Hyötyfunktiot jakamattomissa tavaroissa

Jotkut taloustieteen ja peliteorian alat käsittelevät jakamattomia tavaroita , erillisiä esineitä, jotka voidaan siirtää vain kokonaisuutena. Esimerkiksi kombinatorisissa huutokaupoissa on rajallinen joukko objekteja ja jokainen agentti voi ostaa osajoukon objekteja, mutta objektia ei voi jakaa kahden (tai useamman) agentin kesken.

Yleensä oletetaan, että mikä tahansa agentti määrittää subjektiivisen hyödyn jokaiselle objektien osajoukolle. Tämä voidaan esittää kahdella tavalla

Järjestyshyötysuhde , joka yleensä merkitään . Se, että agentti suosii joukkoa joukon sijaan, kirjoitetaan muodossa . Jos agentti pitää parempana vain heikosti (eli joko suosii tai ei näe eroa ja välillä ), tämä kirjoitetaan muodossa . $\succ$ $A$ $B$ $A\succ B$ $A$ $A$ $A$ $B$ $A\succeq B$
Kvantitatiivinen hyödyllisyysfunktio on merkitty . Agentin apuohjelma, jonka hän saa joukosta , kirjoitetaan muodossa . Kvantitatiivinen hyödyllisyysfunktio on usein normalisoitu niin, että missä on tyhjä joukko . $u$ $A$ $u(A)$ $u(\emptyset )=0$ $\emptyset$

Kvantitatiivisen hyödyn funktiosta seuraa preferenssisuhde : seuraavista ja seuraajista . Apufunktioilla voi olla joitain ominaisuuksia [1] . $u(A)>u(B)$ $A\succ B$ $u(A)\geqslant u(B)$ $A\succeq B$

Yksitoikkoisuus

Monotonisuus tarkoittaa, että agentti haluaa aina (heikosti) ylimääräisiä esineitä. Muodollisesti:

Preferenssisuhteet: seuraa kohdasta . $A\supseteq B$ $A\succeq B$
Hyötyfunktiolle: seuraa (eli u on monotoninen funktio ). $A\supseteq B$ $u(A)\geqslant u(B)$

Monotonisuus vastaa vapaan hylkäämisen oletusta - jos agentti voi aina hylätä ei-toivotun kohteen, ylimääräiset esineet eivät koskaan vähennä hyödyllisyyttä .

Additiivisuus

Lisättävä apuohjelma

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Omena	5
hattu	7
omena ja hattu	12

Additiivisuus (kutsutaan myös lineaarisuudesta tai modulaarisuudesta ) tarkoittaa, että "kokonaisuus on yhtä suuri kuin osiensa summa". Eli objektijoukon hyödyllisyys on yhtä suuri kuin kunkin objektin apuohjelmien summa erikseen. Tämä ominaisuus koskee vain kvantitatiivisia hyödyllisyysfunktioita. Tämä tarkoittaa, että mille tahansa objektijoukolle $A$

u(A)=\sum _{x\in A}u({x})

sillä oletuksella, että . Toisin sanoen, on additiivinen funktio . Vastaava määritelmä: kaikille objektijoukoille ja , $u(\emptyset )=0$ $u$ $A$ $B$

u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).

Lisättävä hyödyllisyysfunktio on riippumattomien tavaroiden ominaisuus . Esimerkiksi omena ja hattu katsotaan itsenäisiksi: omenasta saatava hyöty ihmiselle on sama riippumatta siitä, onko hänellä hattu vai ei, ja päinvastoin. Tyypillinen aputoiminto tälle tapaukselle on annettu oikealla.

Submodulaarisuus ja supermodulaarisuus

Submodulaarinen apuohjelma

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Omena	5
leipää	7
omena ja leipä	9

Submodulaarisuus tarkoittaa, että "kokonaisuus ei ole muuta kuin osiensa summa (mutta voi olla pienempikin)." Muodollisesti kaikille sarjoille ja , $A$ $B$

u(A)+u(B)\geqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Toisin sanoen on submodulaarinen joukkofunktio . $u$

Vastaava ominaisuus on pienenevä marginaalihyöty , mikä tarkoittaa, että kaikille joukoille ja kanssa , ja mille tahansa : [2] $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\ei B$

u(A\cup \{x\})-u(A)\geqslant u(B\cup \{x\})-u(B)

Submodulaarinen hyödyllisyysfunktio on vaihdettavien tavaroiden ominaisuus . Esimerkiksi omena ja leipäviipale voidaan pitää keskenään vaihdettavina - hyöty, jonka ihminen saa omenan syömisestä, on pienempi, jos hän on jo syönyt leipää (ja päinvastoin), koska hän on tässä tapauksessa vähemmän nälkäinen. Tyypillinen aputoiminto tälle tapaukselle on esitetty oikealla.

supermodulaarinen apuohjelma

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Omena	5
veitsi	7
omena ja veitsi	viisitoista

Supermodulaarisuus on alimodulaarisuuden vastakohta, mikä tarkoittaa, että "kokonaisuus ei ole pienempi kuin osiensa summa (mutta voi olla enemmän)". Muodollisesti kaikille sarjoille ja , $A$ $B$

u(A)+u(B)\leqslant u(A\cup B)+u(A\cap B)

Toisin sanoen, on supermodulaarinen asetustoiminto . $u$

Vastaava ominaisuus on kasvava marginaalihyötysuhde , mikä tarkoittaa, että kaikille joukoille ja kanssa ja millä tahansa : $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\ei B$

u(B\cup \{x\})-u(B)\geqslant u(A\cup \{x\})-u(A)

Supermodulaarinen hyödyllisyysfunktio on ominaisuus täydentäville tuotteille . Esimerkiksi omenaa ja veistä voidaan pitää toisiaan täydentävinä - tyytyväisyys, jonka ihminen saa omenasta, on suurempi, jos hän saa lisäksi veitsen, koska omena on helpompi syödä leikkaamalla siitä paloja. Oikealla on tässä tapauksessa mahdollinen aputoiminto.

Hyötyfunktio on additiivinen , jos ja vain jos se on sekä submodulaarinen että supermodulaarinen.

Subadditiivisuus ja superadditiivisuus

Subadditiivinen, mutta ei submodulaarinen

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X, Y tai Z	2
X,Y tai Y,Z tai Z,X	3
X,Y,Z	5

Subadditiivisuus tarkoittaa sitä mille tahansa disjunktijoukkojen parille $A, B$

u(A\cup B)\leqslant u(A)+u(B)

Toisin sanoen, on subditiivinen joukkofunktio . $u$

Oletuksena, joka ei ole negatiivinen, mikä tahansa alimodulaarinen funktio on subditiivinen. On kuitenkin olemassa ei-negatiivisia subditiivisia toimintoja, jotka eivät ole osamodulaarisia. Oletetaan esimerkiksi, että on 3 identtistä objektia ja , ja apuohjelma riippuu vain niiden lukumäärästä. Oikealla olevassa taulukossa kuvataan apufunktio , joka on subditiivinen, mutta ei alimodulaarinen, koska $u(\emptyset )$ $X,Y$ $Z$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Superadditiivinen, mutta ei supermodulaarinen

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X tai Y tai Z	yksi
X,Y tai Y,Z tai Z,X	3
X,Y,Z	neljä

Superadditiivisuus tarkoittaa sitä mille tahansa parille hajaantuneesta joukosta $A, B$

u(A\cup B)\geqslant u(A)+u(B)

Toisin sanoen on superadditiivinen set-funktio . $u$

Olettaen, että tämä ei ole positiivinen, mikä tahansa supermodulaarinen funktio on superadditiivinen. On kuitenkin olemassa ei-negatiivisia superadditiivisia toimintoja, jotka eivät ole supermodulaarisia. Oletetaan esimerkiksi, että on 3 identtistä objektia ja Z, ja apuohjelma riippuu vain niiden lukumäärästä. Oikealla oleva taulukko kuvaa apufunktiota, joka on ei-negatiivinen ja superadditiivinen, mutta ei supermodulaarinen, koska $u(\emptyset )$ $X,Y$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X ,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Hyötyfunktio c on additiivinen silloin ja vain, jos se on sekä superadditiivinen että aliadditiivinen. $u(\emptyset )=0$

Tyypillisen oletuksen mukaan mikä tahansa alimodulaarinen funktio on subditiivinen ja mikä tahansa supermodulaarinen funktio on superadditiivinen. Ilman tällaista rajoitusta tyhjälle joukolle nämä suhteet eivät pidä paikkaansa. $u(\emptyset )=0$

Erityisesti, jos alimodulaarinen funktio ei ole subditiivinen, sen on oltava negatiivinen. Oletetaan esimerkiksi, että on kaksi objektia , , ja . Tämä aputoiminto on submodulaarinen ja supermodulaarinen ja ei-negatiivinen tyhjää joukkoa lukuun ottamatta, mutta ei subditiivinen, koska $u(\emptyset )$ $X,Y$ $u(\emptyset )=-1$ $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ $u(\{X,Y\})=3$

u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).

Lisäksi, jos supermodulaarinen funktio ei ole superadditiivinen, sen on oltava positiivinen. Kuvitellaan sen sijaan sitä . Tämä aputoiminto on ei-negatiivinen, supermodulaarinen ja alimodulaarinen, mutta ei superadditiivinen, koska $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$

u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).

Yksittäinen pyyntö

yksikön apuohjelma

$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
Omena	5
päärynä	7
omena ja päärynä	7

Yksikköpyyntö (EZ, eng. Unit demand , UD) tarkoittaa, että agentti haluaa vain yhden objektin. Jos agentti vastaanottaa kaksi tai useampia esineitä, hän käyttää niistä yhtä, mikä antaa enemmän hyötyä, ja toinen kohde hylätään. Muodollisesti:

Preferenssisuhteelle: jokaiselle joukolle on osajoukko , jonka koko on , niin että . $B$ $A\subseteq B$ $|A|=1$ $A\succeq B$
Hyötytoiminnolle: mille tahansa sarjalle : [3] $A$

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

Yksikköpyyntötoiminto on submodulaarisen toiminnon ääriversio. Toimivuus on hyvän ominaisuus, joka on täysin vaihdettavissa. Jos on esimerkiksi omena ja päärynä ja agentti haluaa syödä yhden hedelmän, tämä aputoiminto on yksi pyyntö, kuten oikealla olevasta taulukosta näkyy.

Täysi korvaus

Bruttokorvikkeet ( GS ) tarkoittaa, että agentit pitävät esineitä vaihdettavina tavaroina tai itsenäisinä tavaroina , mutta eivät täydentäviä tavaroita . Tälle ominaisuudelle on monia muodollisia määritelmiä, jotka kaikki ovat vastaavia.

Mikä tahansa E3-estimaatti on PP, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa.
Mikä tahansa PP-estimaattori on osamodulaarinen, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa.

Katso artikkeli Täysi korvaaminen saadaksesi yksityiskohtaisen keskustelun.

Siksi luokkien välillä on seuraavat suhteet:

EZ PP Submodulaarinen subditiivi

\subsetneq

\subsetneq

\subsetneq

Katso oikealla oleva kuva.

Aputoimintojen yhdistäminen

Aputoiminto kuvaa yksilöllisiä mieltymyksiä. Usein tarvitsemme toiminnon, joka kuvaa koko yhteisön tyytyväisyyttä. Tällaista funktiota kutsutaan julkiseksi hyvinvointifunktioksi , ja se on yleensä kahden tai useamman hyödyllisyysfunktion yhdistelmäfunktio Jos yksittäiset apufunktiot ovat additiivisia , seuraava pätee koostefunktioille:

aggregaattitoiminto _	Omaisuus	Esimerkki funktioarvoista kohdista {a}, {b} ja {a,b }
aggregaattitoiminto _	Omaisuus	f	g	h	aggregaatti(f,g,h)
Summa	Lisäaine	1,3; neljä	3,1; neljä		4,4; kahdeksan
Keskiverto	Lisäaine	1,3; neljä	3,1; neljä		2,2; neljä
Minimi	superlisäaine	1,3; neljä	3,1; neljä		1,1; neljä
Enimmäismäärä	Subditiivi	1,3; neljä	3,1; neljä		3,3; neljä
Mediaani	ei mikään ominaisuuksista	1,3; neljä	3,1; neljä	1,1; 2	1,1; neljä
Mediaani	ei mikään ominaisuuksista	1,3; neljä	3,1; neljä	3,3; 6	3,3; neljä

Katso myös

Jaettavat hyvät hyötyfunktiot

Muistiinpanot

↑ Gul, Stacchetti, 1999 , s. 95–124.
↑ Moulin, 1991 .
↑ Koopmans, Beckmann, 1957 , s. 53–76.

Kirjallisuus

Gul F., Stacchetti E. Walrasian Equilibrium with Gross Substitutes // Journal of Economic Theory. - 1999. - T. 87 . - doi : 10.1006/jeth.1999.2531 .
Herve Moulin. Yhteistoiminnallisen päätöksenteon aksioomat. - Cambridge England New York: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 9780521424585 .
Koopmans TC, Beckmann M. Toimeksiantoongelmat ja taloudellisen toiminnan sijainti // Econometrica. - 1957. - T. 25 , no. 1 . - doi : 10.2307/1907742 . — .