Toisen järjestyksen käyrä

Toisen kertaluvun käyrä - tason pisteiden paikka, jonka suorakulmaiset koordinaatit täyttävät muodon yhtälön

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

jossa ainakin yksi kertoimista on eri kuin nolla. Siten toisen asteen käyrä on algebrallisen käyrän erikoistapaus . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Historia

Toisen kertaluvun käyriä tutki ensin Menechmus , Eudoxuksen oppilas [1] [2] . Hänen työnsä oli seuraava: jos otat kaksi leikkaavaa suoraa ja kierrät niitä niiden muodostaman kulman puolittajan ympäri, saat kartiopinnan . Jos leikkaamme tämän pinnan tason kanssa , niin leikkauksessa saadaan erilaisia geometrisia muotoja, nimittäin ellipsi , ympyrä , paraabeli , hyperbola ja useita rappeutuneita kuvioita (katso alla).

Tämä tieteellinen tieto löysi kuitenkin sovelluksen vasta 1600-luvulla, jolloin tuli tiedoksi, että planeetat liikkuvat elliptisiä lentoratoja pitkin ja tykin ammus lentää parabolista. Vielä myöhemmin tuli tiedoksi, että jos annat keholle ensimmäisen avaruusnopeuden , se liikkuu ympyrässä Maan ympäri tämän nopeuden kasvaessa - ellipsiä pitkin , kun toinen avaruusnopeus saavutetaan - paraabelia pitkin , ja nopeudella, joka on suurempi kuin toinen avaruusnopeus - hyperbolia pitkin .

Invariantit

Käyrän muoto riippuu neljästä invariantista :

invariantit koordinaattijärjestelmän kierron ja siirron aikana :
- $I_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatrix}}$ (kutsutaan myös nimellä ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (kutsutaan myös nimellä ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (kutsutaan myös nimellä ) $minä$
invariantti suhteessa koordinaattijärjestelmän kiertoon (puoliinvariantti):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}$ (kutsutaan myös nimellä ) $B$

Joskus tavattu lauseke "käyräinvariantti" on epätarkka. Jos kerromme yhtälön nollasta poikkeavalla luvulla k, saamme yhtälön, joka määrittelee saman käyrän. Tässä tapauksessa invarianttien arvot muuttuvat. jne. $\Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2}$

Toisen kertaluvun käyrien luokittelu invarianttien arvojen suhteen

Käyrä	Yhtälö	Invariantit
Ellipsi	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	$I_{2}>0$	$I_{1}I_{3}<0$
Piste (pari kuvitteellista leikkaavaa viivaa)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			$I_{3}=0$
kuvitteellinen ellipsi	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$I_{1}I_{3}>0$
Hyperbeli	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
Pari leikkaavaa viivaa	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$		$I_{2}<0$	$I_{3}=0$
Paraabeli	$y^{2}=2px$	$I_{2}=0$		$I_{3}\neq 0$
Yhdensuuntaisten viivojen pari	$x^{2}-d^{2}=0$			$I_{3}=0$	$K_{1}<0$
Suoraan	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Pari kuvitteellista yhdensuuntaista viivaa	$x^{2}+d^{2}=0$				$K_{1}>0$

Ei-degeneroituneet käyrät

Toisen kertaluvun käyrää kutsutaan ei- degeneroituneeksi , jos seuraavat vaihtoehdot voivat esiintyä: $\Delta\ne0.$

Toisen asteen ei-degeneroitunutta käyrää kutsutaan keskeiseksi jos $D\not=0$
- ellipsi - edellyttäen ja ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - ellipsin erikoistapaus - ympyrä - edellyttäen, että tai $I^2 = 4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- kuvitteellinen ellipsi (ei yksittäinen todellinen piste) - edellyttäen ja $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hyperboli - tarjotaan $D<0;$
Toisen asteen ei-degeneroitunutta käyrää kutsutaan ei-keskiseksi jos $D = 0$
- paraabeli - koskee $D = 0.$

Degeneroituneet käyrät

Toisen kertaluvun käyrää kutsutaan rappeutuneeksi , jos . Seuraavat vaihtoehdot voivat ilmaantua: $\Delta=0$

todellinen piste kahden kuvitteellisen suoran leikkauspisteessä ( degeneroitunut ellipsi ) - tarjotaan $D>0;$
pari todellista leikkaavaa viivaa (degeneroitunut hyperbola ) - tarjotaan $D<0;$
rappeutunut paraabeli - tarjotaan $D=0:$
- pari todellista yhdensuuntaista viivaa - ehdolla $B<0;$
- yksi todellinen viiva (kaksi yhdistettyä yhdensuuntaista viivaa ) - tarjotaan $B = 0;$
- pari kuvitteellista yhdensuuntaista viivaa (ei yhtäkään reaalipistettä) - tarjotaan $B>0.$

Ominainen neliömuoto ja ominaisyhtälö

Monia tärkeitä toisen kertaluvun käyrien ominaisuuksia voidaan tutkia käyrän yhtälön mukaista ominaista neliömuotoa käyttämällä

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Joten esimerkiksi ei-degeneroitunut käyrä osoittautuu todelliseksi ellipsiksi , kuvitteelliseksi ellipsiksi , hyperboliksi tai paraabeliksi riippuen siitä, onko se positiivinen määrätty, negatiivinen definiitti, epämääräinen vai puolimääräinen neliömuoto, jonka määrittää ominaisyhtälön juuret: $\left(\Delta\ne0\oikea)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

tai

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Tämän yhtälön juuret ovat todellisen symmetrisen matriisin ominaisarvot

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

ja sen seurauksena ovat aina todellisia [3] .

Toisen asteen käyrän halkaisijat ja keskipiste

Toisen kertaluvun käyrän halkaisija on tämän käyrän yhdensuuntaisten jänteiden keskipisteiden paikka . Tällä tavalla saatua halkaisijaa kutsutaan näiden jänteiden konjugaatiksi tai niiden suunnaksi. Halkaisijakonjugaatti jänteisiin, jotka muodostavat kulman akselin Ox positiivisen suunnan kanssa, määritetään yhtälöllä: $\theta$

$\vasen(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\oikea) \cos\theta + \vasen(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\oikea) \ sin\theta = 0.$

Jos ehto täyttyy, kaikki käyrän halkaisijat leikkaavat yhdessä pisteessä - keskipisteessä , ja itse käyrää kutsutaan keskipisteeksi . Muuten ( ), käyrän kaikki halkaisijat ovat joko yhdensuuntaisia tai samoja. $D\ne0,$ $D = 0$

Keskipisteen koordinaatit määritetään yhtälöjärjestelmällä: $\left(x_0,\;y_0\right)$

$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}$

Tämän järjestelmän ratkaiseminen suhteessa ja saa: $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Jos käyrä on keskellä, niin origon siirtäminen sen keskustaan tuo yhtälön muotoon

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ palkki x = x - x_0,\;\;\;\bar y = y - y_0,$

missä ovat koordinaatit suhteessa uuteen järjestelmään. $\bar x,\;\bar y$

Toisen kertaluvun käyrän pääakselit ja kärjet

Toisen kertaluvun käyrän pääakseli on sen halkaisija, kohtisuorassa sen kanssa konjugoituihin jänteisiin nähden. Tämä halkaisija on käyrän symmetria-akseli. Jokaisella keskikäyrällä on joko kaksi keskenään kohtisuoraa akselia tai kaikki halkaisijat ovat pääakseleita. Jälkimmäisessä tapauksessa käyrä on ympyrä. Ei-keskikäyrillä on vain yksi pääakseli. Pääakselin ja itse käyrän leikkauspisteitä kutsutaan sen pisteiksi . $\vasen (D\ne0\oikea)$ $\vasen(D=0\oikea)$

Normaalien suuntakosinit pääakseleille täyttävät yhtälöt

$\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22 } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},$

missä on ominaisyhtälön nollasta poikkeava juuri. Pääakseleiden ja niiden konjugoitujen jänteiden suuntia kutsutaan käyrän pääsuunniksi . Ox - akselin positiivisen suunnan ja kummankin pääsuunnan välinen kulma saadaan kaavalla $\lambda$

$\operaattorinnimi{tg}2\phi = \operaattorinnimi{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

Kaikista toisen kertaluvun käyristä vain ympyrällä on määrittelemättömät pääsuunnat.

Yhtälöt

Yleinen yhtälö matriisimuodossa

Käyrän yleinen yhtälö voidaan kirjoittaa matriisimuotoon

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

tai

x^{T}Ax=0

Kanoninen muoto

Ottamalla käyttöön uusi koordinaattijärjestelmä voidaan saattaa toisen asteen käyrien yhtälöt kanoniseen standardimuotoon (katso yllä oleva taulukko). Kanonisten yhtälöiden parametrit ilmaistaan hyvin yksinkertaisesti käyrän alkuperäisen yhtälön invarianteina ja ominaisyhtälön juurina (katso edellä kohta "Karakterisoitu toisen asteen muoto ja ominaisyhtälö"). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Kommentti. Kun vaihdat yhtälön kanoniseen muotoon, voi olla tarpeen kertoa yhtälö nollasta poikkeavalla luvulla. Siksi kanonisen yhtälön invarianttien numeeriset arvot voivat poiketa alkuperäisen yhtälön invarianttien arvoista. Merkit ja pysyvät ennallaan . $\Delta \cdot I\;$ $D$

Kanonisessa muodossa olevan keskuskäyrän keskipiste on origossa. $\left(x_0,\;y_0\right)$

Epäkeskisyyden kautta

Minkä tahansa toisen asteen ei-degeneroituneen käyrän kanoninen yhtälö voidaan pelkistää muotoon sopivalla origon muunnolla

$y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\\ (p>0).$

Tässä tapauksessa käyrä kulkee uuden koordinaattijärjestelmän origon kautta ja Ox -akseli on käyrän symmetria-akseli. Tämä yhtälö ilmaisee sen tosiasian, että toista kertaluokkaa oleva ei-degeneroitunut käyrä on niiden pisteiden paikka, joiden etäisyyssuhde ( epäkeskisyys ) tietystä pisteestä ( fokus ) ja tietystä suorasta ( directrix ) on vakio . Lisäksi varten , Käyrä on ympyrä, varten , ellipsi, varten , paraabeli ja , hyperbola. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepsilon = 0$ $\varepsilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

Käyrän suuntaviivan yhtälö ilmaistaan yhtälöllä ja kohdistuksen koordinaatteilla. Suuntaviiva on kohtisuorassa polttopisteen ja käyrän kärjen ( polttoakseli ) läpi kulkevaan symmetria- akseliin nähden . Tarkennuksen ja suuntaviivan välinen etäisyys on $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y = 0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Jos toisen kertaluvun käyrä on keskeinen (ellipsi tai hyperbola), niin suora

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

on symmetria-akseli ja siksi käyrällä on kaksi polttopistettä ja kaksi suuntaviivaa.

Parametria kutsutaan polttoparametriksi, ja se on yhtä suuri kuin puolet tarkennuksen läpi kulkevan jänteen pituudesta ja kohtisuorassa polttoakseliin nähden ( focal chord ). $s$

Napakoordinaatit

Jos otamme toisen asteen rappeutumattoman käyrän fokuksen napakoordinaattijärjestelmän napaksi ja sen symmetria-akselin napa -akseliksi , niin napakoordinaateissa käyrän yhtälö näyttää tältä. $\left(\rho,\phi\oikea)$ $\rho$ $\phi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

Viiden pisteensä määrittelemä käyrä

Toisen asteen käyrä määräytyy täysin sen viiden pisteen perusteella, jos yksikään niistä ei ole samalla suoralla. Pisteiden ja läpi kulkevan käyrän yhtälö $\vasen( x_1, y_1 \oikea),$ $\vasen( x_2, y_2 \oikea),$ $\vasen( x_3, y_3 \oikea),$ $\vasen( x_4, y_4 \oikea)$ $\vasen( x_5, y_5\oikea):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5 x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

Viiden pisteen antama käyrä rappeutuu silloin ja vain, jos kolme annetuista pisteistä on samalla suoralla.

Tangentit ja normaalit

Toisen kertaluvun käyrän tangentin yhtälö sen pisteessä on muotoa: $f(x,y)$ $\vasen(x_1, y_1\oikea)$

$\vasen(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\oikea) x + \vasen(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\oikea) y + \vasen (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\oikea) = 0.$

Normaalin ja toisen asteen käyrän yhtälöllä pisteessä on muoto $\vasen(x_1, y_1\oikea)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Napat ja napat

Yhtälö

\vasen(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\oikea) x + \vasen(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\oikea) y + \vasen (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\oikea) = 0

määrittelee tangentin lisäksi suoran, jota kutsutaan pisteen napaksi toisen kertaluvun käyrän suhteen, riippumatta siitä, onko tämä piste käyrällä vai ei. Pistettä kutsutaan tämän suoran napaksi . Käyrän pisteen napa on sen tangentti tässä pisteessä. $\vasen(x_1, y_1\oikea)$ $\vasen(x_1, y_1\oikea)$

Lauseet navoista ja napeista:

Jos navan läpi vedetty suora leikkaa pisteessä napaviivan ja pisteissä toisen asteen käyrän ja sitten pisteet ja harmonisesti erottavat janan , eli ehto $P,$ $Q,$ $R_{1}$ $R_2,$ $P$ $K$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Jos piste sijaitsee tietyllä suoralla, sen napa kulkee tämän suoran navan läpi. Jos suora kulkee jonkin pisteen läpi, niin sen napa on kyseisen pisteen napalla.
Toisen kertaluvun käyrän halkaisija on sen pisteen napaisuus äärettömyydessä, jonka läpi siihen konjugoituneet jänteet kulkevat, ja käyrän keskipiste on suoran napa äärettömässä.
Käyrän keskipiste on kynän keskipiste, jolla on ominaisuus, että minkä tahansa sen viivan napa kuuluu tämän kynän linjaan, joka on kohtisuorassa sitä vastaan. Ohjaaja on huomion keskipiste.

Näistä lausunnoista seuraa erityisesti seuraavaa:

jos pisteen läpi voidaan vetää kaksi käyrän tangenttia, niin tämän pisteen napa kulkee tangenttipisteiden kautta;
käyrän tangentit halkaisijan päissä ovat samansuuntaisia siihen konjugoitujen jänteiden kanssa;
käyrän tangenttien leikkauspiste minkä tahansa sen fokuksen läpi kulkevan jänteen päissä on suuntaviivalla;
jokainen fokuksen läpi kulkeva sointu on kohtisuorassa sen fokuksen läpi vedettävään viivaan ja sointeen päissä olevien tangenttien leikkauspisteeseen nähden.

Toisen asteen käyriin liittyvät lauseet

Pascalin lause : toisen asteen käyrään piirretyn kuusikulmion vastakkaisten sivujen leikkauspisteet ovat samalla linjalla .
Brianchonin lause : Toisen asteen käyrän ympärille rajatun kuusikulmion vastakkaisten pisteiden läpi kulkevat diagonaalit leikkaavat yhdessä pisteessä .

Katso myös

Linkit

Toisen asteen käyrän yleinen yhtälö arkistoitu 30. tammikuuta 2020 Wayback Machineen
Toisen asteen käyrät
Toisen kertaluvun käyrät: hyperbola, paraabeli

Kirjallisuus

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Luku II (Toisen kertaluvun käyrät) // Geometria. - M .: Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - M .: MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometria. - M .: MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Toisen kertaluvun käyrät (kartioleikkaukset) // Matematiikan käsikirja. - 4. painos. - M .: Nauka, 1978. - S. 64-69.

Muistiinpanot

↑ Rosenfeld B. A. Apollonius of Perga Arkistoitu 12. marraskuuta 2015 Wayback Machinessa . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor ja Edmund F. Robertson . Menaechmus (englanniksi) on elämäkerta MacTutor- arkistossa .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Ominainen neliömuoto ja ominaisyhtälö // Matematiikan käsikirja. - 4. painos. - M . : Nauka, 1978. - S. 64.