Affiini neliöfunktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21. helmikuuta 2017 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 9 muokkausta .

Affiini-kvadraattinen funktio on analogi affiiniavaruuden neliöllisen muodon käsitteelle .

Määritelmä

Olkoon edelleen affiiniavaruus, joka liittyy vektoriavaruuteen kentän yli , jonka ominaisuus ei ole yhtä suuri kuin . $S$ $V$ $\mathbb {K}$ $2$

Koordinaattien kautta

Funktiota kutsutaan affiinis-neliöiseksi, jos se jossain kehyksessä annetaan asteen polynomilla (tai pienemmän asteen polynomilla) koordinaatteina, eli $Q:S\to \mathbb {K}$

Q(P)=\sum _{1\leq i\leq j\leq n}a_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}b_{ i}x_{i}+c

Toisin kuin klassisessa neliöfunktion käsitteessä , kertoimet saavat olla samanaikaisesti nolla. Näin ollen polynomi voi olla sekä lineaarinen että vakio. $a_{{ij}}$

Kvadraattisen muodon kautta

Funktiota kutsutaan affiini-neliöiseksi, jos se jollekin kiinteälle pisteelle annetaan relaatiolla $Q:S\to \mathbb {K}$ $O\in S$

Q(x+O)=q(x)+l(x)+c

missä , on neliömuoto päällä , on lineaarinen muoto päällä ja on kiinteä vakio [1] . $x \ in V$ $q$ $V$ $l$ $V$ $c$ $\mathbb {K}$

Biafiinifunktion kautta

On mahdollista antaa samanlainen määritelmä kuin neliömuodon määritelmä bilineaarimuodossa . Kutsumme funktiota biafiiniksi , jos kiinteälle parametrille funktio on affine , eli jos ne ovat affinisia funktioita. Sitten sitä kutsutaan affiini-kvadraattiseksi, jos jollekin biafiinifunktiolle $D:S\times S\to \mathbb {K}$ $\forall P\in S:D(P,\cdot ),D(\cdot ,P)$ $Q:S\to \mathbb {K}$ $D$

Q(P)=D(P,P)

. [2]

Yhteys biafiinifunktioiden kanssa

Kolmannen määritelmän mukaan mikä tahansa muodon funktio , jossa on biafiinifunktio, on affiinineliöfunktio, ja mikä tahansa affiinineliöfunktio voidaan esittää muodossa , jossa on jokin biafiinifunktio. Tietylle affiini-kvadraattiselle funktiolle sen määrittävä biafiinifunktio ei kuitenkaan ole yksiselitteisesti määritelty. Yksi-yhteen vastaavuus voidaan saada, jos vaadimme lisäksi symmetriaa , eli seuraava väite on tosi: ${\näyttötyyli D(P,P)}$ $D$ $Q(P)$ ${\näyttötyyli D(P,P)}$ $D$ $D$

Jokaiselle affiini-kvadraattiselle funktiolle on olemassa ainutlaatuinen symmetrinen biafiinifunktio siten, että . Siten affiini-kvadraattisten funktioiden ja symmetristen biafiinifunktioiden välillä on yksi yhteen vastaavuus.

Q(P)

D(P,R)

Q(P)=D(P,P)

Tietyn affiini-kvadraattisen funktion suhteen vastaava symmetrinen biafiinifunktio voidaan ilmaista seuraavasti: $K$ $D$

D(P,R)=2Q\left({\frac {1}{2}}P+{\frac {1}{2}}R\right)-{\frac {1}{2}} Q(P)-{\frac {1}{2}}Q(R)

Tätä kaavaa kutsutaan polarisaatiokaavaksi (samanlainen kuin neliö- ja bilineaaristen muotojen tapauksessa). Pisteiden summat kertoimilla ovat tässä affiininen yhdistelmä .

Kaikki muut biafiinifunktiot, jotka määrittävät tietyn affiini-neliöfunktion, saadaan lisäämällä vastaavaan symmetriseen mielivaltaiseen antisymmetriseen biafiinifunktioon.

Muunnos alkuperää muuttaessa

Toisen määritelmän mukaan mikä tahansa affine-quadratic funktio voidaan jossain vaiheessa esittää muodossa , jossa on neliömuoto päällä , on lineaarinen muoto päällä ja on kiinteä vakio . Päinvastoin, lausekkeen tietylle pisteelle antama funktio on affiinineliö. Pistettä kutsutaan alkuperäksi. $O\in S$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $q$ $V$ $l$ $V$ $c$ $\mathbb {K}$ $O$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $O$

Itse asiassa minkä tahansa pisteen affiini-neliöfunktio voidaan antaa muodossa . Tässä tapauksessa tietyn affiini-kvadraattisen funktion neliömuoto on yksiselitteisesti määritelty, eikä se edes riipu pisteen valinnasta . Tätä muotoa kutsutaan neliöosaksi . Tämän muotoista matriisia kutsutaan päämatriisiksi . Sama matriisi on samanaikaisesti vastaavan symmetrisen biafiinifunktion päämatriisi. Päämatriisin arvoa kutsutaan affiini-kvadraattisen funktion pieneksi arvoksi. [3] $O\in S$ $Q(x+O)=q(x)+l(x)+c$ $q$ $O$ $K$ $K$

Tietyn pisteen muoto ja vakio on määritelty yksilöllisesti, mutta ne voivat vaihdella eri pisteissä. Muotoa kutsutaan lineaariseksi osaksi pisteen suhteen ja vakiota pisteen vakioosaksi . [neljä] $l$ $c$ $O$ $O$ $l$ $K$ $O$ $c$ $O$

Kun pistettä vaihdetaan , lineaari- ja vakioosa muunnetaan seuraavasti. Antaa olla uusi kohta, sitten joillekin ja . Nämä ilmaistaan seuraavasti: $O$ $O'=O+a$ $Q(O'+x)=q(x)+l'(x)+c'$ $minä$ $c'$ $minä$ $c'$

l'(x)=2b(a,x)+l(x)

c'=q(a)+l(a)+c

missä on neliömuotoa vastaava symmetrinen bilineaarinen muoto . [5] $b$ $q$

Muutos kehystä vaihdettaessa

Ensimmäisen määritelmän mukaan mikä tahansa affiini-neliöfunktio jossakin kehyksessä voidaan esittää toisen asteen polynomina (tai pienemmän asteen polynomina) koordinaateissa. Enemmänkin on totta: minkä tahansa affine-quadratic funktion osalta tämä voidaan tehdä missä tahansa kehyksessä. Päinvastoin, jos funktio on annettu neliöpolynomilla koordinaatteina, se on affiini-neliöinen.

Koordinaateissa oleva kaava voidaan saada kaavasta toisen asteen muodon kautta. Antaa olla kehys, olla matriisi toisen asteen osan perusteella , olla rivivektori koordinaatit lineaarisen osan suhteen perusteella , ja olla vakio osa suhteessa . Sitten: ${\näyttötyyli (O,e)}$ $A$ $e$ $B$ $O$ $e$ $c$ $O$

Q(P)=x^{T}Ax+Bx+c

Käyttämällä lisätyn matriisin käsitettä tämä lauseke voidaan kirjoittaa vielä yksinkertaisemmin. Affiini-neliöfunktion laajennettu matriisi on matriisi

A'={\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}

Sitten

Q(P)={\begin{pmatrix}x^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&{\dfrac {B^{T}}{2}}\\{ \dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}}=x'^{T}A'x'

Sääntö kertoimien muuntamisesta toiseen kehykseen siirryttäessä on myös yksinkertaisesti kirjoitettu laajennettuina matriiseina. Olkoon siirtymämatriisi vanhasta kannasta uuteen, olkoon uuden alkuperän koordinaattien sarakevektori vanhassa kehyksessä. Sitten $T$ $t$

A'_{2}={\begin{pmatrix}A_{2}&{\dfrac {B'^{T}}{2}}\\{\dfrac {B'}{2}}&c '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T^{T}&0\\t^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}&{\dfrac {B ^{T}}{2}}\\{\dfrac {B}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T&t\\0&1\end{pmatrix}}=T'^{T }A'_{1}T'

Laajennetun matriisin arvoa kutsutaan affiinin neliöfunktion suureksi arvoksi.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Affiininen neliö on joukko . ${\displaystyle X(Q)=\{P\in S:Q(P)=0\))$
Affine-quadratic funktioita ja kutsutaan affiinisiksi ekvivalenteiksi , jos on olemassa affiinimuunnos , joka on sellainen, että . $Q_1$ $Q_{2}$ $F$ $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$
Affine-quadratic funktioita ja metristä affiineavaruutta kutsutaan metrisesti ekvivalentiksi , jos on sellainen liike , että . $Q_1$ $Q_{2}$ $F$ $Q_{1}(F(P))\equiv Q_{2}(P)$

Keskusta

Keskipisteen affine-quadratic funktio on pisteen , Sellainen , että tahansa , . Kaikkien keskipisteiden joukkoa kutsutaan affiini-kvadraattisen funktion keskipisteeksi [6] (jotkut kirjoittajat noudattavat erilaista terminologiaa: he viittaavat itse pisteisiin keskuksina, eivät niiden joukkoon. [7] Lisäksi tämä artikkeli noudattaa ensimmäistä terminologiaa). $K$ $O$ $S$ $x$ $V$ $Q(O+x)=Q(Ox)$

Jos keskus on ei -tyhjä, niin tällaista affiini-kvadraattista funktiota kutsutaan keskusfunktioksi ja muuten ei-keskiseksi . $K$

Piste on affiini-neliöfunktion keskipiste silloin ja vain, jos lineaarinen osa tämän pisteen suhteen on identtinen [8] . $O$ $0$

Todiste

$Q(O+x)-Q(Ox)=q(x)+l(x)+cq(x)+l(x)-c=2l(x)=0\Oikeanuoli l(x)= 0)$

Affiini -kvadraattisen funktion keskipisteiden joukko koordinaateissa on SLAE :n ratkaisu $Ax=-{\frac {B^{T}}{2}}$

Todiste

$P$ on keskus , jossa on lineaarinen osa suhteessa . , jossa on lineaarinen osa origoon nähden , on neliömuotoa vastaava symmetrinen bilineaarinen muoto . $\Leftrightarrow l'(x)\equiv 0$ $minä$ $P$ $l'(x)=2b(a,x)+l(x)$ $P=O+a$ $l$ $O$ $b$ $q$ $l'(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2b(a,x)+l(x)\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}Ax+Bx\equiv 0\Leftrightarrow (2a^{T}A+ B )x\equiv 0\Leftrightarrow 2a^{T}A+B=0\Leftrightarrow a^{T}A=-{\frac {B}{2}}\Leftrightarrow Aa=-{\frac {B^{ T }}{2}}$

Ei-keskisen affiini-neliöfunktion neliöosa on degeneroitunut (seuraa edellisestä ominaisuudesta ja Kronecker-Capellin lauseesta ). Keski-affine-quadratic -funktion keskusten joukko on ulottuvuuden avaruuden affiininen aliavaruus , ja sen ohjaava aliavaruus on . Jos neliöosa on ei-degeneroitunut, niin keskusten joukko koostuu yhdestä pisteestä. [6] $S$ ${\displaystyle \operaattorinnimi {dim} {S}-\operaattorin nimi {rk} {q))$ $\operaattorin nimi {ker} {q}$

Ei-keskisellä affiini-kvadraattisella funktiolla on vähintään yksi nolla (seuraa sen kanonisesta muodosta, joka johdetaan alla).

Kanoninen muoto

Kanoninen muoto keskus- ja ei-keskisille affiini-kvadraattisille funktioille eroavat merkittävästi toisistaan.

Keskuskotelo

Keskeisen affiini-kvadraattisen funktion pelkistämiseksi kanoniseen muotoon riittää, että origoksi otetaan mikä tahansa sen keskusta ja sen neliöllisen osan kanoninen perusta perustaksi. Sitten lineaarinen osa nollataan, neliö saa kanonisen muodon ja affine-quadratic funktio saa muodon:

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0))

, missä , kaikki .

1\leq k\leq n

\lambda _{i}\neq 0

Arvo ei riipu tietyn keskuksen valinnasta. $c_{0}$

Ei-keskitetty kirjainkoko

Valitsemme perustan, jossa neliöosalla on kanoninen muoto. Tämä tuo affiini-kvadraattisen funktion muotoon , jossa , koska ei-keskeisen affiini-kvadraattisen funktion neliöosa on degeneroitunut. Jos , niin korvaus at , at johtaa muotoon , jossa lineaarinen osa on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että origo on keskus. Osoittautuu, että ainakin yksi kertoimista ei ole yhtä suuri kuin nolla, ja voimme korvata , , for , mikä tuo affiini-kvadraattisen funktion kanoniseen muotoon: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _ {i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2 \lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$ $k<n$ $\mu _{k+1},...,\mu _{n}=0$ $z_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ ${\displaystyle z_{i}=y_{i))$ $i=k+1,...,n$ $K$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}z_{i}^{2}+c'_{0))$ ${\displaystyle \mu _{k+1},...,\mu _{n))$ $x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ ${\displaystyle x_{k+1}=\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0))$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i))$ $i=k+2,...,n$

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1))

, missä , kaikki .

1\leq k<n

\lambda _{i}\neq 0

Kysymys affiini-kvadraattisen funktion kanonisen muodon ainutlaatuisuudesta rajoittuu kysymykseen sen neliöllisen osan kanonisen muodon ainutlaatuisuudesta. Jos kahdella affiini-neliöfunktiolla on sama kanoninen muoto, ne ovat affinisesti ekvivalentteja. [9]

Normaali näkymä

Affiini-neliöfunktion normaalimuoto eroaa kanonisesta siinä, että siinä oleva neliöosa on normaalimuodossa. Olkoon , jossa kaikki on normaalimuodossa . Sitten normaali muoto on : ${\displaystyle q(x)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2))$ $\lambda _{i}\neq 0$ $q$ $K$

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0))

, jossa keskiosassa,

1\leq k\leq n

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+x_{k+1))

, jossa ei-keskeisessä tapauksessa

1\leq k<n

Kertoimien valinnan erityinen mielivaltaisuus riippuu alasta ja se on otettava huomioon jokaisessa yksittäistapauksessa. $\lambda _{i}$ $\mathbb {K}$

Case $\mathbb {K} =\mathbb {C}$

{\displaystyle Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+c_{0))

keskeisessä tapauksessa

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{k}^{2}+x_{k+1}

ei-keskeisessä tapauksessa

Case $\mathbb {K} =\mathbb {R}$

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^ {2}+c_{0}

, jossa keskiosassa

0\leq m\leq k

Q(P)=x_{1}^{2}+...+x_{m}^{2}-x_{m+1}^{2}-...-x_{k}^ {2}+x_{k+1}

, jossa ei-keskeisessä tapauksessa

0\leq m\leq k

Affiini-kvadraattisen funktion normaalimuoto on ainutlaatuinen. Kahdella affiini-kvadraattisella funktiolla on sama normaalimuoto silloin ja vain, jos ne ovat affinisesti ekvivalentteja. [kymmenen]

Pelkistys pääakseleihin

Euklidisissa , unitaarisissa ja muissa affiineissa avaruuksissa, jotka liittyvät vektoriavaruuteen, jossa on sisätulo, voidaan esittää ongelma sellaisen suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän löytämisessä, jossa affiinis-kvadraattisella muodolla on yksinkertaisin muoto. Tässä tarkastelemme yhtä euklidiselle avaruudelle.

Keskuskotelo

Viitteeksi sinun on otettava mikä tahansa keskus ja perustana ortonormaali kanta, jossa neliömuodolla on kanoninen muoto. Sitten affine-quadratic funktio pelkistetään muotoon:

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+c_{0))

, missä , kaikki

1\leq k\leq n

\lambda _{i}\neq 0

lisäksi kertoimet määritetään yksiselitteisesti permutaatioon asti (tämä seuraa neliömuodon muodon ainutlaatuisuudesta pääakseleissa).

Ei-keskitetty kirjainkoko

Ei-keskitapauksessa sellaista suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, jossa affiini-neliöfunktiolla on kanoninen muoto, ei aina ole olemassa, mutta jos muutat sitä hieman, voit saada muodon, joka on olemassa ja on ainutlaatuinen mille tahansa funktiolle.
Supistaaksesi tähän muotoon sinun on ensin tuotava neliöosa pääakseleille. Saamme: . Tee sitten seuraava korvaus: , , ota loput muuttujat niin, että korvaus on ortogonaalinen (korvausmatriisi on täydennettävä niin, että se on ortogonaalinen . Tämä voidaan tehdä, koska ensimmäiset rivit muodostavat jo ortonormaalin järjestelmän ja se on melko helppo täydentää se ortonormaalille pohjalle). Lopullinen ulkoasu on: $Q(P)=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}y_{i}^{2}+\sum _{i=1}^{n}\mu _ {i}y_{i}+c_{0}=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}(y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2 \lambda _{i}}})^{2}+\sum _{i=k+1}^{n}\mu _{i}y_{i}+c'_{0}$
$x_{i}=y_{i}+{\frac {\mu _{i}}{2\lambda _{i}}}$ $i=1,...,k$ $x_{k+1}={\frac {\mu _{k+1}y_{k+1}+...+\mu _{n}y_{n}+c'_{0} }{\sqrt {\mu _{k+1}^{2}+...+\mu _{n}^{2))))$ $k$

{\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1))

, missä , kaikki , .

1\leq k<n

\lambda _{i}\neq 0

p>0

Tämä muoto on myös ainutlaatuinen kertoimien permutaatioon asti . $\lambda _{i}$

Todiste ainutlaatuisuudesta

Kertoimien ainutlaatuisuus seuraa neliömuodon kertoimien ainutlaatuisuudesta pääakseleilla. On vielä todistettava kertoimen ainutlaatuisuus . Olkoon suorakulmaisessa koordinaatistossa muoto , ja in - , , kaikki , Olkoon symmetrinen bilineaarinen muoto, joka vastaa , on tätä muotoa vastaava itseadjoint lineaarinen operaattori. Sen matriisilla kannassa ja kannassa on sama muoto . Sitten siirtymämatriisilla välillä on muoto: $\lambda _{i}$ $s$
$(O,e_{1},...,e_{n})$ $K$ ${\displaystyle Q(P)=\lambda _{1}x_{1}^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}^{2}+px_{k+1))$ $(O',e'_{1},...,e'_{n})$ $Q(P)=\lambda _{1}x_{1}'^{2}+...+\lambda _{k}x_{k}'^{2}+p'x_{k+ yksi }'$ $1\leq k<n$ $\lambda _{i}\neq 0$ $p,p'>0$
$b$ $q$ $\phi$ $e$ $e'$ $A=\operaattorin nimi {diag} (\lambda _{1},...,\lambda _{k},0,...,0)$ $\operaattorinnimi {im} {\phi }=<e_{1},...,e_{k}>=<e_{1}',...,e_{k}'>$ $e$ $e'$

T={\begin{pmatrix}T_{1}&0\\0&T_{2}\end{pmatrix}}

ja matriisit ja ovat ortogonaalisia. Anna . $T_{1}$ $T_{2}$ $O'=O+a$

\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}^{2}=x^{T}Ax=(Tx'+a)^{T}A(Tx '+a)=(x'^{T}T^{-1}+a^{T})A(Tx'+a)=x'^{T}T^{-1}ATx'+x' ^{T}T^{-1}Aa+a^{T}ATx'+a^{T}Aa=x'^{T}Ax'+2a^{T}ATx'+a^{T}Aa =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i}' +c_{1}

{\displaystyle px_{k+1}=\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{2))

\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}x_{i}'^{2}+\sum _{i=1}^{k}a_{1}x_{i }'+\sum _{i=k+1}^{n}pt_{i}x_{i}'+c_{1}+c_{2}=\sum _{i=1}^{k}\ lambda _{i}x_{i}'^{2}+p'x_{k+1}'

t_{k+1}={\frac {p'}{p)),t_{k+1},...,t_{n}=0

Matriisi - ortogonaalinen $T_{2}$ $\Rightarrow t_{k+1}^{2}=\left({\frac {p'}{p}}\right)^{2}=1$
${\frac {p'}{p}}>0\Rightarrow {\frac {p'}{p}}=1\Rightarrow p'=p$

Kaksi affiini-neliöfunktiota ovat metrisesti ekvivalentteja silloin ja vain, jos niillä on sama muoto pääakseleissa. [yksitoista]

Sovellus

Affiini-neliöfunktioita käytetään nelilukujen luokittelemiseen. Esimerkiksi: niiden avulla saadaan standardi affiininen tai metrinen luokittelu toisen asteen käyriin ja pintoihin euklidisessa avaruudessa [12] .

Katso myös

affiininen lineaarinen funktio

Muistiinpanot

↑ Vinberg, 2001 , s. 284.
↑ Kostrikin, 2000 , s. 217.
↑ Kostrikin, 2000 , s. 230.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , s. 215.
↑ Vinberg, 2001 , s. 310.
↑ 1 2 Kostrikin, Manin, 1980 , s. 216.
↑ Vinberg, 2001 , s. 285.
↑ Kostrikin, 2000 , s. 219.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , s. 217.
↑ Kostrikin, Manin, 1980 , s. 218.
↑ Kostrikin, 2000 , s. 222.
↑ Vinberg, 2001 , s. 290.

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - M . : Factorial Press, 2001. - 544 s.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria. - Pietari. : Lan, 1980. - 303 s.
Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Osa 2. Lineaarinen algebra. - M. : FIZMATLIT, 2000. - 368 s.