Bettyn numero

Betti-luvut ovat topologisten avaruusinvarianttien sarja . Jokainen välilyönti vastaa Betti- numerosarjaa . $X$ $\beta _{0}(X),\beta _{1}(X),\pisteet$

Nolla Betti-luku on sama kuin liitettyjen komponenttien lukumäärä; $\beta _{0}(X)$
Ensimmäinen Betti-luku edustaa intuitiivisesti tämän tilan enimmäismäärää leikkauksia, jotka voidaan tehdä lisäämättä kytkettyjen komponenttien määrää. $\beta _{1}(X)$

Betty-luku voi ottaa ei-negatiivisia kokonaislukuarvoja tai ääretöntä . Kohtuullisen hyvin järjestetyssä äärellisulotteisessa avaruudessa (kuten kompaktissa monistossa tai äärellisessä yksinkertaisessa kompleksissa ) kaikki Betti-luvut ovat äärellisiä ja jostain luvusta alkaen katoavat.

Termin "Betty-luvut" loi Henri Poincaré , joka nimesi ne italialaisen matemaatikon Enrico Bettin mukaan .

Määritelmä

k -th Betty numero sijoitus , $\beta _{k}(X)=$ $H_{k}(X)$

missä on avaruuden X k : s homologiaryhmä , joka on Abelin , rank merkitsee tämän ryhmän arvoa . $H_{k}(X)$

Vastaavasti se voidaan määritellä vektoriavaruuden H k ( X ; Q ) dimensioksi, koska homologiaryhmä on tässä tapauksessa vektoriavaruus Q :n yli :

$\beta _{k}(X)=$ himmeä H k ( X ; Q )

Näiden määritelmien vastaavuus yksinkertaisissa tapauksissa osoitetaan universaalien kertoimien lauseella .

Yleisemmissä tapauksissa tietylle kentälle F voidaan määritellä k : s Betti - luku kertoimilla F : ssä vektoriavaruuden Hk ( X , F ) dimensioksi. $\beta _{k}(X,F)$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Avaruuden X Poincare-funktio on avaruuden X Betti -lukujonon generoiva funktio : $P_{X}(z)=\beta _{0}(X)+\beta _{1}(X)z+\beta _{2}(X)z^{2}+\cdots .$

Ensimmäinen Betti-luku graafiteoriassa

Topologisessa graafiteoriassa graafin G , jossa on n kärkeä, m reunaa ja k kytkettyä komponenttia , ensimmäinen Betti-luku on

\beta _{1}(G)=m-n+k.\

Tämä voidaan todistaa suoraan matemaattisella induktiolla reunojen lukumäärästä. Uusi reuna joko lisää 1-jaksojen määrää tai vähentää kytkettyjen komponenttien määrää .

Graafin ensimmäinen Betti-luku on sama kuin tämän graafin syklomaattinen luku .

Ominaisuudet

Äärilliselle yksinkertaiselle kompleksille K homologiaryhmät Hk ( K ) generoidaan äärellisesti ja siten niillä on äärellinen arvo. Jos k ylittää yksinkertaisten K maksimimitan , vastaavat homologiaryhmät ovat nolla. Tässä tapauksessa
- Eulerin ominaiskäyrä K voidaan ilmaista seuraavasti $\chi (K)=\summa _{{i=0}}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)$
- Poincare-funktio on polynomi .
Künnethin lauseen mukaan kahdelle avaruudelle X ja Y seuraava relaatio pätee Poincarén funktioille

P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},

Jos X on suljettu ja suuntautuva n - ulotteinen monisto , niin Poincarén kaksinaisuuden mukaan mille tahansa k :lle: $\beta _{k}(X)=\beta _{{nk}}(X).$

Esimerkkejä

Ympyrän Betty-lukujen järjestys : 1, 1, 0, 0, 0, …; $S^{1}$ Poincarén polynomi: . ${\näyttötyyli 1+x}$
Betti-lukujen sarja kaksiulotteiselle torukselle : 1, 2, 1, 0, 0, 0, …; $T^{2}$ Poincarén polynomi: . $1+2x+x^{2}=(1+x)^{2}$
Kolmiulotteisen toruksen Betti-lukujono on : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, … . $T^3$ Poincarén polynomi: . $1+3x+3x^{2}+x^{3}=(1+x)^{3}$
Vastaavasti n - ulotteisen toruksen Poincaren polynomi on , eli Betti-luvut ovat binomiaalikertoimia . $(1+x)^{n}$
Äärettömän ulottuvuuden avaruudessa voi olla ääretön sarja nollasta poikkeavia Betti-lukuja. Esimerkiksi äärettömän ulottuvuuden kompleksisessa projektioavaruudessa on Betti-lukujen 1, 0, 1, 0, 1, ... jakso, joka on jaksollinen jakson 2 kanssa. Tässä tapauksessa Poincarén funktio ei ole polynomi, joka edustaa ääretön sarja, joka on rationaalinen funktio: ${\frac {1}{1-x^{2}}}=1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\pisteetb .$
- Yleensä Poincare-sarja ilmaistaan rationaalisella funktiolla silloin ja vain, jos Betti-lukujen sarja on lineaarinen toistuva .

Kirjallisuus

Dold A. Luentoja algebrallisesta topologiasta. - M .: Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Homotopian topologian kurssi. - M .: Nauka, 1989