Unimodulaarinen ristikko

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.6.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Unimodulaarinen hila on kokonainen hila , jossa on determinantti . Jälkimmäinen vastaa sitä tosiasiaa, että hilan perusalueen tilavuus on . $\pm 1$ $yksi$

Määritelmät

Hila on rajallinen vapaa Abelin ryhmä , jolla on symmetrinen bilineaarinen muoto . ${\mathbb Z}^{n}$ $n$ ${\näyttötyyli ({*},{*})}$
Hila voidaan katsoa myös todellisen vektoriavaruuden aliryhmänä, jolla on symmetrinen bilineaarinen muoto . $\mathbb {R} ^{n}$
Lukua kutsutaan hilan dimensioksi , se on vastaavan reaalivektoriavaruuden mitta ; se on sama kuin -moduulin arvo tai vapaan ryhmän generaattorien lukumäärä . $n$ $\mathbb {Z}$ ${\mathbb Z}^{n}$ ${\mathbb Z}^{n}$
Hilaa kutsutaan kokonaisluvuksi , jos muoto saa vain kokonaislukuarvoja. ${\näyttötyyli ({*},{*})}$
Hilaelementin normi on määritelty . $a$ ${\näyttötyyli (a,a)}$
Hilan sanotaan olevan positiivinen määrätty tai Lorentzian ja niin edelleen, jos sen vektoriavaruus on sellainen. Erityisesti:
- Hila on positiivinen määrätty , jos kaikkien nollasta poikkeavien alkioiden normi on positiivinen.
- Hilan allekirjoitus määritellään vektoriavaruudessa olevan muodon allekirjoitukseksi .
Hilan determinantti on sen perustan Gram-matriisin determinantti .
Hilaa kutsutaan unimodulaariksi , jos sen determinantti on . $\pm 1$
Unimodulaarista hilaa kutsutaan , vaikka kaikki sen elementtien normit olisivat parillisia.

Esimerkkejä

$\mathbb {Z} \subset \mathbb {R}$ , sekä unimodulaariset hilat. $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$
Lattice E8 , Leach hila ovat jopa unimodulaarisia hiloja.

Ominaisuudet

Tietylle hilalle vektoreissa siten, että mille tahansa ne muodostavat myös hilan, jota kutsutaan kaksoishilaksi . $\Lambda \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$ $(x,a)\in \mathbb {Z}$ $a\in \Lambda$ $\lambda$
- Kokonainen hila on unimodulaarinen silloin ja vain, jos sen kaksoishila on integraali.
- Unimodulaarinen hila on identtinen sen duaalin kanssa. Tästä syystä unimodulaarisia hiloja kutsutaan myös itseduaaleiksi .
Kaikille allekirjoituksille on olemassa parittomat unimodulaariset hilat.
Parillinen unimodulaarinen hila allekirjoituksella on olemassa silloin ja vain, jos se on jaollinen 8:lla. $(m,n)$ $mn$
- Erityisesti jopa positiivisesti määrätyt unimodulaariset hilat ovat olemassa vain 8:lla jaettavissa mitoissa.
Unimodulaaristen positiivisten määrättyjen hilan theta-funktio on modulaarinen muoto .

Sovellukset

Toinen suljettujen yksinkertaisesti kytkettyjen orientoitujen topologisten neliulotteisten monimuotoisten ryhmittymien kohemologiaryhmä on unimodulaarinen hila. Mikhail Fridman osoitti, että tämä hila käytännössä määrittelee moniston: jokaista parillista unimodulaarista hilaa varten on yksi jako ja tasan kaksi jokaista paritonta unimodulaarista hilaa.
- Erityisesti nollamuodolle tämä merkitsee Poincarén oletusta 4-ulotteisille topologisille monille.
- Donaldsonin lause sanoo, että jos monisto on sileä ja sen hila on positiivinen määrätty, sen on oltava kopiosumma . $\mathbb {Z}$
  - Erityisesti suurimmalla osalla näistä jakotuista ei ole sileää rakennetta.

Kirjallisuus

Bacher, Roland & Venkov, Boris (2001), Réseaux entiers unimodulaires sans racine en dimension 27 ja 28 , julkaisussa Martinet, Jacques, Réseaux euclidiens, designs sphériques et formes modulaires , voi. 37, Mongr. Enseign. Math., Geneve: L'Enseignement Mathematique, s. 212–267, ISBN 2-940264-02-3 Arkistoitu 28. syyskuuta 2007 Wayback Machinessa
Conway, JH & Sloane, NJA (1999), Pallopakkaukset, ristikot ja ryhmät , voi. 290 (kolmas painos), Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 0-387-98585-9
King, Oliver D. (2003), Massakaava unimodulaarisille hiloille ilman juuria , Mathematics of Computation osa 72 (242): 839–863 , DOI 10.1090/S0025-5718-02-01455-2
Milnor , John & Husemoller, Dale (1973), Symmetric Blinear Forms , voi. 73, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , New York-Heidelberg: Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-X , DOI 10.1007/978-3-642-88330-9
Serre, Jean-Pierre (1973), A Course in Arithmetic , voi. 7, Graduate Texts in Mathematics , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90040-3 , DOI 10.1007/978-1-4684-9884-4

Ulkoiset linkit

Neil Sloanin Unimodular Lattices -luettelo .
Sloanen A005134: n-ulotteisten unimodulaaristen hilan lukumäärä , The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation.