, 2018.