Matriisieksponentti

Matriisieksponentti on neliömatriisin matriisifunktio , joka on samanlainen kuin tavallinen eksponenttifunktio . Matriisieksponentti muodostaa yhteyden matriisien Lie-algebran ja vastaavan Lie-ryhmän välille .

Reaali- tai kompleksimatriisilla , jonka koko on , eksponentti , joka on merkitty tai , on potenssisarjan määrittelemä matriisi : $X$ $n\ kertaa n$ $X$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\ kertaa n$

e^{X}=\summa _{{k=0}}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}

missä on matriisin k :s potenssi . Tämä sarja suppenee aina, joten eksponentti on aina hyvin määritelty. $X^{k}$ $X$ $X$

Jos on koon matriisi , niin matriisieksponentti on kokomatriisi , jonka ainoa elementti on yhtä suuri kuin yksittäisen alkion tavallinen eksponentti . $X$ $1\kertaa 1$ $X$ $1\kertaa 1$ $X$

Ominaisuudet

Perusominaisuudet

Kompleksisten matriisien ja koon , mielivaltaisten kompleksilukujen ja , identiteettimatriisin ja nollamatriisin eksponentilla on seuraavat ominaisuudet: $X$ $Y$ $n\ kertaa n$ $a$ $b$ $E$ $0$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
jos , niin ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
jos on ei- singulaarinen matriisi , niin . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , jossa tarkoittaa transponoitua matriisia varten , joten tästä seuraa, että jos on symmetrinen , niin se on myös symmetrinen, ja jos on vino-symmetrinen matriisi , niin se on ortogonaalinen ; $X^{{\mathrm T}}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , jossa merkitsee hermiittistä konjugaattimatriisia kohteelle , joten tästä seuraa, että jos on hermiittinen matriisi , niin se on myös hermiittinen, ja jos on anti- hermiittinen matriisi , niin se on unitaarinen . $X^{*}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$

Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmät

Yksi syy siihen, miksi matriisieksponentti on tärkeä, on se, että sillä voidaan ratkaista tavallisia differentiaaliyhtälöjärjestelmiä [1] . Järjestelmäratkaisu:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

missä on vakiomatriisi, saadaan seuraavasti: $A$

y(t)=e^{At}y_{0}.

Matriisieksponenttia voidaan käyttää myös muodon epähomogeenisten yhtälöiden ratkaisemiseen

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

Ei ole olemassa suljettua analyyttistä lauseketta muodon ei-autonomisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisuille

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

jossa ei ole vakio, mutta Magnuksen laajennus mahdollistaa ratkaisun esittämisen äärettömänä summana. $A$

Summa eksponentti

Kaikille kahdelle reaaliluvulle (skalaarille) ja eksponentiaalinen funktio täyttää yhtälön , sama ominaisuus pätee symmetrisille matriiseille - jos matriisit ja kommuteivat (eli ), niin . Ei-työmatkamatriiseille tämä yhtälö ei kuitenkaan aina pidä paikkaansa, vaan yleensä laskennassa käytetään Baker-Campbell-Hausdorffin kaavaa . $x$ $y$ ${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y))$ $X$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

Yleisessä tapauksessa tasa-arvo ei tarkoita sitä ja työmatkaa. $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $X$ $Y$

Hermiittisille matriiseille on olemassa kaksi huomattavaa lausetta, jotka liittyvät matriisieksponenttien jälkiin .

Golden-Thompsonin epätasa-arvo

Jos ja ovat hermiittisiä matriiseja, niin [2] : $A$ $H$

\operaattorinimi {tr}\exp(A+H)\leqslant \operaattorinimi {tr}(\exp(A)\exp(H))

missä on matriisin jälki . Kommutatiivisuutta ei vaadita, jotta tämä väite pätee. On vastaesimerkkejä, jotka osoittavat, että Golden-Thompson-epäyhtälöä ei voida laajentaa kolmeen matriisiin, eikä se aina ole reaaliluku Hermitian matriiseille , ja . $\operaattorin nimi {tr}X$ $X$ $\operaattorinimi {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $A$ $B$ $C$

Liebin lause

Liebin lause, joka on nimetty Elliott Lieb mukaan, sanoo, että kiinteälle hermiittiselle matriisille funktio on: $H$

f(A)=\operaattorinimi {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

on kovera positiivisten määrällisten matriisien kartiolla [3] .

Eksponentiaalinen kartoitus

Matriisin eksponentti on aina ei- singulaarinen matriisi . Matriisin käänteisarvo on , mikä on analogista sille, että kompleksiluvun eksponentti ei ole koskaan nolla. Joten matriisieksponentti määrittää kuvauksen: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

ulottuvuuden kaikkien matriisien avaruudesta koko lineaariseen järjestyksen ryhmään , eli kaikkien ulottuvuuden ei-degeneroituneiden matriisien ryhmään . Tämä kartoitus on surjektio , eli jokainen ei-singulaarinen matriisi voidaan kirjoittaa jonkin muun matriisin eksponenteiksi (että tämä tapahtuisi, on otettava huomioon kompleksilukujen kenttä , ei reaaliluvut ). $n\ kertaa n$ $n$ $n\ kertaa n$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Jokaiselle kahdelle matriisille ja meillä on epäyhtälö $X$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

jossa tarkoittaa mielivaltaista matriisinormia . Tästä seuraa, että eksponentiaalinen kartoitus on jatkuvaa ja Lipschitz kompakteissa osajoukoissa . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Näyttö:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

määrittää tasaisen käyrän yleisessä lineaarisessa ryhmässä, joka kulkee identiteettielementin läpi kohdassa . $t = 0$

Sovellukset

Lineaariset differentiaaliyhtälöt

Esimerkki homogeenisesta järjestelmästä

Järjestelmälle:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matriisi))

sen matriisi on:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Voidaan osoittaa, että matriisin eksponentti on $tA$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~,

joten yleinen ratkaisu tälle järjestelmälle on:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmatrix}}~.

Esimerkki epähomogeenisesta järjestelmästä

Epähomogeenisen järjestelmän ratkaiseminen:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t} }\end{matrix}}

merkinnät otetaan käyttöön:

A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Koska homogeenisen yhtälön yleisen ratkaisun ja tietyn ratkaisun summa antaa epähomogeenisen yhtälön yleisratkaisun, jää vain löytää tietty ratkaisu. Koska:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

missä on alkuehto. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Yleistys: mielivaltaisen vakion vaihtelu

Epähomogeenisen järjestelmän tapauksessa voidaan käyttää mielivaltaisen vakion variaatiomenetelmää. Etsimme erityistä ratkaisua muodossa : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{align}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {aligned}}

Ratkaisua varten on tapahduttava seuraava: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}

Tällä tavalla:

{\begin{align}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,

missä määritetään ongelman alkuolosuhteista. ${\mathbf {c}}$

Katso myös

Trigonometriset funktiot matriisista

Muistiinpanot

↑ Piskunov H. S. Differentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluille, osa 2 .: Oppikirja korkeakouluille. - 13. painos - M . : Nauka, Fysikaalisen ja matemaattisen kirjallisuuden pääpainos, 1985. - S. 544-547. - 560 s.
↑ Bhatia, R. Matriisianalyysi (määrittelemätön) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Matematiikan tutkinnon tekstit). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Kupera jäljitysfunktiot ja Wigner-Yanase-Dyson-oletus // Adv . Matematiikka. : päiväkirja. - 1973. - Voi. 11 , ei. 3 . - s. 267-288 . - doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

Linkit

Weisstein, Eric W., "Matrix Exponential" , MathWorld
Matriisieksponentiaalin moduuli