Möbius-toiminto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 20.5.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 8 muokkausta .

Möbius-funktio on lukuteoriassa ja kombinatoriikassa käytetty kertova aritmeettinen funktio , joka on nimetty saksalaisen matemaatikon Möbiuksen mukaan, joka harkitsi sitä ensimmäisen kerran vuonna 1831 . $\mu(n)$

Määritelmä

$\mu(n)$ on määritelty kaikille luonnollisille luvuille ja ottaa arvot riippuen luvun alkutekijöiksi hajoamisen luonteesta : $n$ ${-1,\;0,\;1}$ $n$

$\mu(n)=1$ , jos se on vapaa neliöistä (eli mikään alkuluku ei ole jaollinen neliöllä) ja alkutekijöiksi jakautuminen koostuu parillisesta määrästä tekijöitä; $n$ $n$
$\mu(n) = -1$ , jos se on vapaa neliöistä ja alkutekijöiksi jakautuminen koostuu parittomasta määrästä tekijöitä; $n$ $n$
$\mu(n)=0$ , jos ei ole vapaa neliöistä. $n$

Myös määritelmän mukaan . $\mu(1)=1$

Ivan Matveevich Vinogradov kirjassa "Korkeamman matematiikan elementit" sisältää seuraavan Möbius-funktion määritelmän:

Möbius-funktio on kertova funktio, joka määritellään yhtälöillä: $\mu \,(p)=-1,\;\mu \,(p^{\alpha })=0,\;{\text{if}}\;\alpha >1.$

Näistä kahdesta yhtälöstä ja itse funktion moninkertaisuudesta johdetaan sen arvot kaikille luonnollisille argumenteille.

Ominaisuudet ja sovellukset

Möbius-funktio on kertova: kaikille koprime-luvuille ja yhtälö pätee . $a$ $b$ $\mu (ab)=\mu (a)\mu (b)$

Möbius-funktion arvojen summa kokonaisluvun, joka ei ole yhtä suuri kuin yksi, jakajien summa on nolla $n$

\sum _{{d|n}}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1,\\0,&n>1.\end{cases}}

Tämä johtuu erityisesti siitä tosiasiasta, että minkä tahansa ei-tyhjän äärellisen joukon kohdalla parittomasta määrästä elementtejä koostuvien eri osajoukkojen lukumäärä on yhtä suuri kuin parillisesta määrästä elementtejä koostuvien eri osajoukkojen lukumäärä, mikä on tosiasia, että käytetään myös Möbiuksen inversiokaavan todistuksessa .

$\sum \limits _{{k=1}}^{n}\mu (k)\left[{\frac {n}{k}}\right]=1.$

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (kn)}{k}}=0,$ missä n on positiivinen kokonaisluku .

$\sum \limits _{{k=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (k)\ln k}{k}}=-1.$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln(2k+1)}{2k+1}}=-2.$

$\sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)\ln ^{2}k}{k))=-2\gamma ,$ missä on Eulerin vakio . $\gamma$

$\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {\mu (2k+1)\ln ^{2}(2k+1)}{2k+1))=-4 (\gamma +ln2).$

Möbius - funktio liittyy läheisesti Riemannin zeta - funktioon . Siten Riemannin zeta-funktiolle multiplikatiivisesti käänteisen funktion Dirichlet-sarjan kertoimet ilmaistaan Möbius-funktiolla:

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (n)}{n^{{s))))={\frac {1}{\zeta ( s)}}

Sarja konvergoi absoluuttisesti kohdassa , suppenee ehdollisesti viivalla , alueella väite sarjan ehdollista konvergenssia vastaa Riemannnin hypoteesia ja kohdassa , sarja ei todellakaan konvergoidu edes ehdollisesti. ${{\rm {Re}}}\,s>1$ ${{\rm {Re}}}\,s=1$ $1/2<{{\rm {Re}}}\,s<1$ ${{\rm {Re}}}\,s<1/2$

Kun kaava on myös voimassa: ${{\rm {Re}}}\,s>1$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {|\mu (n)|}{n^{{s))))={\frac {\zeta (s) )}{\zeta (2s)))

$\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {\mu (pn)}{n^{{s))))={\frac {p^{{s} }}{(1-p^{{s}})\zeta (s)}},$ missä p on alkuluku.

Möbius - funktio liittyy Mertensin funktioon , joka liittyy myös läheisesti Riemannin zeta - funktion nollien ongelmaan .

M(n)=\summa _{{k=1}}^{n}\mu (k).

Asymptoottiset suhteet ovat voimassa:

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}\mu (n)=o(1)

klo

x\rightarrow \infty

{\frac {1}{x}}\sum \limits _{{n\leq x}}|\mu (n)|={\frac {1}{\zeta (2)))+O({\ frac {1}{{\sqrt x}}}})

josta seuraa, että Möbius-funktion arvoilla on asymptoottinen jakautumistiheys . Sen nollien joukon lineaarinen tiheys on , ja ykkösten (tai miinus ykkösten) joukon tiheys on . Todennäköisyyspohjaiset lähestymistavat Möbius-funktion tutkimukseen perustuvat tähän tosiasiaan. $1-1/\zeta(2)=0,3920729$ $1/2\zeta(2)=0,30396355$

Möbius inversio

Ensimmäinen Möbiuksen inversiokaava

Aritmeettisille funktioille ja , $f$ $g$

g(n)=\sum _{{d\,\mid \,n}}f(d)

jos ja vain jos

f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d))\right)

Toinen Möbiuksen inversiokaava

Reaaliarvoisille funktioille , jotka on määritetty arvolle , $f(x)$ $g(x)$ $x\geqslant 1$

g(x)=\sum _{{n\leqslant x}}f\left({\frac {x}{n}}\right)

jos ja vain jos

f(x)=\sum _{{n\leqslant x}}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\oikea)

Tässä summa tulkitaan . $\sum _{{n\leqslant x}}$ $\sum _{{n=1}}^{{\lfloor x\rfloor }}$

Yleistetty Möbius-funktio

Huolimatta Möbius-funktion määritelmän ilmeisestä epäluonnollisuudesta, sen luonne voi tulla selväksi, kun tarkastellaan funktioiden luokkaa, jolla on samanlaiset palautuvuusominaisuudet, jotka on otettu käyttöön mielivaltaisissa osittain järjestetyissä joukoissa .

Olkoon jokin osittain järjestetty joukko vertailurelaatiolla . Oletamme sen . $\prec$ $a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b$

Määritelmä

Yleistetty Möbius-funktio määritellään rekursiivisesti relaatiolla.

{\mu _{A}^{*}}(a,b)={\begin{cases}1,&a=b\\-\sum \limits _{a\preccurlyeq z\prec b}{ {\mu _{A}^{*}}(a,z)},&a\prec b\\0,&a\not \preccurlyeq b\end{cases}}

Muunnoskaava

Anna funktioiden ottaa todelliset arvot joukosta ja ehto täyttyy . $g$ $f$ $A$ $g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}$

Sitten $f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}$

Yhteys klassiseen Möbius-funktioon

Jos otamme luonnollisten lukujen joukoksi, otamme suhteen suhteeksi , niin saamme , missä on klassinen Möbius-funktio. $A$ $a \prec b$ $a \mid b \land a \not = b$ ${\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a))\oikea)$ $\mu$

Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että ja edelleen klassisen Möbius-funktion määritelmä seuraa induktion avulla yleisen funktion määritelmästä ja identiteetistä , koska voidaan ottaa huomioon luvun, joka ei ole jaollinen täydellä neliöllä , kaikkien jakajien summa. sen alkutekijöiden summana Boolen yli kerrottuna jokaisessa Boolen elementissä. $\mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n)$ $\sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0$

Katso myös

Vintage Dirichlet

Kirjallisuus

Vinogradov I.M. Lukuteorian perusteet. - 9. painos - M. , 1981.
Hall M. Kombinatorinen teoria. - M . : Mir, 1970. - 424 s.

Linkit

MIPT- luentosali . Raygorodsky A.M. - Kombinatorian ja lukuteorian perusteet. Luento nro 5 , 2013.
MIPT- luentosali . Raygorodsky A.M. - Kombinatorian ja lukuteorian perusteet. Luento nro 6 , 2013.
Yleistetty Möbiuksen inversiokaava