Osuus yksiköstä

Yksin murto-osa (alikvootti) on rationaalinen luku murto -osan muodossa, jonka osoittaja on yksi ja nimittäjä positiivinen kokonaisluku . Yksikkömurtoluku on siis positiivisen kokonaisluvun käänteisluku , 1/ n . Esimerkkejä ovat 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 jne.

Perusaritmetiikka

Kertomalla mitkä tahansa kaksi ykkösen murto-osaa saadaan ykkösen murto-osa:

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

Kuitenkin kahden yksikön murto-osan lisääminen , vähentäminen tai jakaminen antaa yleensä tuloksen, joka eroaa yksikön murto-osista:

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {yx}{xy}},

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

Modulaarinen aritmetiikka

Yksin murtoluvuilla on tärkeä rooli moduulivertailussa , koska niitä voidaan käyttää modulo-jaon pelkistämiseen suurimman yhteisen jakajan laskemiseen. Oletetaan erityisesti, että haluamme laskea jaon tuloksen x modulo y :lla . Jotta jako x :llä voidaan määritellä modulo y :n , x :n ja y :n on oltava koprime . Sitten käyttämällä laajennettua Euklides-algoritmia suurimman yhteisen jakajan löytämiseen , voimme löytää a ja b siten, että

\displaystyle ax+by=1,

mistä se seuraa

\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y)),

joka vastaa

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

Siten jakaakseen x : llä (modulo y ), täytyy vain kertoa a :lla .

Yksikön murto-osien lopullinen summa

Mikä tahansa positiivinen rationaalinen luku voidaan esittää ykkösen murto-osien summana useilla tavoilla. Esimerkiksi,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

Muinaiset egyptiläiset käyttivät 1:n eri murto-osien summia rationaalilukujen kirjoittamiseen , ja tällaisia summia kutsutaan usein egyptiläisiksi murtoluvuiksi . Tähän asti on kiinnostanut muinaisten käyttämien menetelmien analysointi mahdollisten esitysten valitsemiseksi ja tällaisten esitysten laskemiseksi [1] . Egyptin murtolukujen aihe kiinnostaa myös nykyaikaista lukuteoriaa . Esimerkiksi Erdős-Grahamin arvelut ja Erdős-Straussin arvelut koskevat yksiköiden murto-osien summia, kuten myös harmonisten malmilukujen määritelmä .

Geometrisessä ryhmäteoriassa kolmioiden ryhmät luokitellaan euklidisiin, pallomaisiin ja hyperbolisiin sen mukaan, onko niihin liittyvien yksikkömurtolukujen summa yhtä suuri kuin yksi, pienempi kuin yksi vai suurempi kuin yksi.

Yhden murto-osien sekvenssit

Monilla tunnetuilla äärettömillä sarjoilla on termit ykkösen murto-osien muodossa. Heidän keskuudessaan:

Harmoninen sarja on kaikkien yhden positiivisten murto-osien summa. Tämä summa eroaa ja sen osasummat

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}

ovat lähellä ln n + γ : a n kasvaessa .

Baselin ongelmassa tarkastellaan ykkösen murto-osien neliösummaa, joka konvergoi arvoon π 2 /6.
Aperi-vakio on ykkösen murto-osien kuutioiden summa.
Geometriset progressiot ja käänteinen Fibonacci-sarja ovat lisäesimerkkejä yhden sarjan murto-osista.

Murtolukumatriisit

Hilbert-matriisin elementteinä on numeroita

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1)).

Sillä on epätavallinen ominaisuus - kaikki sen käänteismatriisin elementit ovat kokonaislukuja [2] . Samalla tavalla Richardson [3] määritteli matriisin elementeillä

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1))},

jossa F i tarkoittaa i : ttä Fibonacci-lukua . Hän kutsui tätä matriisia "Filbert-matriisiksi" ja sillä on sama ominaisuus [4] .

Vierekkäiset murtoluvut

Kahta murtolukua kutsutaan vierekkäisiksi , jos niiden ero on yhden murto-osa [5] [6] .

Yksikön murto-osat todennäköisyysteoriassa ja tilastoissa

Diskreetissä tasaisessa jakaumassa kaikki todennäköisyydet ovat ykkösen murto-osa. Välinpitämättömyyden periaatteen mukaan tämän tyyppisiä todennäköisyyksiä esiintyy usein tilastollisissa laskelmissa [7] . Lisäksi Zipfin laki sanoo, että monille havaittaville tapahtumille, mukaan lukien objektien valinta järjestetystä sekvenssistä, todennäköisyys, että n: s kohde valitaan, on verrannollinen murto-osaan 1/ n [8] .

Yksikön murto-osat fysiikassa

Vetyatomin absorboimien tai emittoimien fotonien energiatasot Rydbergin kaavan mukaan ovat verrannollisia ykkösen kahden osion väliseen eroon. Tälle ilmiölle antaa selityksen Bohrin malli , jonka mukaan vetyatomin elektronien kiertoradan energiatasot ovat kääntäen verrannollisia yksikön murto-osien neliöön ja fotonien energia kvantisoidaan tasoerolla [ 9] .

Arthur Eddington totesi, että hienorakennevakio on ykkösen murto-osa, ensin 1/136 ja sitten 1/137. Tämä väite osoittautui virheelliseksi ja nykyaikainen arvio hienorakennevakion arvosta on (6 desimaalin tarkkuudella) 1/137.036 [10] .

Katso myös

Egyptin jakeet

Muistiinpanot

↑ Guy, 2004 , s. 252-262.
↑ Choi, 1983 , s. 301-312.
↑ Richardson, 2001 .
↑ Richardson, 2001 , s. 268-275.
↑ Viereinen murto -osa PlanetMath - verkkosivustolla .
↑ Weisstein, Eric W. Viereinen murto Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Wales, 1996 , s. 66.
↑ Saichev, Malevergne, Sornette, 2009 .
↑ Yang, Hamilton, 2009 , s. 81-86.
↑ Kilmister, 1994 .

Kirjallisuus

Richard K Guy. Ratkaisemattomia ongelmia lukuteoriassa. – 3. - Springer-Verlag, 2004. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Mies Duen Choi. Temppuja tai herkkuja Hilbert-matriisin avulla // The American Mathematical Monthly. - 1983. - T. 90 , no. 5 . - doi : 10.2307/2975779 .
Thomas M. Richardson. Filbert-matriisi // Fibonacci Quarterly . - 2001. - T. 39 , no. 3 . - . - arXiv : math.RA/9905079 .
Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Nykyaikainen atomi- ja ydinfysiikka. - World Scientific, 2009. - ISBN 978-981-283-678-6 .
Clive William Kilmister. Eddington etsi perustavanlaatuista teoriaa: avain maailmankaikkeuteen. - Cambridge University Press, 1994. - ISBN 978-0-521-37165-0 .
Alan H. Welsh. Tilastollisen päättelyn näkökohdat. - John Wiley and Sons, 1996. - T. 246. - (Wiley Series in Probability and Statistics). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Zipfin lain teoria ja sen jälkeen. - Springer-Verlag, 2009. - T. 632. - (Taloustieteen ja matemaattisten järjestelmien luentomuistiinpanot). - ISBN 978-3-642-02945-5 .

Linkit

Weisstein, Eric W. Unit Fraction (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .